成都市高三二轮复习文科数学（二十三） 坐标系与参数方程

成都市高三二轮复习文科数学（二十三） 坐标系与参数方程

第 11 页 共 11 页 成都市高三二轮复习文科数学（二十三） 坐标系与参数方程 ‎[全国卷 考情分析]‎ 年份 全国卷Ⅰ 全国卷Ⅱ 全国卷Ⅲ ‎2019‎ 曲线的参数方程，极坐标方程与直角坐标方程的互化，点到直线的距离公式·T22‎ 求极坐标系下的曲线方程·T22‎ 点的极坐标、圆的极坐标方程、极坐标的应用·T22‎ ‎2018‎ 极坐标与直角坐标的互化、曲线方程的求解·T22‎ 参数方程与直角坐标方程的互化、参数方程的应用·T22‎ 参数方程与普通方程的互化、参数方程的应用·T22‎ ‎2017‎ 参数方程与普通方程的互化、点到直线的距离·T22‎ 直角坐标与极坐标的互化、动点轨迹方程的求法、三角形面积的最值问题·T22‎ 直线的参数方程与极坐标方程、动点轨迹方程的求法·T22‎ ‎(1)坐标系与参数方程是高考的选考内容之一，高考考查的重点主要有两个方面：一是简单曲线的极坐标方程；二是参数方程、极坐标方程与曲线的综合应用.‎ ‎(2)全国课标卷对此部分内容的考查以解答题形式出现，难度中等，备考此部分内容时应注意转化思想的应用.‎ 极坐标 ‎[例1]　(2019·全国卷Ⅱ)在极坐标系中，O为极点，点M(ρ0，θ0)(ρ0>0)在曲线C：ρ＝4sin θ上，直线l过点A(4，0)且与OM垂直，垂足为P.(1)当θ0＝时，求ρ0及l的极坐标方程；(2)当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程.‎ ‎[解]　(1)因为M(ρ0，θ0)在曲线C上，当θ0＝时，ρ0＝4sin ＝2.‎ 由已知得|OP|＝|OA|cos＝2.设Q(ρ，θ)为l上除P外的任意一点.连接OQ，‎ 在Rt△OPQ中，ρcos＝|OP|＝2.经检验，点P在曲线ρcos＝2上，‎ 所以，l的极坐标方程为ρcos＝2.‎ ‎(2)设P(ρ，θ )，在Rt△OAP中，|OP|＝|OA|cos θ＝4cos θ，即ρ＝4cos θ.‎ 因为P在线段OM上，且AP⊥OM，所以θ的取值范围是.‎ 第 11 页 共 11 页 所以，P点轨迹的极坐标方程为ρ＝4cos θ，θ∈.‎ ‎[解题方略]‎ ‎1.直角坐标与极坐标方程的互化 ‎(1)直角坐标方程化极坐标方程时，可以直接将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入即可.‎ ‎(2)极坐标方程化直角坐标方程时，一般需要构造ρ2，ρsin θ，ρcos θ，常用的技巧有式子两边同乘以ρ，两角和与差的正弦、余弦展开等.‎ ‎2.求解与极坐标有关的问题的主要方法 ‎(1)直接利用极坐标系求解，可与数形结合思想结合使用.‎ ‎(2)转化为直角坐标系，用直角坐标求解.若结果要求的是极坐标，还应将直角坐标化为极坐标.‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎ (2019·安徽省考试试题)在直角坐标系xOy中，直线l1：x＝0，圆C：(x－1)2＋(y－1－)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求直线l1和圆C的极坐标方程；(2)若直线l2的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，设l1，l2与圆C的公共点分别为A，B，求△OAB的面积.‎ 解：(1)∵x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，∴直线l1的极坐标方程为ρcos θ＝0，即θ＝(ρ∈R)，‎ 圆C的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－2ρsin θ＋3＋2＝0.‎ ‎(2)设A，B，将θ＝代入ρ2－2ρcos θ－2ρsin θ＋3＋2＝0，‎ 得ρ2－2ρ＋3＋2＝0，解得ρ1＝1＋.‎ 将θ＝代入ρ2－2ρcos θ－2ρsin θ＋3＋2＝0，‎ 得ρ2－2ρ＋3＋2＝0，解得ρ2＝1＋.故△OAB的面积为××sin＝1＋.‎ 参数方程 ‎[例2]　(2019·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(t为参数).以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2ρcos θ＋ρsin θ＋11＝0.‎ ‎(1)求C和l的直角坐标方程；(2)求C上的点到l距离的最小值.‎ ‎[解]　(1)因为－1<≤1，且x2＋＝＋＝1，‎ 所以C的直角坐标方程为x2＋＝1(x≠－1)，l的直角坐标方程为2x＋y＋11＝0.‎ 第 11 页 共 11 页 ‎(2)由(1)可设C的参数方程为(α为参数，－π<α<π).‎ C上的点到l的距离为＝.‎ 当α＝－时，4cos＋11取得最小值7，故C上的点到l距离的最小值为.‎ ‎[解题方略]‎ 参数方程化为普通方程消去参数的方法 ‎(1)代入消参法：将参数解出来代入另一个方程消去参数，直线的参数方程通常用代入消参法.‎ ‎(2)三角恒等式法：利用sin2α＋cos2α＝1消去参数，圆的参数方程和椭圆的参数方程都是运用三角恒等式法.(3)常见消参数的关系式：①t·＝1；②－＝4；③＋＝1.‎ ‎[跟踪训练](2019·南昌市第一次模拟测试)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的参数方程为(α为参数)，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求C的极坐标方程；(2)设点M(2，1)，直线l与曲线C相交于A，B两点，求|MA|·|MB|的值.‎ 解：(1)由参数方程得普通方程(x－4)2＋(y－3)2＝4，‎ 所以曲线C的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ －6ρsin θ＋21＝0.‎ ‎(2)设点A，B对应的参数分别为t1，t2，将(t为参数)代入(x－4)2＋(y－3)2＝4，得t2－t＋1＝0，所以t1t2＝1，直线l：(t为参数)，可化为 所以|MA|·|MB|＝|2t1||2t2|＝4|t1t2|＝4.‎ 极坐标与参数方程的综合应用 ‎[例3]　(2019·福建省质量检查)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数).以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2＝，点P的极坐标为.(1)求C的直角坐标方程和P的直角坐标；(2)设l与C交于A，B两点，线段AB的中点为M，求|PM|.‎ ‎[解]　(1)由ρ2＝得ρ2＋ρ2sin2θ＝2　①，将ρ2＝x2＋y2，y＝ρsin θ代入①并整理得，曲线C 第 11 页 共 11 页 的直角坐标方程为＋y2＝1.设点P的直角坐标为(x，y)，因为点P的极坐标为，‎ 所以x＝ρcos θ＝cos＝1，y＝ρsin θ＝sin ＝1.所以点P的直角坐标为(1，1).‎ ‎(2)法一：将代入＋y2＝1，并整理得41t2＋110t＋25＝0，‎ Δ＝1102－4×41×25＝8 000＞0，故可设方程的两根分别为t1，t2，‎ 则t1，t2为A，B对应的参数，且t1＋t2＝－.依题意，点M对应的参数为，所以|PM|＝＝.‎ 法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，则x0＝，y0＝.由消去t，得y＝x－.‎ 将y＝x－代入＋y2＝1，并整理得41x2－16x－16＝0，因为Δ＝(－16)2－4×41×(－16)＝2 880＞0，‎ 所以x1＋x2＝，x1x2＝－.所以x0＝，y0＝x0－＝×－＝－，即M.‎ 所以|PM|＝＝＝.‎ ‎[解题方略]‎ 极坐标方程与参数方程综合问题的解题策略 ‎(1)求交点坐标、距离、线段长.可先求出直角坐标方程，然后求解.‎ ‎(2)判断位置关系.先转化为平面直角坐标方程，然后再作出判断.‎ ‎(3)求参数方程与极坐标方程综合的问题. 一般是先将方程化为直角坐标方程，利用直角坐标方程来研究问题.‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎1.(2019·东北四市联合体模拟)在平面直角坐标系xOy中，直线l1的倾斜角为30°，且经过点A(2，1).以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l2：ρcos θ＝3.从坐标原点O作射线交l2于点M，点N为射线OM上的点，满足|OM|·|ON|＝12，记点N的轨迹为曲线C.(1)写出直线l1的参数方程和曲线C的直角坐标方程；(2)设直线l1与曲线C交于P，Q两点，求|AP|·|AQ|的值.‎ 解：(1)直线l1的参数方程为(t为参数)，即(t为参数).‎ 第 11 页 共 11 页 设N(ρ，θ)，M(ρ1，θ1)(ρ＞0，ρ1＞0)，则又ρ1cos θ1＝3，所以ρ·＝12，即ρ＝4cos θ，所以曲线C的直角坐标方程为x2－4x＋y2＝0(x≠0).‎ ‎(2)设P，Q对应的参数分别为t1，t2，将直线l1的参数方程代入曲线C的直角坐标方程中，‎ 得－4＋＝0，即t2＋t－3＝0，Δ＝13＞0，‎ t1，t2为方程的两个根，所以t1t2＝－3，所以|AP|·|AQ|＝|t1t2|＝|－3|＝3.‎ ‎ 2.(2019·贵阳市第一学期监测)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t是参数)，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos.‎ ‎(1)判断直线l与曲线C的位置关系；(2)设M(x，y)为曲线C上任意一点，求x＋y的取值范围.‎ 解：(1)由消去t得y＝x＋4，‎ 由ρ＝2cos得ρ＝cos θ－sin θ，由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，ρ2＝x2＋y2得 ＋＝1，即C是以为圆心，1为半径的圆，圆心到直线y＝x＋4的距离d＝＝5＞1，所以直线l与曲线C相离.‎ ‎(2)圆的参数方程为(θ为参数)，则x＋y＝sin θ＋cos θ＝sin，‎ 又由θ∈R可得－1≤sin≤1，则－≤x＋y≤，所以x＋y的取值范围为[－，].‎ 第 11 页 共 11 页 大题专攻强化练 ‎1．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ＝4cos θ，θ∈.(1)求半圆C的参数方程；(2)若半圆C与圆D：(x－5)2＋(y－)2＝m(m是常数，m＞0)相切，试求切点的直角坐标．‎ ‎2．(2019·全国卷Ⅲ) 如图，在极坐标系Ox中，A(2，0)，B，C，D(2，π)，弧，，所在圆的圆心分别是(1，0)，，(1，π)，曲线M1是弧，曲线M2是弧，曲线M3是弧.(1)分别写出M1，M2，M3的极坐标方程；(2)曲线M由M1，M2，M3构成，若点P在M上，且|OP|＝，求P的极坐标．‎ ‎3.(2019·福州市第一学期抽测)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数，α为l的倾斜角)，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线E的极坐标方程为ρ＝4sin θ，直线θ＝β，θ＝β＋，θ＝β－(ρ∈R)与曲线E分别交于不同于极点O的三点A，B，C.‎ 第 11 页 共 11 页 ‎(1)若＜β＜，求证：|OB|＋|OC|＝|OA|；(2)当β＝时，直线l过B，C两点，求y0与α的值．‎ ‎4．(2019·江西八所重点中学联考)在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线M的极坐标方程为ρ＝2cosθ，若极坐标系内异于O的三点A(ρ1，φ)B，C(ρ1，ρ2，ρ3＞0)都在曲线M上．(1)求证：ρ1＝ρ2＋ρ3；(2)若过B，C两点的直线的参数方程为(t为参数)，求四边形OBAC的面积．‎ ‎5．在平面直角坐标系xOy中，倾斜角为α的直线l过点M(－2，－4)．以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，且在两坐标系中长度单位相同，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝2cos θ.(1)写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程；(2)若直线l与C交于A，B两点，且|MA|·|MB|＝40，求倾斜角α的值．‎ ‎6．(2019·湖南省五市十校联考)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t是参数)，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝cos.(1)求圆C的直角坐标方程；(2)过直线l上的点向圆C引切线，求切线长的最小值．‎ 第 11 页 共 11 页 ‎7．(2019·石家庄市模拟(一))在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(α为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l的极坐标方程为θ＝.‎ ‎(1)求曲线C的极坐标方程；(2)当0＜r＜2时，若曲线C与射线l交于A，B两点，求＋的取值范围．‎ ‎8．(2019·洛阳市统考)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t是参数)，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2＝.(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；(2)设曲线C2经过伸缩变换得到曲线C3，M(x，y)是曲线C3上任意一点，求点M到曲线C1的距离的最大值．‎ 第 11 页 共 11 页 ‎1解：(1)半圆C的普通方程为(x－2)2＋y2＝4(0≤y≤2)，‎ 则半圆C的参数方程为(t为参数，0≤t≤π)．‎ ‎(2)C，D的圆心坐标分别为(2，0)，(5，)，于是直线CD的斜率k＝＝.‎ 由于切点必在两个圆心的连线上，故切点对应的参数t满足tan t＝，t＝，‎ 所以切点的直角坐标为，即(2＋，1)．‎ ‎2解：(1)由题设可得，弧，，所在圆的极坐标方程分别为ρ＝2cos θ，ρ＝2sin θ，ρ＝－2cos θ.‎ 所以M1的极坐标方程为ρ＝2cos θ，M2的极坐标方程为ρ＝2sin θ，M3的极坐标方程为ρ＝－2cos θ.‎ ‎(2)设P(ρ，θ)，由题设及(1)知若0≤θ ≤，则2cos θ＝，解得θ＝；‎ 若≤θ ≤，则2sin θ＝，解得θ＝或θ＝；若≤θ ≤π，则－2cos θ＝，解得θ＝.‎ 综上，P的极坐标为或或或.‎ ‎3解：(1)证明：依题意，|OA|＝|4sin β|，|OB|＝，|OC|＝，‎ ‎∵＜β＜，∴|OB|＋|OC|＝4sin＋4sin＝4sin β＝|OA|.‎ ‎(2)当β＝时，直线θ＝β＋与曲线E的交点B的极坐标为，直线θ＝β－与曲线E的交点C的极坐标为，从而，B，C两点的直角坐标分别为B(，1)，C(0，4)，‎ ‎∴直线l的方程为y＝－x＋4，∴y0＝1，α＝.‎ ‎4解：(1)证明：由题意得ρ1＝2cos φ，ρ2＝2cos，ρ3＝2cos，‎ 第 11 页 共 11 页 则ρ2＋ρ3＝2cos＋2cos＝2 cos φ＝ρ1.‎ ‎(2)由曲线M的极坐标方程得曲线M的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0，将直线BC的参数方程代入曲线M的直角坐标方程得t2－t＝0，解得t1＝0，t2＝，‎ ‎∴在平面直角坐标中，B，C(2，0)，则ρ2＝1，ρ3＝2，φ＝，∴ρ1＝.‎ ‎∴四边形OBAC的面积S＝S△AOB＋S△AOC＝ρ1ρ2 ·sin＋ρ1ρ3sin＝.‎ ‎5解：(1)因为倾斜角为α的直线过点M(－2，－4)，所以直线l的参数方程是(t是参数)．‎ 因为曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝2cos θ，所以ρ2sin2θ＝2ρcos θ，所以曲线C的直角坐标方程是y2＝2x.‎ ‎(2)把直线的参数方程代入y2＝2x，得t2sin2α－(2cos α＋8sin α)t＋20＝0，由题意知，Δ＞0，设t1，t2为方程t2sin2α－(2cos α＋8sin α)t＋20＝0的两根，‎ 则t1＋t2＝，t1t2＝，根据直线参数方程的几何意义知|MA|·|MB|＝|t1t2|＝＝40，‎ 故α＝或α＝，又Δ＝(2cos α＋8sin α)2－80sin2α＞0，所以α＝.‎ ‎6解：(1)由ρ＝cos，得ρ2＝ρcos θ－ρsin θ，‎ ‎∴x2＋y2－x＋y＝0，即圆C的直角坐标方程为＋＝.‎ ‎(2)设l上任意一点P(t，t＋2)，过P向圆C引切线，切点为Q，连接PC，CQ，‎ ‎∵圆C的圆心为C，半径r＝，‎ ‎∴|PQ|＝＝＝≥2，即切线长的最小值为2.‎ ‎7解：(1)由题意知曲线C的普通方程为(x－2)2＋y2＝r2，‎ 令x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，化简得ρ2－4ρcos θ＋4－r2＝0.‎ ‎(2)法一：把θ＝代入曲线C的极坐标方程中，得ρ2－2ρ＋4－r2＝0.‎ 令Δ＝4－4(4－r2)＞0，结合0＜r＜2，得3＜r2＜4.‎ 方程的解ρ1，ρ2分别为点A，B的极径，ρ1＋ρ2＝2，ρ1ρ2＝4－r2＞0，‎ ‎∴＋＝＋＝＝.∵3＜r2＜4，∴0＜4－r2＜1，∴＋∈(2，＋∞)．‎ 第 11 页 共 11 页 法二：射线l的参数方程为(t为参数，t≥0)，将其代入曲线C的方程(x－2)2＋y2＝r2中得，t2－2t＋4－r2＝0，令Δ＝4－4(4－r2)＞0结合0＜r＜2，得3＜r2＜4，‎ 方程的解t1，t2分别为点A，B对应的参数，t1＋t2＝2，t1t2＝4－r2，t1＞0，t2＞0，‎ ‎∴＋＝＋＝＝.∵3＜r2＜4，∴0＜4－r2＜1，∴＋∈(2，＋∞)．‎ ‎8解：(1)根据消参可得曲线C1的普通方程为x－2y－5＝0，‎ ‎∵ρ2＝，∴ρ2＋3ρ2sin2θ＝4，将代入可得：x2＋4y2＝4.‎ 故曲线C2的直角坐标方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)曲线C2：＋y2＝1，经过伸缩变换得到曲线C3的方程为＋y′2＝1，‎ ‎∴曲线C3的方程为＋y2＝1.设M(4cos α，sin α)，根据点到直线的距离公式可得 点M到曲线C1的距离d＝＝＝≤＝2＋(其中tan φ＝2)，∴点M到曲线C1的距离的最大值为2＋.‎