成都市高三二轮复习文科数学（十八） 函数的图象与性质

成都市高三二轮复习文科数学（十八） 函数的图象与性质

第 14 页 共 14 页 成都市高三二轮复习文科数学（十八）函数的图象与性质 ‎[全国卷 考情分析]‎ 年份 全国卷Ⅰ 全国卷Ⅱ 全国卷Ⅲ ‎2019‎ 指数幂及对数值的大小比较·T3‎ 利用奇函数的性质求函数解析式·T6‎ 函数的奇偶性及单调性·T12‎ 函数图象的识别·T5‎ ‎2018‎ 分段函数及函数的单调性、解不等式·T12‎ 函数图象的识辨·T3‎ 函数图象的识辨·T9‎ 抽象函数的奇偶性及周期性·T12‎ 函数的奇偶性及对数式运算·T16‎ ‎2017‎ 函数图象的识辨·T8‎ 复合函数的定义域及单调性·T8‎ 函数图象的识辨·T7‎ 复合函数的单调性、对称性·T9‎ 函数的奇偶性、函数值的求解·T14‎ 分段函数、解不等式·T16‎ ‎(1)高考对此部分内容的命题多集中于函数的概念、函数的性质及分段函数等方面，多以选择、填空题形式考查，一般出现在第5～10或第13～15题的位置上，难度一般.主要考查函数的定义域、分段函数、函数图象的判断及函数的奇偶性、周期性等.‎ ‎(2)此部分内容有时也出现在选择、填空中的压轴题的位置，多与导数、不等式、创新性问题结合命题，难度较大.‎ 函数的概念及其表示 ‎[例1]　(1)已知f(x)＝(0＜a＜1)，且f(－2)＝5，f(－1)＝3，则f(f(－3))＝(　　)‎ A.－2　　　　　　B‎.2 ‎‎ C.3 D.－3‎ ‎(2)已知函数f(x)＝的值域为R，则实数a的取值范围是________.‎ ‎[解析]　(1)由题意得，f(－2)＝a－2＋b＝5，① f(－1)＝a－1＋b＝3，②‎ 联立①②，结合0＜a＜1，得a＝，b＝1， 所以f(x)＝ 则f(－3)＝＋1＝9，f(f(－3))＝f(9)＝log39＝2，故选B.‎ ‎(2)当x≥1时，f(x)＝2x－1≥1，∵函数f(x)＝的值域为R，‎ 第 14 页 共 14 页 ‎∴当x<1时，y＝(1－‎2a)x＋‎3a必须取遍(－∞，1]内的所有实数，则解得0≤a＜.‎ ‎[答案]　(1)B　(2) ‎[解题方略]‎ ‎1.函数定义域的求法 求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可.‎ ‎2.分段函数问题的5种常见类型及解题策略 求函数值 弄清自变量所在区间，然后代入对应的解析式，求“层层套”的函数值，要从最内层逐层往外计算 求函数最值 分别求出每个区间上的最值，然后比较大小 解不等式 根据分段函数中自变量取值范围的界定，代入相应的解析式求解，但要注意取值范围的大前提 求参数 ‎“分段处理”，采用代入法列出各区间上的方程 利用函数性质求值 依据条件找到函数满足的性质，利用该性质求解 ‎[跟踪训练]‎ ‎1.已知函数f(x)的定义域为[0，2]，则函数g(x)＝f＋的定义域为(　　)‎ A.[0，3]　　　　　　　B.[0，2] C.[1，2] D.[1，3]‎ 解析：选A　由题意，函数f(x)的定义域为[0，2]，即x∈[0，2]，因为函数g(x)＝f＋，所以得0≤x≤3，即函数g(x)的定义域为[0，3]，故选A.‎ ‎2.函数f(x)＝2＋(－2＜x≤2)的值域为(　　)‎ A.(2.4) B.[2，4) C.[2，4] D.(2，4]‎ 解析：选B　法一：因为f(x)＝2＋(－2＜x≤2)，所以f(x)＝ 函数f(x)的图象如图所示，由图象得，函数f(x)的值域为[2，4).‎ 法二：因为f(x)＝2＋(－2＜x≤2)，当－2＜x≤0时，f(x)＝2－x，所以2≤f(x)＜4；当0＜x≤2时，f(x)＝2.综上，函数f(x)的值域为[2，4).‎ 第 14 页 共 14 页 ‎3.已知具有性质：f＝－f(x)的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：‎ ‎①f(x)＝x－；②f(x)＝x＋；③f(x)＝其中满足“倒负”变换的函数是(　　)‎ A.①② B.①③ C.②③ D.①‎ 解析：选B　对于①，f(x)＝x－，f＝－x＝－f(x)，满足；对于②，f＝＋x＝f(x)，不满足；对于③，f＝即f＝ 故f＝－f(x)，满足.综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.‎ 函数的图象及应用 题型一　函数图象的识别 ‎[例2]　(1)(2019·开封市定位考试)函数f(x)的大致图象如图所示，则函数f(x)的解析式可以是(　　)‎ A.f(x)＝x2·sin|x| B.f(x)＝·cos 2x C.f(x)＝cos D.f(x)＝ ‎(2)(2019·福建五校第二次联考)函数f(x)＝x2＋ln(e－x)ln(e＋x)的图象大致为(　　)‎ ‎ ‎ ‎[解析]　(1)由题中图象可知，在原点处没有图象，故函数的定义域为，故排除选项A、C；又函数图象与x轴只有两个交点，f(x)＝cos 2x中cos 2x＝0有无数个根，故排除选项B，正确选项是D.‎ ‎(2)因为f(－x)＝(－x)2＋ln(e＋x)ln(e－x)＝x2＋ln(e－x)ln(e＋x)＝f(x)，所以函数f(x)是偶函数，据此可排除选项C.当x→e时，f(x)→－∞，据此可排除选项B、D.故选A.‎ ‎[答案]　(1)D　(2)A ‎[解题方略]寻找函数图象与解析式之间的对应关系的方法 知式选图 ‎①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置 第 14 页 共 14 页 ‎②从函数的单调性，判断图象的变化趋势 ‎③从函数的奇偶性，判断图象的对称性 ‎④从函数的周期性，判断图象的循环往复 知图选式 ‎①从图象的左右、上下分布，观察函数的定义域、值域 ‎②从图象的变化趋势，观察函数的单调性 ‎③从图象的对称性方面，观察函数的奇偶性 ‎④从图象的循环往复，观察函数的周期性 题型二　函数图象的应用 ‎[例3]　(1)函数f(x)＝是R上的单调递减函数，则实数a的取值范围是(　　)‎ A.－≤a＜0 B.a≤－ C.－1≤a≤－ D.a≤－1‎ ‎(2)(2018·全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝则满足f(x＋1)0，则实数a的取值范围是(　　)‎ A.(1，＋∞) B.(－∞，1) C. D. 第 14 页 共 14 页 解析：选B　f(x)的定义域为R，f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，又f′(x)＝3x2＋2＋cos x>0，∴f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，∴由f(a)＋f(1－‎2a)>0，得f(a)>f(‎2a－1)，a>‎2a－1，解得a<1，故选B.‎ ‎3.函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意两个正数x1，x2(x1x‎1f(x2)，记a＝f(2)，b＝f(1)，c＝－f(－3)，则a，b，c之间的大小关系为(　　)‎ A.a>b>c B.b>a>c C.c>b>a D.a>c>b 解析：选B　因为对任意两个正数x1，x2(x1x‎1f(x2)，所以>，得函数g(x)＝在(0，＋∞)上是减函数，又c＝－f(－3)＝f(3)，所以g(1)>g(2)>g(3)，即b>a>c，故选B.‎ 数学抽象——抽象函数与函数的三大性质 ‎[典例]　定义在R上的奇函数f(x)满足f＝f(x)，当x∈时，f(x)＝log(1－x)，则f(x)在区间上是(　　)‎ A.减函数且f(x)>0　　B.减函数且f(x)<‎0 ‎‎ C.增函数且f(x)>0 D.增函数且f(x)<0‎ ‎[解析]　当x∈时，由f(x)＝log(1－x)可知f(x)单调递增且f(x)>0，又函数f(x)为奇函数，所以在区间上函数f(x)也单调递增，且f(x)<0.由f＝f(x)知，函数f(x)的周期为，所以在区间上，函数f(x)单调递增且f(x)<0.故选D.[答案]　D ‎[素养通路]‎ 数学抽象是指通过对数量关系与空间形式的抽象，得到数学研究对象的素养.主要包括：从数量与数量关系，图形与图形关系中抽象出数学概念与概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律与结构，并用数学语言予以表征.‎ 本题由函数的奇偶性得到其对称区间的单调性，由f＝f(x)得知f(x)的周期，进而得出f(x)在区间上的性质.考查了数学抽象这一核心素养.‎ A组——“12＋‎4”‎满分练 一、选择题 第 14 页 共 14 页 ‎1.函数y＝log2(2x－4)＋的定义域是(　　)‎ A.(2，3)　　 　 　　　 B.(2，＋∞)‎ C.(3，＋∞) D.(2，3)∪(3，＋∞)‎ ‎2.若函数f(x)满足f(1－ln x)＝，则f(2)＝(　　)‎ A. B.e C. D.－1‎ ‎3.(2019·长沙市统一模拟考试)下列函数中，图象关于原点对称且在定义域内单调递增的是(　　)‎ A.f(x)＝sin x－x B.f(x)＝ln(x－1)－ln(x＋1) C.f(x)＝ D.f(x)＝ ‎4.(2019·江西九江两校3月联考)已知函数f(x)＝x2＋ax＋b的图象过坐标原点，且满足f(－x)＝f(－1＋x)，则函数f(x)在[－1，3]上的值域为(　　)‎ A.[0，12] B. C. D. ‎5.函数f(x)＝的图象大致为(　　)‎ ‎ ‎ ‎6.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0，2]上是增函数，则()‎ A.f(－25)0，且a≠1)，则当－13成立，则实数m的取值范围是 A.(1，＋∞)　　　　　　 B.(－∞，1)‎ C. D. ‎5.在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，若函数f(x)的图象恰好经过n(n∈N*)个整点，则称函数f(x)为n阶整点函数，给出下列函数：其中是一阶整点函数的是(　　)‎ ‎①f(x)＝sin 2x；②g(x)＝x3；③h(x)＝；④φ(x)＝ln x.‎ A.①②③④ B.①③④‎ C.①④ D.④‎ ‎6.已知函数f(x)的图象关于点(－3，2)对称，则函数h(x)＝f(x＋1)－3的图象的对称中心为________.‎ ‎7.设函数f(x)＝则满足f(x)＋f(x－1)<2的x的取值范围是________.‎ ‎8.若函数y＝f(x)满足：对于y＝f(x)图象上任意一点P(x1，f(x1))，总存在点P′(x2，f(x2))也在y＝f(x)图象上，使得x1x2＋f(x1)f(x2)＝0成立，称函数y＝f(x)是“特殊对点函数”.给出下列五个函数：‎ ‎①y＝x－1；②y＝ex－2；③y＝ln x；④y＝(其中e为自然对数底数).其中是“特殊对点函数”的序号是________.(写出所有正确的序号)‎ ‎1解析：选D　由题意得解得x＞2且x≠3，‎ 所以函数y＝log2(2x－4)＋的定义域为(2，3)∪(3，＋∞)，故选D.‎ ‎2解析：选B　法一：令1－ln x＝t，则x＝e1－t，于是f(t)＝，即f(x)＝，故f(2)＝e.‎ 第 14 页 共 14 页 法二：由1－ln x＝2，得x＝，这时＝＝e，即f(2)＝e.‎ ‎3解析：选D　由题意，f(x)＝sin x－x，该函数是奇函数，满足图象关于原点对称的条件，而f′(x)＝cos x－1≤0，即在定义域内f(x)＝sin x－x单调递减，故A不满足；对于B，研究定义域可得即该函数的定义域为(1，＋∞)，所以该函数是非奇非偶函数，故B不满足；对于C，函数的定义域为R，f(－x)＝f(x)，所以该函数是偶函数，不满足图象关于原点对称的条件，故C不满足；对于D，函数的定义域为R，f(－x)＝－f(x)，所以该函数是奇函数，满足图象关于原点对称的条件，又f′(x)＝>0，‎ 所以该函数在其定义域内单调递增，满足题目中的条件，故选D.‎ ‎4解析：选B　因为函数f(x)＝x2＋ax＋b的图象过坐标原点，所以f(0)＝0，则b＝0.‎ 由f(－x)＝f(－1＋x)，可知函数的图象的对称轴为直线x＝－，即－＝－，所以a＝1，‎ 则f(x)＝x2＋x＝－，所以当x＝－时，f(x)取得最小值，且最小值为－.‎ 又f(－1)＝0，f(3)＝12，所以f(x)在[－1，3]上的值域为.故选B.‎ ‎5解析：选C　函数f(x)＝是非奇非偶函数，排除A、B；函数f(x)＝的零点是x＝±e－1，当x＝e时，f(e)＝<，排除选项D.‎ ‎6解析：选D　因为f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，所以f(x－8)＝f(x)，所以函数f(x)是以8为周期的周期函数，‎ 则f(－25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3).‎ 由f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x－4)＝－f(x)，得f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1).‎ 因为f(x)在区间[0，2]上是增函数，f(x)在R上是奇函数，所以f(x)在区间[－2，2]上是增函数，‎ 所以f(－1)0，则－x<0.∵ 当x<0时，f(x)＝－eax，∴ f(－x)＝－e－ax.‎ ‎∵ f(x)是奇函数，∴ f(x)＝－f(－x)＝e－ax，∴ f(ln 2)＝e－aln 2＝(eln 2)－a＝2－a.‎ 又∵ f(ln 2)＝8，∴ 2－a＝8，∴ a＝－3.答案：－3‎ ‎15解析：因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(－1)＝f(1)＝loga2.‎ 因为－11时，原不等式等价于解得a>2；‎ ‎②当00，得－23成立等价于不等式f＞f(1)成立，所以解得－1，此时恒成立，此时x<0.‎ ‎②若x≥1，则x－1≥0，由f(x)＋f(x－1)<2得x(x－1)＋(x－1)(x－2)<2，即x2－2x<0，即0

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