成都市高三二轮复习文科数学(七) 三角恒等变换与解三角形

申明敬告: 本站不保证该用户上传的文档完整性,不预览、不比对内容而直接下载产生的反悔问题本站不予受理。

文档介绍

成都市高三二轮复习文科数学(七) 三角恒等变换与解三角形

第 13 页 共 13 页 成都市高三二轮复习文科数学(七) 三角恒等变换与解三角形 ‎ [全国卷 考情分析]‎ 年份 全国卷Ⅰ 全国卷Ⅱ 全国卷Ⅲ ‎2019‎ 诱导公式及两角和的正切公式·T7‎ 二倍角公式的应用·T11‎ 正弦定理的应用及三角形面积计算·T18‎ 正、余弦定理的应用·T11‎ 正弦定理的应用·T15‎ ‎2018‎ 三角函数的定义及恒等变换·T11‎ 二倍角公式及余弦定理·T7‎ 二倍角公式·T4‎ 正、余弦定理及三角形面积公式·T16‎ 诱导公式及三角恒等变换·T15‎ 三角形的面积公式及余弦定理·T11‎ ‎2017‎ 三角恒等变换、正弦定理解三角形·T11‎ 利用正、余弦定理解三角形·T16‎ 三角恒等变换求值问题·T4‎ 三角恒等变换求值问题·T15‎ 利用正弦定理解三角形·T15‎ ‎(1)高考对此部分的考查一般以“二小”或“一大”的命题形式出现.‎ ‎(2)若无解答题,一般在选择题或填空题各有一题,主要考查三角恒等变换、解三角形,难度一般,一般出现在第4~11或第14~16题位置上.‎ ‎(3)若以解答题命题形式出现,主要考查三角函数与解三角形的综合问题,一般出现在解答题第17(或18)题位置上,难度中等.在17(或18)题位置上进行考查时,与“数列”交替进行考查(近三年文科多考“数列”).‎ 三角恒等变换 ‎[例1] (1)(2019·重庆市学业质量调研)已知sin θ=cos(2π-θ),则tan 2θ=(  )‎ A.-     B. C.- D. ‎(2)已知sin α=,sin(α-β)=-,α,β均为锐角,则角β等于(  )‎ A. B. C. D. ‎[解析] (1)法一:由sin θ=cos(2π-θ),得sin θ=cos θ,所以tan θ=,则tan 2θ===,故选B.‎ 第 13 页 共 13 页 法二:由sin θ=cos(2π-θ),得sin θ=cos θ,所以tan 2θ====,故选B.‎ ‎(2)∵0<α<,0<β<,∴-<α-β<.∵sin(α-β)=-,sin α=,∴cos(α-β)=,cos α=,‎ ‎∴cos β=cos[α-(α-β)]=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β)=×+×=,∴β=.‎ ‎[答案] (1)B (2)C ‎[解题方略] 三角函数求值的类型及方法 给角求值 解决给角求值问题的关键是两种变换:一是角的变换,注意各角之间是否具有和差关系、互补(余)关系、倍半关系,从而选择相应公式进行转化,把非特殊角的三角函数相约或相消,从而转化为特殊角的三角函数;二是结构变换,在熟悉各种公式的结构特点、符号特征的基础上,结合所求式子的特点合理地进行变形 给值求值 给值求值的关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异,一般可以适当变换已知式,求得另外某些函数式的值,以备应用.同时也要注意变换待求式,便于将已知式求得的函数值代入,从而达到解题的目的 给值求角 实质上也转化为“给值求值”,关键也是变角,把所求角用含已知角的式子表示,由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角,有时要压缩角的取值范围 ‎[跟踪训练]‎ ‎1.(2019·全国卷Ⅰ)tan 255°=(  )‎ A.-2-   B.-2+ C.2- D.2+ 解析:选D tan 255°=tan(180°+75°)=tan 75°=tan(45°+30°)===2+.故选D.‎ ‎2.(2019·洛阳尖子生第二次联考)若复数z=+i是纯虚数(i为虚数单位),则tan的值为(  )‎ A.-7 B.- C.7 D.-7或- 第 13 页 共 13 页 解析:选A 由复数z为纯虚数,得即又sin2θ+cos2θ=1,所以sin θ=-,‎ 所以tan θ=-,于是tan===-7.‎ ‎3.(2019·江西省五校协作体试题)若θ∈,且2sin2θ+sin 2θ=-,则tan=________.‎ 解析:由2sin2θ+sin 2θ=-,得1-cos 2θ+sin 2θ=-,得cos 2θ-sin 2θ=,2cos=,即cos=,又θ∈,所以2θ+∈,则tan=,所以tan=tan==. 答案: 利用正、余弦定理解三角形 题型一 利用正、余弦定理进行边、角计算 ‎[例2] 已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且=tan A+tan B.(1)求角A的大小;(2)设D为AC边上一点,且BD=5,DC=3,a=7,求c.‎ ‎[解] (1)∵在△ABC中,=tan A+tan B,∴=+,‎ 即=,∴=,则tan A=,又0,∴b+c∈(,2].‎ 第 13 页 共 13 页 ‎[变式2] 若本例(2)变为:AD⊥BC,且a=,求AD的取值范围.‎ 解:∵S△ABC=AD·BC=bcsin A,∴AD=bc.由余弦定理得cos A==≥,‎ ‎∴0,因而当两船相距最近时,两船行驶的时间为小时.[答案]  ‎[解题方略] 解三角形实际应用问题的步骤 ‎[跟踪训练]‎ ‎1.(2019·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知asin A-bsin B=4csin C,cos A=-,则=(  )‎ A.6 B‎.5 ‎‎ C.4 D.3‎ 解析:选A ∵ asin A-bsin B=4csin C,∴ 由正弦定理得a2-b2=‎4c2,即a2=‎4c2+b2.由余弦定理得cos A====-,∴ =6.故选A.‎ ‎2.(2019·河南期末改编)在△ABC中,B=,AC=,且cos‎2C-cos‎2A-sin2B=-sin Bsin C,则C=________,BC=________.‎ 解析:由cos‎2C-cos‎2A-sin2B=-sin Bsin C,可得1-sin‎2C-(1-sin‎2A)-sin2B=-sin Bsin C,即sin‎2A-sin‎2C-sin2B=-sin Bsin C.结合正弦定理得BC2-AB2-AC2=-·AC·AB,所以cos A=,A=,则C=π-A-B=.由=,解得BC=. 答案:  ‎3.(2019·江西七校第一次联考)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a(sin A-sin B)=(c-b)(sin C+sin B).(1)求角C;(2)若c=,△ABC的面积为,求△ABC的周长.‎ 解:(1)由a(sin A-sin B)=(c-b)(sin C+sin B)及正弦定理,得a(a-b)=(c-b)(c+b),即a2+b2-c2=ab.‎ 所以cos C==,又C∈(0,π),所以C=.‎ ‎(2)由(1)知a2+b2-c2=ab,所以(a+b)2-3ab=c2=7,又S=absin C=ab=,所以ab=6,‎ 所以(a+b)2=7+3ab=25,a+b=5.所以△ABC的周长为a+b+c=5+.‎ 解三角形与三角函数的交汇问题 ‎[例5] 如图,在△ABC中,三个内角B,A,C成等差数列,且AC=10,BC=15.(1)求△ABC的面积;(2)‎ 第 13 页 共 13 页 已知平面直角坐标系xOy中点D(10,0),若函数f(x)=Msin(ωx+φ)的图象经过A,C,D三点,且A,D为f(x)的图象与x轴相邻的两个交点,求f(x)的解析式.‎ ‎[解] (1)在△ABC中,由角B,A,C成等差数列,得B+C=‎2A,‎ 又A+B+C=π,所以A=.设角A,B,C的对边分别为a,b,c,‎ 由余弦定理可知a2=b2+c2-2bccos ,所以c2-‎10c-125=0,解得c=AB=5+5.‎ 因为CO=10×sin =5,所以S△ABC=×(5+5)×5=(3+).‎ ‎(2)因为AO=10×cos =5,所以函数f(x)的最小正周期T=2×(10+5)=30,故ω=.‎ 因为f(-5)=Msin=0,所以sin=0,所以-+φ=kπ,k∈Z.‎ 因为|φ|<,所以φ=.因为f(0)=Msin =5,所以M=10,所以f(x)=10sin.‎ ‎[解题方略] 解三角形与三角函数交汇问题一般步骤 ‎[跟踪训练]‎ ‎(2019·湖南省五市十校联考)已知向量m=(cos x,sin x),n=(cos x,cos x),x∈R,设函数f(x)=m·n+.(1)求函数f(x)的解析式及单调递增区间;(2)设a,b,c分别为△ABC的内角A,B,C的对边,若f(A)=2,b+c=2,△ABC的面积为,求a的值.‎ 解:(1)由题意知,f(x)=cos2x+sin xcos x+=sin+1.‎ 令2x+∈,k∈Z,解得x∈,k∈Z,‎ ‎∴函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z.‎ ‎(2)∵f(A)=sin+1=2,∴sin=1.∵0<A<π,∴<‎2A+<,∴‎2A+=,即A=.‎ 第 13 页 共 13 页 由△ABC的面积S=bcsin A=,得bc=2,又b+c=2,∴a2=b2+c2-2bccos A=(b+c)2-2bc(1+cos A)=(2)2-4=4-2=(-1)2,解得a=-1.‎ 数学建模——解三角形的实际应用 ‎[典例] 为了应对日益严重的气候问题,某气象仪器科研单位研究出一种新的“弹射型”气候观测仪器,这种仪器可以弹射到空中进行气候观测.如图所示,A,B,C三地位于同一水平面上,这种仪器在C地进行弹射实验,观测点A,B两地相距‎100 m,∠BAC=60°,在A地听到弹射声音的时间比B地晚 s,在A地测得该仪器至最高点H处的仰角为30°.(1)求A,C两地间的距离;(2)求这种仪器的垂直弹射高度HC.(已知声音的传播速度为‎340 m/s)‎ ‎[解] (1)设BC=x m,由条件可知AC=x+×340=(x+40)m.‎ 在△ABC中,由余弦定理,可得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos∠BAC,‎ 即x2=1002+(x+40)2-2×100×(x+40)×,解得x=380.‎ 所以AC=380+40=420(m),故A,C两地间的距离为‎420 m.‎ ‎(2)在Rt△ACH中,AC=420,∠HAC=30°,所以HC=ACtan 30°=420×=140,‎ 故这种仪器的垂直弹射高度为‎140 m.‎ 课后限时练习:‎ A组——“6+3+‎3”‎考点落实练 一、选择题 ‎1.(2019·开封市定位考试)已知cos=-,则cos 2α的值为(  )‎ A.-        B. C.- D. ‎2.(2019·长春市质量监测一)函数f(x)=sin+sin x的最大值为(  )‎ A. B.2‎ C.2 D.4‎ ‎3.(2019·长春市质量监测一)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若b=acos C+c,则角A等于(  )‎ A.60° B.120°‎ 第 13 页 共 13 页 C.45° D.135°‎ ‎4.(2019·江西七校第一次联考)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=a,a=2,c=,则角C=(  )‎ A. B. C. D. ‎5.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若0,∴cos B<0,
查看更多