成都市高三二轮复习文科数学（十四） 直线与圆

成都市高三二轮复习文科数学（十四） 直线与圆

第 12 页 共 12 页 成都市高三二轮复习文科数学（十四） 直线与圆 ‎[全国卷 考情分析]‎ 年份 全国卷Ⅰ 全国卷Ⅱ 全国卷Ⅲ ‎2019‎ 直线与圆的位置关系·T21(1)‎ 双曲线的性质、圆与圆的位置关系·T12‎ 直线与圆及抛物线的位置关系·T21(2)‎ ‎2018‎ 直线与圆的弦长问题·T15‎ 直线方程、圆的方程、点到直线的距离·T8‎ ‎2017‎ 直线与圆相切、椭圆的离心率·T11‎ ‎(1)圆的方程近几年成为高考全国课标卷命题的热点，需重点关注.此类试题难度中等偏下，多以选择题或填空题形式呈现.‎ ‎(2)直线与圆的方程偶尔单独命题，单独命题时有一定的深度，有时会出现在第11题或第15题位置，难度较大，对直线与圆的方程(特别是直线)的考查主要体现在圆锥曲线的综合问题上.‎ 直线的方程 ‎[例1]　(1)已知0＜k＜4，直线l1：kx－2y－2k＋8＝0和直线l2：2x＋k2y－4k2－4＝0与坐标轴围成一个四边形，则使这个四边形面积最小的k的值为(　　)‎ A.　　　　　　　B. C. D.2‎ ‎(2)若直线l1：y＝kx－k＋2与直线l2关于点(2，1)对称，则直线l2过定点(　　)‎ A.(3，1) B.(3，0) C.(0，1) D.(2，1)‎ ‎[解析]　(1)直线l1，l2恒过点P(2，4)，直线l1在y轴上的截距为4－k，直线l2在x轴上的截距为2k2＋2，因为0＜k＜4，所以4－k＞0，2k2＋2＞0，所以四边形的面积S＝×2×(4－k)＋×4×(2k2＋2)＝4k2－k＋8＝4＋，故当k＝时，面积最小.‎ ‎(2)∵y＝kx－k＋2＝k(x－1)＋2，∴l1：y＝kx－k＋2过定点(1，2).设定点(1，2)关于点(2，1)对称的点的坐标为(x，y)，则得∴直线l2过定点(3，0).故选B.‎ ‎[答案]　(1)A　(2)B ‎[解题方略]‎ ‎1.两直线的位置关系问题的解题策略 第 12 页 共 12 页 求解与两条直线平行或垂直有关的问题时，主要是利用两条直线平行或垂直的充要条件，即斜率相等且纵截距不相等或斜率互为负倒数.若出现斜率不存在的情况，可考虑用数形结合的方法去研究或直接用直线的一般式方程判断.‎ ‎2.轴对称问题的两种类型及求解方法 点关于直线的对称 若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称，则线段P1P2的中点在对称轴l上，而且连接P1，P2的直线垂直于对称轴l.由方程组可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中B≠0，x1≠x2)‎ 直线关于直线的对称 有两种情况，一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行.一般转化为点关于直线的对称来解决 ‎[跟踪训练]‎ ‎1.若直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(a－2)x＋3y＋‎2a＝0平行，则l1与l2之间的距离为(　　)‎ A.　　　　　　　　B‎.4‎ ‎ C. D.2 解析：选C　因为l1∥l2，所以＝≠，解得a＝－1，所以l1与l2的方程分别为l1：x－y＋6＝0，l2：x－y＋＝0，所以l1与l2的距离d＝＝.‎ ‎2.在平面直角坐标系内，过定点P的直线l：ax＋y－1＝0与过定点Q的直线m：x－ay＋3＝0相交于点M，则|MP|2＋|MQ|2＝(　　)‎ A. B. C.5 D.10‎ 解析：选D　由题意知P(0，1)，Q(－3，0)，∵过定点P的直线ax＋y－1＝0与过定点Q的直线x－ay＋3＝0垂直，∴MP⊥MQ，∴|MP|2＋|MQ|2＝|PQ|2＝9＋1＝10，故选D.‎ 圆的方程 ‎[例2]　(1)已知点A是直角三角形ABC的直角顶点，且A(‎2a，2)，B(－4，a)，C(‎2a＋2，2)，则三角形ABC外接圆的方程是(　　)‎ A.x2＋(y－3)2＝5 B.x2＋(y＋3)2＝‎5 ‎‎ C.(x－3)2＋y2＝5 D.(x＋3)2＋y2＝5‎ ‎(2)圆心在直线y＝－4x上，并且与直线l：x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)的圆的方程为________________.‎ 第 12 页 共 12 页 ‎[解析]　(1)∵＝(－4－‎2a，a－2)，＝(2，0)，∴·＝－8－‎4a＝0，解得a＝－2.∴A(－4，2)，B(－4，－2)，C(－2，2)，|BC|＝2，又BC的中点坐标为(－3，0)，∴三角形ABC外接圆的圆心为(－3，0)，半径为＝，∴三角形ABC外接圆的方程为(x＋3)2＋y2＝5.‎ ‎(2)设圆心M为(x，－4x)，kMP＝，kl＝－1，所以kMP·kl＝－1，所以x＝1，所以M(1，－4)，所以r＝|MP|＝＝2所以所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.‎ ‎[答案]　(1)D　(2)(x－1)2＋(y＋4)2＝8‎ ‎[解题方略]　求圆的方程的2种方法 几何法 通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，从而求得圆的基本量和方程 代数法 用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数，从而求得圆的方程 ‎[跟踪训练]‎ ‎1.已知圆C1：(x＋2)2＋(y－3)2＝5与圆C2相交于A(0，2)，B(－1，1)两点，且四边形C‎1AC2B为平行四边形，则圆C2的方程为(　　)‎ A.(x－1)2＋y2＝5 B.(x－1)2＋y2＝ C.＋＝5 D.＋＝ 解析：选A　法一：(常规求解法)设圆C2的圆心坐标为(a，b)，连接AB，C‎1C2.因为C1(－2，3)，A(0，2)，B(－1，1)，所以|AC1|＝|BC1|＝，所以平行四边形C‎1AC2B为菱形，所以C‎1C2⊥AB且|AC2|＝.‎ 可得解得或则圆心C2的坐标为(1，0)或(－2，3)(舍去).‎ 因为圆C2的半径为，所以圆C2的方程为(x－1)2＋y2＝5.故选A.‎ 法二：(特值验证法)由题意可知，平行四边形C‎1AC2B为菱形，则|C‎2A|＝|C‎1A|＝ ＝，即圆C2的半径为，排除B、D；将点A(0，2)代入选项A、C，显然选项A符合.故选A.‎ ‎2.若不同两点P，Q的坐标分别为(a，b)，(3－b，3－a)，则线段PQ的垂直平分线l的斜率为________，圆(x－2)2＋(y－3)2＝1关于直线l对称的圆的方程为____________.‎ 解析：kPQ＝＝1，故直线l的斜率为－1，由点斜式可知l的方程为y＝－x＋3，圆心(2，3)关于直线y＝－x＋3的对称点为(0，1)，故所求圆的方程为x2＋(y－1)2＝1.答案：－1　x2＋(y－1)2＝1‎ 直线与圆的位置关系 题型一　圆的切线问题 ‎[例3]　(1)过点P(2，4)作圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的切线，则切线方程为(　　)‎ A.3x＋4y－4＝0 B.4x－3y＋4＝‎0 ‎‎ C.x＝2或4x－3y＋4＝0 D.y＝4或3x＋4y－4＝0‎ ‎(2)设点M(x0，y0)为直线3x＋4y＝25上一动点，过点M作圆x2＋y2＝2的两条切线，切点为B，C 第 12 页 共 12 页 ‎，则四边形OBMC面积的最小值为________.‎ ‎[解析]　(1)当斜率不存在时，x＝2与圆相切；当斜率存在时，设切线方程y－4＝k(x－2)，即kx－y＋4－2k＝0，则＝1，得k＝，则切线方程4x－3y＋4＝0，故切线方程为x＝2或4x－3y＋4＝0.‎ ‎(2)圆心O到直线3x＋4y＝25的距离d＝＝5，则|OM|≥d＝5，‎ 所以切线长|MB|＝≥ ＝，所以S四边形OBMC＝2S△OBM≥2×××＝.‎ ‎[答案]　(1)C　(2) ‎[变式1]　本例(2)变为：过点A(1，3)，作圆x2＋y2＝2的两条切线，切点为B，C，则四边形OBAC的面积为________.‎ 解析：由相切可得S四边形OBAC＝2S△OBA，因为△OAB为直角三角形，且|OA|＝，|OB|＝，‎ 所以|AB|＝2，即S△OBA＝×2×＝2，所以S四边形OBAC＝2S△OBA＝4.答案：4‎ ‎[变式2]　本例(2)变为：设点M(x0，y0)为直线3x＋4y＝25上一动点，过点M作圆x2＋y2＝2的两条切线l1，l2，则l1与l2的最大夹角的正切值是________.‎ 解析：设一个切点为B，圆心O到直线3x＋4y＝25的距离为d＝＝5，则tan∠OMB＝≤，‎ 所以tan 2∠OMB＝＝≤.故所求最大夹角的正切值为.‎ ‎[解题方略]　直线与圆相切问题的解题策略 直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立关于切线斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式.过圆外一点求解切线段长的问题，可先求出圆心到圆外点的距离，再结合半径利用勾股定理计算.‎ 题型二　圆的弦长问题 ‎[例4]　已知圆C经过点A(－2，0)，B(0，2)，且圆心C在直线y＝x上，又直线l：y＝kx＋1与圆C相交于P，Q两点.(1)求圆C的方程；(2)过点(0，1)作直线l1与l垂直，且直线l1与圆C交于M，N两点，求四边形PMQN面积的最大值.‎ ‎[解]　(1)设圆心C(a，a)，半径为r，因为圆C经过点A(－2，0)，B(0，2)，所以|AC|＝|BC|＝r，‎ 即＝ ＝r，解得a＝0，r＝2，‎ 故所求圆C的方程为x2＋y2＝4.‎ ‎(2)设圆心C到直线l，l1的距离分别为d，d1，四边形PMQN的面积为S.‎ 因为直线l，l1都经过点(0，1)，且l1⊥l，根据勾股定理，有d＋d2＝1.‎ 第 12 页 共 12 页 又|PQ|＝2×，|MN|＝2×，所以S＝|PQ|·|MN|，‎ 即S＝×2××2×＝2＝2≤2 ＝2 ＝7，‎ 当且仅当d1＝d时，等号成立，所以四边形PMQN面积的最大值为7.‎ ‎[解题方略]　求解圆的弦长的3种方法 关系法 根据半径，弦心距，半弦长构成的直角三角形，构成三者间的关系r2＝d2＋(其中l为弦长，r为圆的半径，d为圆心到直线的距离)‎ 公式法 根据公式l＝|x1－x2|求解(其中l为弦长，x1，x2为直线与圆相交所得交点的横坐标，k为直线的斜率)‎ 距离法 联立直线与圆的方程，解方程组求出两交点坐标，用两点间距离公式求解 ‎[跟踪训练]‎ ‎1.已知过点A(0，1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点，若|MN|＝，则直线l的方程为________.‎ 解析：直线l的方程为y＝kx＋1，圆心C(2，3)到直线l的距离d＝＝，‎ 由r2＝d2＋，得1＝＋，解得k＝2或，‎ 故所求直线l的方程为y＝2x＋1或y＝x＋1.答案：y＝2x＋1或y＝x＋1‎ ‎2.(2019·山东枣庄期末改编)若点P(1，1)为圆x2＋y2－6x＝0中弦AB的中点，则弦AB所在直线的方程为________________，|AB|＝________.‎ 解析：圆x2＋y2＋6x＝0的标准方程为(x－3)2＋y2＝9.又因为点P(1，1)为圆中弦AB的中点，所以圆心与点P所在直线的斜率为＝－，故弦AB所在直线的斜率为2，所以直线AB的方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.圆心(3，0)与点P(1，1)之间的距离d＝，圆的半径r＝3，则|AB|＝2＝4.‎ 答案：2x－y－1＝0　4‎ ‎3.已知从圆C：(x＋1)2＋(y－2)2＝2外一点P(x1，y1)向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|＝|PO|，则当|PM|取最小值时点P的坐标为________.‎ 解析：如图所示，连接CM，CP.由题意知圆心C(－1，2)，半径r＝.因为|PM|＝|PO|，所以|PO|2＋r2＝|PC|2，所以x＋y＋2＝(x1＋1)2＋(y1－2)2，即2x1－4y1＋3＝0.要使|PM|的值最小，只需|PO|的值最小即可.当PO垂直于直线2x－4y＋3＝0时，即PO所在直线的方程为2x＋y＝0时，|PM|的值最小，此时点P为两直线的交点 第 12 页 共 12 页 ‎，‎ 则解得故当|PM|取最小值时点P的坐标为.答案： A组——“6＋3＋‎3”‎考点落实练 一、选择题 ‎1.“ab＝‎4”‎是“直线2x＋ay－1＝0与直线bx＋2y－2＝0平行”的(　　)‎ A.充要条件　　　　 　　 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ‎2.圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系是(　　)‎ A.相离 B.相交 C.外切 D.内切 ‎3.已知直线l1过点(－2，0)且倾斜角为30°，直线l2过点(2，0)且与直线l1垂直，则直线l1与直线l2的交点坐标为(　　)‎ A.(3，) B.(2，)‎ C.(1，) D. ‎4.(2019·江苏徐州期末)若圆(x＋1)2＋y2＝m与圆x2＋y2－4x＋8y－16＝0内切，则实数m的值为(　　)‎ A.1 B.11‎ C.121 D.1或121‎ ‎5.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线x－ky＋1＝0与圆C：x2＋y2＝4相交于A，B两点，＝＋，若点M在圆C上，则实数k的值为(　　)‎ A.－2 B.－1‎ C.0 D.1‎ 第 12 页 共 12 页 ‎6.(2019·广东省广州市高三测试)已知圆C：x2＋y2＝1，点A(－2，0)及点B(2，a)，若直线AB与圆C没有公共点，则a的取值范围是(　　)‎ A.(－∞，－1)∪(1，＋∞) B.(－∞，－2)∪(2，＋∞)‎ C.∪ D.(－∞，－4)∪(4，＋∞)‎ 二、填空题 ‎7.(2019·贵阳市第一学期监测)已知直线l1：y＝2x，则过圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的圆心且与直线l1垂直的直线l2的方程为________.‎ ‎8.已知直线l过直线l1：x－2y＋3＝0与直线l2：2x＋3y－8＝0的交点，且点P(0，4)到直线l的距离为2，则直线l的方程为________________.‎ ‎9.(2019·广东六校第一次联考)已知点P(－1，2)及圆(x－3)2＋(y－4)2＝4，一光线从点P出发，经x轴上一点Q反射后与圆相切于点T，则|PQ|＋|QT|的值为________.‎ 三、解答题 ‎10.已知圆(x－1)2＋y2＝25，直线ax－y＋5＝0与圆相交于不同的两点A，B.(1)求实数a的取值范围；(2)若弦AB的垂直平分线l过点P(－2，4)，求实数a的值.‎ ‎11.在平面直角坐标系xOy中，直线x－y＋1＝0截以原点O为圆心的圆所得的弦长为.(1)求圆O的方程；(2)若直线l与圆O相切于第一象限，且直线l与坐标轴交于点D，E，当线段DE的长度最小时，求直线l的方程.‎ 第 12 页 共 12 页 ‎12.已知A(2，0)，直线4x＋3y＋1＝0被圆C：(x＋3)2＋(y－m)2＝13(m＜3)所截得的弦长为4，且P为圆C上任意一点.(1)求|PA|的最大值与最小值；(2)圆C与坐标轴相交于三点，求以这三个点为顶点的三角形的内切圆的半径.‎ B组——大题专攻强化练 ‎1.已知点M(－1，0)，N(1，0)，曲线E上任意一点到点M的距离均是到点N的距离的倍.(1)求曲线E的方程；(2)已知m≠0，设直线l1：x－my－1＝0交曲线E于A，C两点，直线l2：mx＋y－m＝0交曲线E于B，D两点.当CD的斜率为－1时，求直线CD的方程.‎ ‎2.已知点A(1，a)，圆x2＋y2＝4.(1)若过点A的圆的切线只有一条，求a的值及切线方程；(2)若过点A且在两坐标轴上截距相等的直线被圆截得的弦长为2，求a的值.‎ ‎3.在平面直角坐标系xOy中，点A(0，3)，直线l：y＝2x－4，设圆C的半径为1，圆心在l上.(1)若圆心C也在直线y＝x－1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；(2)若圆C上存在点M，使|MA|＝2|MO|，求圆心C的横坐标a的取值范围.‎ 第 12 页 共 12 页 ‎4.在直角坐标系xOy中，曲线y＝x2＋mx－2与x轴交于A，B两点，点C的坐标为(0，1)，当m变化时，解答下列问题：(1)能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；(2)证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.‎ ‎1解析：选C　因为两直线平行，所以斜率相等，即－＝－，可得ab＝4，又当a＝1，b＝4时，满足ab＝4，但是两直线重合，故选C.‎ ‎2解析：选B　圆O1：x2＋y2－2x＝0，即(x－1)2＋y2＝1，圆心是O1(1，0)，半径是r1＝1，‎ 圆O2：x2＋y2－4y＝0，即x2＋(y－2)2＝4，圆心是O2(0，2)，半径是r2＝2，‎ 因为|O1O2|＝，故|r1－r2|＜|O1O2|＜|r1＋r2|所以两圆的位置关系是相交.‎ ‎3解析：选C　直线l1的斜率k1＝tan 30°＝，因为直线l2与直线l1垂直，所以直线l2的斜率k2＝－＝－，所以直线l1的方程为y＝(x＋2)，直线l2的方程为y＝－(x－2)，联立解得即直线l1与直线l2的交点坐标为(1，).‎ ‎4解析：选D　圆(x＋1)2＋y2＝m的圆心坐标为(－1，0)，半径为；圆x2＋y2－4x＋8y－16＝0，即(x－2)2＋(y＋4)2＝36，故圆心坐标为(2，－4)，半径为6.由两圆内切得 ＝|－6|，解得m＝1或m＝121.故选D.‎ ‎5解析：选C　法一：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(k2＋1)y2－2ky－3＝0，则Δ＝4k2＋12(k2＋1)>0，y1＋y2＝，x1＋x2＝k(y1＋y2)－2＝－，因为＝＋，故M，又点M在圆C上，故＋＝4，解得k＝0.‎ 法二：由直线与圆相交于A，B两点，＝＋，且点M在圆C上，得圆心C(0，0)到直线x－ky＋1＝0的距离为半径的一半，为1，即d＝＝1，解得k＝0.‎ 第 12 页 共 12 页 ‎6解析：选C　由点A(－2，0)及点B(2，a)，得kAB＝，所以直线AB的方程为y＝(x＋2)，即ax－4y＋‎2a＝0.因为直线AB与圆C没有公共点，所以＞1，解得a＞或a＜－，所以a的取值范围是∪，故选C.‎ ‎7解析：由题意，圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝4，所以圆的圆心坐标为(－1，2)，所以所求直线的方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋2y－3＝0.答案：x＋2y－3＝0‎ ‎8解析：由得所以直线l1与l2的交点为(1，2).显然直线x＝1不满足P(0，4)到直线l的距离为2.设直线l的方程为y－2＝k(x－1)，即kx－y＋2－k＝0，因为P(0，4)到直线l的距离为2，所以＝2，所以k＝0或k＝.所以直线l的方程为y＝2或4x－3y＋2＝0.‎ 答案：y＝2或4x－3y＋2＝0‎ ‎9解析：点P关于x轴的对称点为P′(－1，－2)，如图，连接PP′，P′Q，由对称性可知，P′Q与圆相切于点T，则|PQ|＋|QT|＝|P′T|.圆(x－3)2＋(y－4)2＝4的圆心为A(3，4)，半径r＝2，连接AP′，AT，则|AP′|2＝(－1－3)2＋(－2－4)2＝52，|AT|＝r＝2，所以|PQ|＋|QT|＝|P′T|＝＝4.答案：4 ‎10解：(1)把直线ax－y＋5＝0代入圆的方程，消去y整理，得(a2＋1)x2＋2(‎5a－1)x＋1＝0，‎ 由于直线ax－y＋5＝0交圆于A，B两点，故Δ＝4(‎5a－1)2－4(a2＋1)>0，即‎12a2－‎5a>0，解得a>或a<0，‎ 所以实数a的取值范围是(－∞，0)∪.‎ ‎(2)由于直线l为弦AB的垂直平分线，且直线AB的斜率为a，则直线l的斜率为－，‎ 所以直线l的方程为y＝－(x＋2)＋4，即x＋ay＋2－‎4a＝0，由于l垂直平分弦AB，‎ 故圆心M(1，0)必在l上，所以1＋0＋2－‎4a＝0，解得a＝，由于∈，所以a＝.‎ ‎11解：(1)因为点O到直线x－y＋1＝0的距离为，所以圆O的半径为 ＝，‎ 故圆O的方程为x2＋y2＝2.‎ 第 12 页 共 12 页 ‎(2)设直线l的方程为＋＝1(a>0，b>0)，即bx＋ay－ab＝0，‎ 由直线l与圆O相切，得＝，即＋＝，则|DE|2＝a2＋b2＝2(a2＋b2)＝4＋＋≥‎ ‎8，当且仅当a＝b＝2时取等号，此时直线l的方程为x＋y－2＝0.‎ ‎12解：(1)∵直线4x＋3y＋1＝0被圆C：(x＋3)2＋(y－m)2＝13(m＜3)所截得的弦长为4，‎ ‎∴圆心到直线的距离d＝＝＝1.∵m＜3，∴m＝2，‎ ‎∴|AC|＝＝，∴|PA|的最大值与最小值分别为＋，－.‎ ‎(2)由(1)可得圆C的方程为(x＋3)2＋(y－2)2＝13，令x＝0，得y＝0或4；令y＝0，得x＝0或－6，‎ ‎∴圆C与坐标轴相交于三点M(0，4)，O(0，0)，N(－6，0)，‎ ‎∴△MON为直角三角形，斜边|MN|＝2，∴△MON内切圆的半径为＝5－.‎ ‎1解：(1)设曲线E上任意一点的坐标为(x，y)，由题意得 ＝·，‎ 整理得x2＋y2－4x＋1＝0，即(x－2)2＋y2＝3为所求.‎ ‎(2)由题意知l1⊥l2，且两条直线均恒过点N(1，0).‎ 设曲线E的圆心为E，则E(2，0)，设线段CD的中点为P，连接EP，ED，NP，则直线EP：y＝x－2.‎ 设直线CD：y＝－x＋t，由解得点P，‎ 由圆的几何性质，知|NP|＝|CD|＝ ，‎ 而|NP|2＝＋，|ED|2＝3，|EP|2＝，‎ 所以＋＝3－，整理得t2－3t＝0，解得t＝0或t＝3，‎ 所以直线CD的方程为y＝－x或y＝－x＋3.‎ ‎2解：(1)由过点A的圆的切线只有一条，得点A在圆上，故12＋a2＝4，解得a＝±.‎ 当a＝时，A(1，)，根据直线的点斜式方程，易知所求的切线方程为x＋y－4＝0；‎ 当a＝－时，A(1，－)，根据直线的点斜式方程，易知所求的切线方程为x－y－4＝0.‎ 综上所述，当a＝时，切线方程为x＋y－4＝0；当a＝－时，切线方程为x－y－4＝0.‎ ‎(2)设直线方程为x＋y＝b，由于直线过点A，则1＋a＝b，即a＝b－1，‎ 又圆心(0，0)到直线x＋y＝b的距离d＝.所以＋＝4，则b＝±，因此a＝b－1＝－1±.‎ ‎3解：(1)因为圆心在直线l：y＝2x－4上，也在直线y＝x－1上，‎ 所以解方程组得圆心C(3，2)，又因为圆的半径为1，‎ 第 12 页 共 12 页 所以圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝1，又因为点A(0，3)，显然过点A，圆C的切线的斜率存在，‎ 设所求的切线方程为y＝kx＋3，即kx－y＋3＝0，所以＝1，解得k＝0或k＝－，‎ 所以所求切线方程为y＝3或y＝－x＋3，即y－3＝0或3x＋4y－12＝0.‎ ‎(2)因为圆C的圆心在直线l：y＝2x－4上，所以设圆心C为(a，‎2a－4)，‎ 又因为圆C的半径为1，则圆C的方程为(x－a)2＋(y－‎2a＋4)2＝1.设M(x，y)，又因为|MA|＝2|MO|，则有 ＝2，整理得x2＋(y＋1)2＝4，其表示圆心为(0，－1)，半径为2的圆，设为圆D，‎ 所以点M既在圆C上，又在圆D上，即圆C与圆D有交点，所以2－1≤ ≤2＋1，‎ 解得0≤a≤，所以圆心C的横坐标a的取值范围为.‎ ‎4解：(1)不能出现AC⊥BC的情况，理由如下：设A(x1，0)，B(x2，0)，则x1，x2满足x2＋mx－2＝0，‎ 所以x1x2＝－2.又C的坐标为(0，1)，故AC的斜率与BC的斜率之积为·＝－，‎ 所以不能出现AC⊥BC的情况.‎ ‎(2)证明：由(1)知BC的中点坐标为，可得BC的中垂线方程为y－＝x2.‎ 由(1)可得x1＋x2＝－m，所以AB的中垂线方程为x＝－.联立可得 所以过A，B，C三点的圆的圆心坐标为，半径r＝.‎ 故圆在y轴上截得的弦长为2 ＝3，即过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.‎