数学卷·2018届江苏省海安高级中学高三1月月考（2018

数学卷·2018届江苏省海安高级中学高三1月月考（2018

江苏省海安高级中学2018届高三1月月考（阶段检测 三）‎ 数 学 Ⅰ卷 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答卷规定的横线上）‎ ‎1．已知集合，，若，则实数的值为 ▲ . ‎ ‎2．复数在复平面内对应的点位于第 ▲ 象限. ‎ ‎3．根据如图所示的伪代码，当输入的值为时，输出的值为 ▲ . ‎ Read a S0‎ I1‎ While I≤3‎ SS＋a aa×2‎ II＋1‎ End While Print S 第3题 第4题 ‎ ‎ ‎4．从某小学随机抽取名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）.若要从身高在，，三组内的学生中，用分层抽样的方法选取人参加一项活动，则从身高在内的学生中选取的人数应为 ▲ . ‎ 第5题 ‎5．如图，正方形内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的 黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一 点，则此点取自黑色部分的概率是 ▲ . ‎ ‎6．若命题“存在，”为假命题，则实数的取值范围是 ▲ . ‎ ‎7．已知函数与（），它们的图象有一个横坐标为的交点，则的值是 ▲ . ‎ ‎8．已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为 ▲ .‎ ‎9．已知向量，，则与的夹角的大小为 ▲ . ‎ ‎10．已知一个圆锥母线长为2，其侧面展开图是半圆，则该圆锥的体积为 ▲ . ‎ ‎11．已知等比数列的前项和为，若，则 ▲ . ‎ ‎12．已知上的动点，则的最小值为 ▲ .‎ ‎13．若是与的等比中项，则的最大值为 ▲ .‎ ‎14．在中，角的对边依次为，若为锐角三角形，且满足则的取值范围是 ▲ ．‎ 二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎15．（本小题满分14分）‎ 如图，在几何体中，四边形为菱形，对角线与的交点为，四边形为梯形，∥，．‎ ‎（1）若，求证：∥平面；‎ ‎（2）求证：平面平面．‎ ‎ ‎ 第15题 ‎16．（本小题满分14分）‎ 已知函数.‎ ‎（1）求函数的最大值和最小正周期；‎ ‎（2）设的角的对边分别为，且，，若，求边，的值.‎ ‎17．（本小题满分14分）‎ 在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：的离心率为，且点在椭圆C上.‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ D Q B P x A O y ‎（2）设P为椭圆上第一象限内的点，点P关于原点O的对称点为A，点P关于x轴的对称点为Q，设，直线AD与椭圆C的另一个交点为B，若PA⊥PB，求实数λ的值.‎ 第17题 ‎18．（本小题满分16分）‎ 一块圆柱形木料的底面半径为12cm，高为32cm ‎，要将这块木料加工成一只毛笔筒，在木料一端正中间掏去一个小圆柱，使小圆柱与原木料同轴，并且掏取的圆柱体积是原木料体积的三分之一，设小圆柱底面半径为r cm，高为h cm，要求笔筒底面的厚度超过2cm．‎ ‎（1）求与的关系，并指出的取值范围；‎ ‎（2）笔筒成形后进行后续加工，要求笔筒上底圆环面、桶内侧面、外表侧面都喷上油漆，其中上底圆环面、外表侧面喷漆费用均为a（元/ cm2），桶内侧面喷漆费用为2a ‎（元/cm2），而桶内底面铺贴金属薄片，其费用是7a（元/ cm2）（其中a为正常数）．‎ ‎①将笔筒的后续加工费用（元）表示为的函数；‎ ‎②求出当取何值时，能使笔筒的后续加工费用最小，并求出的最小值．‎ ‎19．（本小题满分16分）‎ 已知数列中，首项，，对任意正整数都成立，数列 的前项和为．‎ ‎（1）若，且，求实数的值；‎ ‎（2）是否存在实数，使数列是公比不为的等比数列，且任意相邻三项，，按某顺序排列后成等差数列．若存在，求出所有的的值；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）若，求（用，表示）．‎ ‎20．（本小题满分16分）‎ 已知函数（）.‎ ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）若存在两条直线，（）都是曲线的切线，求实数的取值范围；‎ ‎（3）若，求实数的取值范围.‎ Ⅱ卷（附加题）‎ ‎21．B【矩阵与变换】（本小题满分10分）已知矩阵，若，求矩阵的特征值．‎ C【坐标系与参数方程】（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（为参数）．在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆的方程为．‎ ‎①写出直线的普通方程和圆的直角坐标方程；‎ ‎②若点坐标为（1，1），圆与直线交于，两点，求的值．‎ y x C O l ‎22．（本小题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，已知直线：，抛物线： （）．‎ ‎（1）若直线过抛物线的焦点，求抛物线的方程；‎ ‎（2）已知抛物线上存在关于直线对称的相异两点和．‎ ‎①求证：线段PQ的中点坐标为；‎ ‎②求的取值范围．‎ ‎23．（本小题满分10分）已知（，为常数）．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）我们知道二项式的展开式，若等式两边对求导得，令得．利用此方法解答下列问题：‎ ‎①求；‎ ‎②求．‎ 答案：‎ ‎1.2 ‎ ‎2.四 ‎ ‎3.28 ‎ ‎4.3 ‎ ‎5. ‎ ‎6.a＞2 ‎ ‎7. ‎ ‎8. ‎ ‎9. ‎ ‎10. ‎ ‎ 11.448 ‎ ‎12. ‎ ‎13. ‎ ‎14.‎ ‎15.【解析】‎ ‎（Ⅰ）证明：取的中点，连接、，‎ 因为为对角线与的交点，则为中点，‎ 所以∥，且．‎ 又因为∥，且，‎ 所以∥，，则四边形为平行四边形，----------3分 所以∥． ‎ 又因为平面，平面，∥，‎ 所以∥平面；-------------------------------------------------------------------6分 ‎（Ⅱ）证明：因为四边形为菱形，所以，--------------------------7分 ‎ 又因为，是的中点，所以，------------------8分 又有平面，平面,‎ 所以平面，----------------------------------------------12分 又因为平面，‎ 所以平面平面．----------------------------------------14分 ‎16.【解析】（Ⅰ）因为 ‎-------------------------------------------------------------------4分 当且仅当时，--------------------------------------6分 最小正周期分别为和.------------------------------------------------7分 ‎（Ⅱ）因为，即，因为，所以 ‎，于是，即.------------------------------10分 因为，由正弦定理得，-------------------------------------12分 由余弦定理得，即，‎ 联立，解得.-------------------------------------------14分 ‎17.解:(1)因为点在椭圆C上，则，------------------------------1分 又椭圆C的离心率为，可得，即，‎ 所以 ，代入上式，可得，‎ 解得，故.‎ 所以椭圆C的方程为 5分 ‎(2)设P(x0，y0)，则A(-x0，-y0)，Q(x0，-y0).‎ 因为=λ,则(0，yD-y0)=λ(0，-2y0)，故yD=(1-2λ)y0.‎ 所以点D的坐标为(x0，(1-2λ)y0). 7分 设B(x1，y1)，‎ ‎ 9分 又 故.----------------------------------------------------------------------11分 又PA⊥PB，且，‎ 所以，即，解得.‎ 所以 14分 ‎18.【解析】（Ⅰ）据题意，，所以，----------------------3分 因为，所以 即，解得，----------------------------------------------------------5分 又，所以；----------------------------------------------------------6分 ‎（Ⅱ）①据题意，笔筒的后续加工费用，‎ 整理得 ‎，定义域为；----------------------11分 ‎ ②由①知，，令得，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 递减 ‎ 极小值 ‎ 递增 ‎ 由表知，当时，取极小值即最小值.------------------------15分 答：当时，能使笔筒的后续加工费用最小，最小值为元．----16分 ‎19.【解析】（Ⅰ）当时，由得， ‎ 即，所以数列 为等差数列，--------------------1分 公差为，数列的前项和为 ‎，由得，‎ 解得；---------------------------------------------------------3分 ‎（Ⅱ）设数列为等比数列，则其公比为，，，．‎ ‎ 若为等差中项，则即，解得，与已知不符，舍去；‎ ‎ 若为等差中项，则即，即，解得 或（舍），此时由得即，故；‎ ‎ 若为等差中项，则即，即，解得或 ‎（舍），仿得．---------------------------------------------------8分 综上，满足要求的实数有且仅有一个，；---------------------------------9分 ‎ （Ⅲ）当时，，所以，‎ 于是．----------------------------------------11分 ‎ 当为偶数时，；‎ ‎---------------------------------------------------------------------------------13分 ‎ 当为奇数时，‎ ‎（），当时，也适合该式，‎ 所以．-----------------------------------------------16分 ‎20.【解析】（Ⅰ）（）.‎ 当时，，的递减区间为；----------------------------1分 当时，由得，列表得：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 递减 ‎ 极小值 ‎ 递增 所以，函数的递减区间为，递增区间为；-----------------------4分 ‎（Ⅱ）因为存在两条直线、（）都是曲线的切线，‎ 所以至少有两个不等的正根，-----------------------------------------------5分 令，得，记其两个根为、（），‎ 则，解得，------------------------------------------------------------------------------------7分 而当时，曲线在点、处的切线分别为、，设（），由 知，当时，即在区间上是单调函数，因此，所以、不重合，即、（）是曲线的两条不同的切线，故；----------------10分 ‎（Ⅲ）当时，函数是内的减函数，因为，而 ‎，不符合题意；----------------------------------------------------------12分 当时，由（Ⅰ）知的最小值为.‎ ‎ 若即时，，所以符合题意；‎ 若即时，，所以符合题意；‎ 若即时，，而，函数在内递增，所以当 时，，又因为的定义域为，所以，符合题意.‎ 综上，实数的取值范围为.----------------------------------------------16分 ‎【解析】因为，所以，解得，‎ 所以，--------------------------------------------------------------------------------5分 其特征多项式为，‎ 令，解得特征值为，．----------------------------10分 ‎【解析】（Ⅰ）直线的参数方程为（为参数）．‎ 消去参数可得直线的普通方程为；---------------------------------------2分 圆的方程为，即，‎ 可得圆的直角坐标方程为．------------------------------------------4分 ‎（Ⅱ）将代入得，‎ 设、两点对应的参数分别为、，‎ 则，，所以．------10分 另解：由得，则，---------------------------------------6分 不妨取，则，---------------------------------------------------------------8分 ‎，‎ ‎，‎ 所以 ‎--------------------------------------------------10分 ‎【解析】（Ⅰ）抛物线： （）的焦点为，‎ 由点在直线：上得，即，‎ 所以抛物线的方程为；-------------------------------------------------2分 ‎（Ⅱ）设、，线段的中点．‎ 因为点和关于直线对称，所以直线垂直平分线段，‎ 于是的方程可设为．‎ ‎①证明：由得……（﹡），‎ 因为和是抛物线上相异两点，所以，‎ 从而，化简得，方程（﹡）的两根为 ‎，从而．‎ 因为在直线上，所以，‎ 因此，线段的中点坐标为；--------------------------6分 ‎②因为在直线上，‎ 所以，即．‎ 由①知，于是，所以，‎ 即的取值范围为．-------------------------------------------10分 ‎【解析】（Ⅰ）对于，‎ 取得；-------------------------------------------------------------2分 ‎（Ⅱ）①对两边求导得 ‎ ，‎ 取得；--------------------------------6分 ‎②将两边乘以得 ‎，两边求导得 ‎，‎ 取得．-----------------------10分