专题34 不等关系与不等式-2020年领军高考数学一轮复习（文理通用） Word版含解析

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文档介绍

专题34 不等关系与不等式-2020年领军高考数学一轮复习（文理通用） Word版含解析

专题 34 不等关系与不等式最新考纲 1.了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系. 2.了解不等式(组)的实际背景. 基础知识融会贯通 1．两个实数比较大小的方法 (1)作差法Error!(a，b∈R) (2)作商法Error!(a∈R，b>0) 2．不等式的基本性质性质性质内容特别提醒对称性 a>b⇔bb，b>c⇒a>c ⇒ 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c ⇔ Error!⇒ac>bc可乘性 Error!⇒acb＋d ⇒ 同向同正可乘性 Error!⇒ac>bd ⇒ 可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥1) 可开方性 a>b>0⇒n a>n b(n∈N，n≥2) a，b 同为正数 3.不等式的一些常用性质 (1)倒数的性质 ①a>b，ab>0⇒1 a<1 b. ②a<0b>0,0b d. ④0b>0，m>0，则 ①b ab－m a－m(b－m>0)． ②a b>a＋m b＋m；a b0)．重点难点突破【题型一】比较两个数(式)的大小【典型例题】已知 t＝a+4b，s＝a+b2+4，则 t 和 s 的大小关系是（　　） A．t＞s B．t≥s C．t＜s D．t≤s 【解答】解：a+b2+4﹣（a+4b）＝b2﹣4b+4＝（b﹣2）2≥0； ∴t≤s．故选：D．【再练一题】已知，则 a、b、c 的大小关系为　　．【解答】解：lg3∈（0，1）， 1，ln 0，故 b＞a＞c，故答案为：b＞a＞c 思维升华比较大小的常用方法 (1)作差法一般步骤：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差． (2)作商法一般步骤：①作商；②变形；③判断商与 1 的大小关系；④结论． (3)函数的单调性法：将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数的单调性得出大小关系．【题型二】不等式的性质【典型例题】已知 a＞b＞0，x＝a+beb，y＝b+aea，z＝b+aeb，则（　　） A．x＜z＜y B．z＜x＜y C．z＜y＜x D．y＜z＜x 【解答】解：解法一：由题意，令 a＝2，b＝1，则 x＝2+e，y＝1+2e2，z＝1+2e；显然有 1+2e2＞1+2e＞2+e，即 x＜z＜y．解法二：a＞b＞0 时，ea＞eb， ∴aea＞aeb＞beb， ∴b+aea＞b+aeb＞a+beb，这里 a＞b＞0，∴z﹣x＝（b﹣a）+（a﹣b）eb＝（a﹣b）（eb﹣1）＞0，即 x＜z＜y．故选：A．【再练一题】设 b＞a＞0，c∈R，则下列不等式中不一定成立的是（　　） A．a b B． C． D．ac2＜bc2 【解答】解：因为 y＝x 在（0，+∞）上是增函数，所以 a b ，因为 y c 在在（0，+∞）上是减函数，所以 c c，因为 0，所以，当 c＝0 是，ac2＝bc2，所以 D 不成立，故选：D．思维升华解决此类问题常用两种方法：一是直接使用不等式的性质逐个验证；二是利用特殊值法排除错误答案．利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件．【题型三】不等式性质的应用命题点 1　应用性质判断不等式是否成立【典型例题】若 a，b，c∈R，且 a＞b，则下列不等式一定成立的是（　　） A． a+c≥b﹣c B．（a﹣b）c2≥0 C．ac＞bc D．【解答】解：a，b，c∈R，且 a＞b，可得 a﹣b＞0，因为 c2≥0，所以（a﹣b）c2≥0．故选：B．【再练一题】下列不等式正确的是（　　） A．若 a＞b，则 a•c＞b•c B．若 a＞b，则 a•c2＞b•c2 C．若 a＞b，则 D．若 a•c2＞b•c2，则 a＞b 【解答】解：A．c≤0 不成立； B．c＝0 时不成立； C．取 a＝2，b＝﹣1 不成立； D．a•c2＞b•c2，可得 a＞b．故选：D．命题点 2　求代数式的取值范围【典型例题】设 a≥b≥c，且 1 是一元二次方程 ax2+bx+c＝0 的一个实根，则的取值范围为（　　） A．[﹣2，0] B．[ ，0] C．[﹣2， ] D．[﹣1， ] 【解答】解：∵1 是一元二次方程 ax2+bx+c＝0 的一个实根， ∴a+b+c＝0，得 b＝﹣a﹣c， ∴a≥b≥c，即 a≥﹣a﹣c≥c，即得，若 a＞0，则不等式等价为，即得﹣2 ，若 a＜0，则不等式等价为，即，此时不等式无解，综上的取值范围为﹣2 ，故选：C．【再练一题】若 x1，x2，x3∈（0，+∞），设，则 a，b，c 的值（　　） A．至多有一个不大于 1 B．至少有一个不小于 1 C．都大于 1 D．都小于 1 【解答】解：x1，x2，x3∈（0，+∞），设，则 a+b+c≥3 3 3，可得 a，b，c 中至少有一个不小于 1，由于 a，b，c 中都小于 1，则由不等式的可加性可得 a+b+c＜3，矛盾，则 a，b，c 中至少有一个不小于 1，故选：B．思维升华 (1)判断不等式是否成立的方法 ①判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明． ②在判断一个关于不等式的命题的真假时，可结合不等式的性质，对数函数、指数函数的性质进行判断． (2)求代数式的取值范围利用不等式性质求某些代数式的取值范围时，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围，是避免错误的有效途径．基础知识训练 1．【浙江省绍兴市第一中学 2018-2019 学年高一下学期学考模拟考试】已知实数，满足，，则的取值范围是（） A． B． C． D．【答案】B 【解析】解：令，， , 则又，因此，故本题选 B. 2．【四川省大竹中学2018-2019 学年高一第二学期 5 月月考考前模拟】已知非零实数，则下列说法一定正确的是（） A． B． C． D．【答案】D 【解析】选项 A.由不等式性质可知；是两个正数存在，才有，本题的已知条件没有说明是两个正数，所以本选项是错误的；选项 B:若，显然结论不正确，所以本选项是错误的；选项 C: ，可以判断的正负性，但是不能判断出的正负性，所以本选项不正确；选项 D:若，由，可以得到，若时，由不等式的性质可知：，，故由可以推出，故本选项正确，所以本题选 D. x y 4 1x y− ≤ − ≤ − 1 4 5x y− ≤ − ≤ 9x y− [ 7,26]− [ 1,20]− [4,15] [1,15] m x y= − 4n x y= − ,3 4 3 n mx n my − =⇒  − = 8 5 5 5 209 4 1 ,3 3 3 3 3z x y n m m m= − = − − ≤ ≤ − ∴ ≤ − ≤ 8 8 401 5 3 3 3n n− ≤ ≤ ∴− ≤ ≤ 8 031 59 23z x y n m− = − = − ≤≤ a b> 2 2a b> | | | |a b> 1 1 a b < 2 2a c b c⋅ ≥ ⋅ 2 20a b a b> > ⇒ > a b> 2 2a b> 2,1 −=−= ba | | | |a b> 1 1 b a a b ba −− = a b> b a− ba 0c = a b> 2 2ac bc= 0c ≠ a b> 2 2 20c ac bc> ⇒ > a b> 2 2a c b c⋅ ≥ ⋅ 3．【浙江省衢州市2018-2019 学年高一年级 6 月教学质量检测】若，下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D．【答案】D 【解析】若，，则，错误；，则，错误；，，则，错误；，则等价于，成立，正确. 本题正确选项： 4．【广东省广州第六中学 2018-2019 学年高一下学期数学期中】设，若，则下列不等式正确的是（） A． B． C． D．【答案】B 【解析】 , A 项，，则 b-a<0,故 A 项错误； B 项，，则 a+b>0,故 B 项正确； C 项，，则 ,故 C 项错误； D 项，a>|b|⇒ ，即，故 D 项错误. 故选：B 5．【江西师范大学附属中学2018-2019 学年高一下期期中考试】下列命题中，正确的是( ) A．若，则 B．若，则 0a b> > 2 2a b< 2a ab< 1 1 a b < 1b a < 2a = 1b = − 2 2a b> A ( )2 0a ab a a b− = − > 2a ab> B 1 0a > 1 0b < 1 1 a b > C 0a > 1b a < b a< D D ac bc> a b> ,a b c d> > a c b d− > − C．若，则 D．若，则【答案】D 【解析】时，若，则，排除；时，成立，不成立，排除；时，成立，不成立，排除；故选 D. 6．【贵州省凯里市第一中学2018-2019 学年高一下学期期中考试】若，，则下列选项中正确的是（） A． B． C． D．【答案】D 【解析】由故选 D. 7．【湖南省张家界市慈利县2018-2019 学年高一下学期期中检测】若 a＞b，c＞d，下列不等式正确的是（　　） A． B． C． D．【答案】A 【解析】由题意，因为，所以，即，又因为，所以，故选：A． 8．【安徽省郎溪中学2018-2019 学高一下学期期末考试】已知为非零实数，且，则下列不等式成立的是（） A． B． C． D．【答案】C 【解析】 ,a b c d> > ac bd≥ a b< a b< 0c < ac bc> a b< A 2, 0, 3a c b d= = = = − ,a b c d> > a c b d− > − B 2, 2, 3a c b d= = = − = − ,a b c d> > ac bd≥ C 0a b> > 0c d< < 1 1 ac bd < ad bc> a b c d > a b d c < 1 10, 0, 0, 0, ,a b a bc d c d a bd c d c d c < < − > − > − > − > > > ∴ > <− −∴ c b d a− > − ac bd> a c b d− > − a b d c > a b> a b− < − b a− > − c d> c b d a− > − ,a b a b< 2 2a b< 1 1 a b > 2 2 1 1 ab a b < 1 1 a b a >− 对于 A，若，则，两边平方得到，故 A 不正确；对于 B，若，则，，则，故 B 不正确；对于 C，，由于为非零数，，则，，故，即，所以 C 正确。对于 D，若，则，，，则，故 D 不正确；故答案选 C 9．【重庆市巴蜀中学2018-2019 学年高二下学期期中考试】三个正整数，，满足条件: ，，，若，则的最大值是（） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】B 【解析】由不等式的性质结合题意有：，即，由于都是正整数，故的最大值是 13. 故选：B. 10．【陕西省西安市蓝田县2018-2019 学年高二下学期期末】若，则下列不等式中成立的是（） A． B． C． D．【答案】A 【解析】 ∵a＜0，∴|a|＝﹣a，∵a＜b＜0，∴﹣a＞﹣b＞0，∴|a|＞﹣b，故结论 A 成立；取 a＝﹣2，b＝﹣1，则 ∵ ，∴B 不正确；，∴ ，∴C 不正确；，，∴ ，∴D 不正确． 0a b< < 0a b− > − > 2 2a b> 0a b< < 1 0a < 1 0b > 1 1 a b < 2 2 2 2 1 1 a b ab a b a b −− = ,a b a b< 0a b− < 2 2 0a b > 2 2 2 2 1 1 0a b ab a b a b −− = < 2 2 1 1 ab a b < 0b a> > 0a b− < 1 0a b <− 1 0a > 1 1 a b a <− x y z x y> y z> 3 xz > 5z = y , 5,5 3 xx y y> > > , 5, 15. 15x y y x y x> > < ∴ < < , ,x y z y 0a < b < |a|> b− 1a b < a b− < − 1 1 a b < 2 1a b = ＞ 2 1a b− = − =， a b− −＞ 1 1 2a = − 1 1b = − 1 1 a b ＞故选：A． 11．【山西省2019 届高三高考考前适应性训练（三)】设，则 A． B． C． D．【答案】A 【解析】 ,即，故 . 又，所以 . 故，所以选 A. 12．【湖北省恩施州2019 届高三 2 月教学质量检测】设，，则（） A． B． C． D．【答案】B 【解析】因为，，所以，所以，所以，所以选 B. 13．【湖北省重点高中协作体2018-2019 学年高一下学期期中联考】若，且，则，，，从小到大的排列顺序是______．【答案】【解析】 ∵ ， 0.3 2 1log 0.6, log 0.62m n= = m n m n mn− > + > m n mn m n− > > + m n m n mn+ > − > mn m n m n> − > + 0.3 0.3log 0.6 log 1 0,m = > = 2 2 1 1log 0.6 log 1 0,2 2n = < = 0mn < 0.6 0.6 1 1 log 0.3 log 4m n + = + 0.6 0.6log 1.2 log 0.6 1= < = 1m n mn + < m n mn+ > ( ) ( ) 2 0m n m n n− − + = − > m n m n− > + m n m n mn− > + > 0.1log 2a = 30log 2b = 4 2( ) 3ab a b ab> + > 4 2( ) 3ab a b ab< + < 2 3( ) 4ab a b ab< + < 2 3( ) 4ab a b ab> + > 0.1log 2a = 30log 2b = 0ab < 2 2 2 1 1 3log 0.1 log 30 log 3 ,22a b  + = + = ∈   3 1 1 22 a b < + < ( )4 2 3ab a b ab< + < a R∈ 2 0a a− < a 2a a− 2a− 2 2a a a a− < − < < 2 0a a− < ∴ ， , ， ∴ ， ∴ ．故答案为． 14．【浙江省绍兴市第一中学2018-2019 学年高一下学期学考模拟考试】已知 , ,则的取值范围为__________. 【答案】【解析】，而，根据不等式的性质可得，所以的取值范围为 . 15．【江苏省沭阳县2018-2019 学年高二下学期期中调研测试】有下面四个不等式：① ；② ；③ ；④ ．其中恒成立的有______个．【答案】2 【解析】解：①因为 2（a2+b2+c2）﹣2（ab+bc+ca）＝（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2≥0，所以 a2+b2+c2≥2 （ab+bc+ca）成立，所以①正确． ②因为，所以②正确． ③当 a，b 同号时有，当 a，b 异号时，，所以③错误． ④ab＜0 时，不成立. 其中恒成立的个数是 2 个． 16．【黑龙江省哈尔滨市呼兰一中、阿城二中、宾县三中、尚志五中四校2018-2019 学年高一下学期期中考试】已知，则的取值范围是_________ 0 1a< < 2 0a a> > ( ) ( )2 2 0a a a a− − − = − − > 2a a− > − 2 20a a a a− < − < < < 2 2a a a a− < − < < 12 60a< < 15 36b< < a b 1( ,4)3 1 1 10 15 36 0 36 15bb< < < ⇒ < < < 12 600 a< << 1 1 1 436 1 112 65 0 3 a b ba× ⋅ ⇒ << < × < a b 1( ,4)3 2 2 2a b c ab bc ca+ + ≥ + + ( ) 11 4a a− ≤ 2b a a b + ≥ 2 a b ab + ≥ ( ) 2 2 1 1 11 2 4 4a a a a a − = − + = − − + ≤   2a b b a + ≥ 2a b b a + ≤ − 2 a b ab + ≥ 0, , ,2 2 π πα β π   ∈ ∈       2 βα − 【答案】【解析】因为，所以，因此 17．【湖南省湖南师范大学附属中学 2018-2019 学年高二上学期期中考试】对于实数 a、b、c，有下列命题：①若 a>b，则 acbc2，则 a>b；③若 aab>b2；④若 c>a>b>0，则；⑤若 a>b，，则 a>0，b<0.其中正确的是________．(填写序号) 【答案】②③④⑤ 【解析】对于①，当 c＝0 时，由 a>b，可得 ac＝bc，故①为假命题；对于②，由 ac2>bc2，得 c≠0，故 c2>0，所以可得 a>b，故②为真命题；对于③，若，则，且，所以，故③为真命题；对于④，若，则，则，则，故④为真命题；对于⑤，若 a>b，，则，故 a·b<0，所以，故⑤为真命题．综上可得②③④⑤为真命题．故答案为：②③④⑤. 18．【湖南省衡阳市第一中学2018-2019 学年高二下学期第一次月考】已知，，若对任意的 ∈ ，总存在 ∈ ，使得，则的取值范围是______．【答案】【解析】 ,2 2 4 β π πα  − ∈ −   0, , ,2 2 π πα β π   ∈ ∈       , ,2 4 2 2 2 4 β π π β π π   ∈ ∈ − −      ，- 2 βα − ,2 4 π π ∈ −   ( )g 2x mx函数 = + ( ) 2 2 2 3 4xf x x x −= − 1x [ ]-1,2 2x 1 3  ， ( ) ( )1 2g x f x> m 1 ,12  −   原命题⇔ ，因为 f(x)＝x2＋－3≥4－3＝1，当且仅当 x＝时取等号．当 m>0 时，函数递增，g(x)min＝2－m>1，即 01，显然成立；当 m<0 时，函数递减，g(x)min＝2m＋2>1，即 2 4 x 2 1 2 − 1 ,12  −   ,a b a b≠ 3 3 2 2a b a b ab+ > + ,a m a b< a m a b m b + <+ 2 2 a b c c > a b> (0, )2x π∈ 2sin sinx x + 1 2 x x ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )23 3 2 2 2 2 2 2a b a b ab a a b b b a a b a b a b a b+ − − = − + − = − − = − + a b≠ ,a b ( )2 0a b∴ − > 0a b+ > 3 3 2 2 0a b a b ab∴ + − − > 3 3 2 2a b a b ab+ > + 1a = 2b = 1m = 2 1 3 2 a m a b m b + = > =+ 2 2 a b c c > 2 0c > 2 2 2 2 a bc cc c ⋅ > ⋅ a b> 0, 2 x pæ ö÷çÎ ÷ç ÷ç ÷è ø ( )sin 0,1x∈ ( )2sin 3,sinx x + ∈ +∞ a≤2b≤2a＋b，则的取值范围为_______．【答案】；【解析】根据 a＞0，b＞0，由求得，，令，则，所以，故答案是 . 能力提升训练 1．【福建省上杭县第一中学等六校 2018-2019 学年高二下学期期中考试】若，，则的大小关系是（） A． B． C． D．的大小由的取值确定【答案】A 【解析】因为 , >0, 所以，选 A. 2．【浙江省嘉兴市第一中学、湖州中学2018-2019 学年高一下学期期中考试】若，且，则下列不等式一定成立的是（） A． B． 7P a a= + + 3 4Q a a= + + + ( )0a ≥ ,P Q P Q< P Q= P Q> ,P Q a 2 2 2 22 7 2 3 4 2 7 2 7 12 0P Q a a a a a a a a− = + − + + = + − + + < ,P Q P Q< , ,a b c∈R a b> a c b c+ ≥ − 2( ) 0a b c− ≥ C． D．【答案】B 【解析】当时，不成立；因为，所以；当时，不成立；当时，不成立；所以选 B. 3．【浙江省嘉兴市第一中学、湖州中学2018-2019 学年高一下学期期中考试】已知，，则的取值范围是（） A． B． C． D．【答案】D 【解析】因为 +2（），所以，选 D. 4．【甘肃省2019 届高三第二次高考诊断考试】若，则下列不等式恒成立的是（） A． B． C． D．【答案】D 【解析】对于选项 A, 不一定成立，如 a=1＞b=-2,但是，所以该选项是错误的；对于选项 B, 所以该选项是错误的；对于选项 C, ab 符号不确定，所以不一定成立，所以该选项是错误的；对于选项 D, 因为 a>b,所以，所以该选项是正确的. 故选：D 5．【天津市2019 年 3 月九校联考高三】已知函数的定义域是，当 ac bc> b b c a a c +≤ + 0c < a c b c+ ≥ − 2 0, 0c a b≥ − > ( ) 2 0a b c− ≥ 0c < ac bc> 0c < b b c a a c +≤ + 1 2 2a b− < + < 3 4a b< − < 4a b− (4,11) (5,11) (4,10) (5,10) 4 2a b a b− = +（） a b− 4 1 6 2 8 510a b− ∈− + + =，（，） a b> 0ab ≠ 2 2a b> lg( ) 0a b− > 1 1 a b < a b2 2> 2 2a b> 2 2a b＜ 1 1 1 1, , ,lg 0,2 3 6 6a b a b= = − = < 1 1 , 0,b a b aa b ab −− = − < 1 1 a b < a b2 2> ( ) 3 cos xf x x = ,2 2 π π −   , 时，若，，，则有的值( ) A．恒等于零 B．恒小于零 C．恒大于零 D．可能小于零，也可能大于零【答案】C 【解析】函数的定义域关于原点对称，且满足，故函数为奇函数，又由，在时恒成立，故时，函数为增函数，进而可得时，函数为增函数，若，则，则，，，从而：，，，据此可得：，即的值恒大于零. 故选：C. 6．【湖南省益阳市2019 届高三 4 月模拟考试】已知：，则 3，，的大小关系是（） A． B． C． D．【答案】D 【解析】 ,2 2ix π π ∈ −   1,2,3i = 1 2 0x x+ > 2 3 0x x+ > 1 3 0x x+ > ( ) ( ) ( )1 2 3f x f x f x+ + 3 ( ) cos xf x x = π π,2 2  −   ( ) ( )f x f x− = − ( )f x 2 3 2 3 cos sin'( ) 0cos x x x xf x x += > 0, 2x π ∈   0, 2x π ∈   ,2 2x π π ∈ −   1 2 2 3 1 30, 0, 0x x x x x x+ > + > + > 1 2 2 3 3 1, ,x x x x x x> − > − > − ( ) ( ) ( )1 2 2f x f x f x> − = − ( ) ( ) ( )2 3 3f x f x f x> − = − ( ) ( ) ( )3 1 1f x f x f x> − = − ( ) ( )1 2 0f x f x+ > ( ) ( )2 3 0f x f x+ > ( ) ( )1 3 0f x f x+ > ( ) ( ) ( )1 2 32 0f x f x f x + + >  ( ) ( ) ( )1 2 3f x f x f x+ + 2 6 10a b= = ab +a b 3ab a b< + < 3ab a b< < + 3 a b ab< + < 3 ab a b< < + ，， ∴ ；又，∴ .故选 D. 7．【上海市虹口区2019 届高一第一学期期末考试】已知，则的取值范围为_____．【答案】【解析】 ∵1≤a≤2，3≤b≤6，∴3≤3a≤6，﹣12≤﹣2b≤﹣6，由不等式运算的性质得﹣9≤3a﹣2b≤0，即 3a﹣2b 的取值范围为[﹣9，0]. 故答案为：[﹣9，0] 8．【吉林省实验中学2018-2019 学年高二下学期期中考试】已知 a，b，x 均为正数，且 a＞b，则 ____ （填“＞”、“＜”或“＝”）．【答案】< 【解析】由题得，因为 a>0,x+a>0,b-a<0,x>0, 所以所以 . 故答案为：＜ 9．【湖南省长沙市长郡中学2019 届高三上学期第一次适应性考试（一模)】在中，角，，所对的边分别为，，，若，则，，必须满足__________．【答案】【解析】因为 , 2 2log 10 log 8 3a = > = 6log 10 1b = > 3ab > 1 1 lg2 lg6 lg12 1a b ab a b + = + = + = > a b ab⇒ + > 3a b ab+ > > 1 2,3 6a b≤ ≤ ≤ ≤ 3 2a b− [ ]9,0− b a b x a x + + ( ) ( ) ( ) b b x ab bx ab ax b a x a a x a a x a x a + + − − −− = =+ + + ( ) 0,( ) b a x a x a − <+ b b x a a x +< + ABC∆ A B C a b c 2sin sin cos(2 )A B B C< − + a b c 3 3 3 0a b c+ − < ( )2sin sin cosA B B B C < − + +  所以 , 整理得： ,所以 ,即边最大，又，所以，整理得： . 所以，又，，所以 .即： 10．【江苏省扬州市2018-2019 学年度第一学期期末检测试】已知正实数，满足，若恒成立，则实数的取值范围为_____________．【答案】【解析】由于 x+4y﹣xy＝0，即 x+4y＝xy，等式两边同时除以 xy 得，，由基本不等式可得，当且仅当，即当 x＝2y=6 时，等号成立，所以，x+y 的最小值为 9．因此，m≤9．故答案为：m≤9． ( ) ( )2sin sin cos cos sin sin cos cos sin sinA B B B C B B C B A B A< − + + + = + ( )cos 0A B+ > 2C π> c ,c a c b> > ( 3 2 2) 2( 3 2)− − − 2 2 2 0a b c+ − < 2 2 2a b c+ < 2 2 3ca cb c+ < 3 2 2a a a ca= ⋅ < 3 2 2b b b cb= ⋅ < 3 3 2 2 3a b ca cb c+ < + < 3 3 3 0a b c+ − < x y 4 0x y xy+ − = x y m+ ≥ m 9m ≤ 4 1 1x y + = ( ) 4 1 4 45 2 5 9y x y xx y x y x y x y x y  + = + + = + + ≥ ⋅ + =   4y x x y =

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