高二数学暑假综合练习一

高二数学暑假综合练习一

‎【2019最新】精选高二数学暑假综合练习一 一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．‎ ‎1. 复数(1＋2i)2的共轭复数是____________．‎ ‎2. 若双曲线－＝1(a、b＞0)的离心率为2，则＝____________.‎ ‎3. 样本数据11,8,9,10,7的方差是____________．‎ ‎4. 函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，φ∈[0,2π))的图象如图所示，则φ＝____________.‎ ‎5. 已知集合A＝{2,5}，在A中可重复的依次取出三个数a、b、c，则“以a、b、c为边恰好构成三角形”的概率是__________．‎ ‎6. 设E、F分别是Rt△ABC的斜边BC上的两个三等分点，已知AB＝3， AC＝6，则·＝____________.‎ ‎7. 设α、β为两个不重合的平面，m、n为两条不重合的直线，给出下列四个命题：‎ ‎① 若m⊥n，m⊥α，n⊄α，则n∥α；‎ ‎② 若α⊥β，α∩β＝m，n⊂α，n⊥m，则n⊥β；‎ ‎③ 若m⊥n，m∥α，n∥β，则α⊥β；‎ ‎④ 若n⊂α，m⊂β，α与β相交且不垂直，则n与m不垂直．‎ 其中，所有真命题的序号是____________．‎ ‎8. 已知tanα＝，tanβ＝，且α、β∈(0，π)，则α＋2β＝__________.‎ ‎9. 右图是一个算法的流程图，最后输出的S＝____________.‎ ‎10. 已知圆x2＋y2＝m与圆x2＋y2＋6x－8y－11＝0相交，则实数m的取值范围为____________．‎ ‎11. 某种卷筒卫生纸绕在盘上，空盘时盘芯直径40 mm，满盘时直径120 mm.已知卫生纸的厚度为0.1 mm，则满盘时卫生纸的总长度大约是__________m(π取3.14，精确到1 m)．‎ ‎12. 已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝(n∈N*)，则数列{an}的前100项的和为____________．‎ ‎13. 已知△ABC的三边长a、b、c满足b＋2c≤3a，c＋2a≤3b，则的取值范围为____________．‎ 11 / 11‎ ‎14. 在平面直角坐标系xOy中，点P是第一象限内曲线y＝－x3＋1上的一个动点，过点P作切线与两个坐标轴交于A、B两点，则△AOB的面积的最小值为______________．‎ 11 / 11‎ 二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎15.在△ABC中，已知角A、B、C的对边分别为a、b、c，且(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc.‎ ‎(1) 求A；‎ ‎(2) 若B－C＝90°，c＝4，求b.(结果用根式表示)‎ ‎16.三棱柱ABC—A1B1C1中，已知AB＝A1A，D为C1C的中点，O为A1B与AB1的交点．‎ ‎(1) 求证：AB1⊥平面A1BD；‎ ‎(2) 若点E为AO的中点，求证：EC∥平面A1BD.‎ 11 / 11‎ ‎17. 有一隧道既是交通拥挤地段，又是事故多发地段．为了保证安全，交通部门规定，隧道内的车距d(m)正比于车速v(km/h)的平方与车身长l(m)的积，且车距不得小于一个车身长l(假设所有车身长均为l)．而当车速为60(km/h)时，车距为1.44个车身长．‎ ‎(1) 求通过隧道的最低车速；‎ ‎(2) 在交通繁忙时，应规定怎样的车速，可以使隧道在单位时段内通过的汽车数量Q最多？‎ ‎18.如图，椭圆＋＝1的左焦点为F，上顶点为A，过点A作直线AF的垂线分别交椭圆、x轴于B、C两点．‎ ‎(1) 若＝λ，求实数λ的值；‎ ‎(2) 设点P为△ACF的外接圆上的任意一点，当△PAB的面积最大时，求点P的坐标．‎ 11 / 11‎ ‎19. 设数列{an}的前n项和为Sn，已知＋＋…＋＝(n∈N*)．‎ ‎(1) 求S1，S2及Sn；‎ ‎(2) 设bn＝()an，若对一切n∈N*，均有bk∈(，m2－6m＋)，求实数m的取值范围．‎ ‎20. 设函数f(x)＝lnx－－lna(x＞0，a＞0且a为常数)．‎ ‎(1) 当k＝1时，判断函数f(x)的单调性，并加以证明；‎ ‎(2) 当k＝0时，求证：f(x)＞0对一切x＞0恒成立；‎ ‎(3) 若k＜0，且k为常数，求证：f(x)的极小值是一个与a无关的常数.‎ 11 / 11‎ 数学试卷附加题 ‎21．‎ B．选修4—2　矩阵与变换 已知矩阵A＝，B＝．‎ ‎(1) 计算AB；‎ ‎(2) 若矩阵B把直线l：x＋y＋2＝0变为直线l'，求直线l'的方程．‎ C．选修4—4参数方程与极坐标 已知⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别是ρ＝2cosθ和ρ＝2asinθ（a是常数）．‎ ‎（1）分别将两个圆的极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎（2）若两个圆的圆心距为，求a的值．‎ 11 / 11‎ ‎22．如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，AB＝2，BC＝1，AA1＝，是棱CC1的中点．‎ ‎(1) 证明：A1D⊥平面AB1C1；‎ ‎(2) 求二面角B－AB1－C1的余弦值．‎ ‎23．某电视台的一个智力游戏节目中，有一道将四本由不同作者所著的外国名著A、B、C、D与它们的作者连线的题目，每本名著只能与一名作者连线，每名作者也只能与一本名著连线．每连对一个得3分，连错得－1分，一名观众随意连线，他的得分记作X．‎ ‎(1) 求该观众得分非负的概率；‎ ‎(2) 求X的分布列及数学期望．‎ 11 / 11‎ 高二暑假综合练习（一）参考答案 一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．‎ ‎1. －3－4i　2. 　3. 2　4. 　5. 　6. 10　7. ①②　8. 　9. 25　10. 1＜m＜121　11. 100　12. 200　13. (，)　14. 二、 解答题：本大题共6小题，共90分．‎ ‎15. 解：(1) 由条件，得(b＋c)2－a2＝3bc，即b2＋c2－a2＝bc，(2分)‎ ‎∴ cosA＝＝.(4分)‎ ‎∵ A是三角形内角，∴ A＝60°.(6分)‎ ‎(2) 由得B＝105°，C＝15°.(8分)‎ 由正弦定理得＝，即b＝.(10分)‎ ‎∴ b＝4tan75°.(12分)‎ ‎∵ tan75°＝tan(45°＋30°)＝＝2＋，‎ ‎∴ b＝8＋4.(14分)‎ ‎16. 证明：(1) 连DA、DB1、DO，‎ ‎∵ AB＝A1A，D为C1C的中点，‎ 而DB1＝，DA＝，‎ ‎∴ DB1＝DA.(2分)‎ 又O是正方形A1ABB1对角线的交点，‎ ‎∴ DO⊥AB1.(4分)‎ 又A1B⊥AB1，A1B∩DO＝O，‎ ‎∴ AB1⊥平面A1BD.(7分)‎ ‎(2) 取A1O的中点F，‎ 在△A1OA中，∵ E是OA中点，∴ EFAA1.(9分)‎ 又D为C1C的中点，∴ CDAA1.‎ ‎∴ EFCD，故四边形CDFE是平行四边形．∴ CE∥DF.(12分)‎ 又DF⊂平面A1BD，CE⊄平面A1BD，‎ ‎∴ EC∥平面A1BD.(14分)‎ ‎17. 解：(1) 依题意，设d＝kv2l，其中k是待定系数，‎ ‎∵ 当v＝60时，d＝1.44l，‎ ‎∴ 1.44l＝k×602l.(2分)‎ ‎∴ k＝0.000 4.则d＝0.000 4v2l.(4分)‎ ‎∵ d≥l，∴ 0.000 4v2l≥l.‎ 则v≥50.∴ 最低车速为50 km/h.(7分)‎ ‎(2) 因为两车间距为d，则两辆车头间的距离为l＋d(m)，‎ 一小时内通过汽车的数量为Q＝，即Q＝.(9分)‎ ‎∵ ＋0.000 4v≥2＝0.04，∴ Q≤.(12分)‎ 11 / 11‎ 当＝0.000 4v，即v＝50时，Q取得最大值为.‎ ‎∴ 当v＝50 km/h时，单位时段内通过的汽车数量最多．(14分)‎ ‎18. 解：(1) 由条件，得F(－1,0)，A(0，)，直线AF的斜率k1＝.‎ ‎∵ AB⊥AF，∴ 直线AB的斜率为－.‎ 则直线AB的方程为y＝－x＋.(2分)‎ 令y＝0，得x＝3.∴ 点C的坐标为(3,0)．(3分)‎ 由得13x2－24x＝0.解得x1＝0(舍)，x2＝.‎ ‎∴ 点B的坐标为(，)．(5分)‎ ‎∵ ＝λ，∴ λ＞0，且λ＝.‎ ‎∴ λ＝＝.(7分)‎ ‎(2) ∵ △ACF是直角三角形，∴ △ACF外接圆的圆心为D(1,0)，半径为2.‎ ‎∴ 圆D的方程为(x－1)2＋y2＝4.(9分)‎ ‎∵ AB是定值，∴ 当△PAB的面积最大时，点P到直线AC的距离最大．‎ 过D作直线AC的垂线m，则点P为直线m与圆D的交点．(11分)‎ ‎∴ 直线m的方程为y＝(x－1)．(13分)‎ 代入圆D的方程，得(x－1)2＋3(x－1)2＝4.(14分)‎ ‎∴ x＝0或x＝2(舍)．‎ 则点P的坐标为(0，)．(16分)‎ ‎19. 解：(1) 依题意，n＝1时，S1＝2，n＝2时，S2＝6.(2分)‎ ‎∵ ＋＋…＋＝，①‎ n≥2时，＋＋…＋＝，②‎ ‎①－②，得＝－，∴ Sn＝n(n＋1)．(4分)‎ 上式对n＝1也成立，∴ Sn＝n(n＋1)(n∈N*)．(5分)‎ ‎(2) 由(1)知，Sn＝n(n＋1)，‎ 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n.(7分)‎ ‎∵ a1＝2，∴ an＝2n(n∈N*)．(8分)‎ ‎∴ bn＝()n.‎ ‎∵ ＝，∴ 数列{bn}是等比数列．(10分)‎ 则k＝＝(1－)．(12分)‎ ‎∵ (1－)随n的增大而增大，∴ ≤k＜.(13分)‎ 依条件，得(14分)‎ 即∴ m＜0或m≥5.(16分)‎ ‎20. (1) 解：当k＝1时，f(x)＝lnx－·x＋x－－lna，‎ ‎∵ f′(x)＝－·x－－x－(1分)‎ 11 / 11‎ ‎＝－≤0，(3分)‎ ‎∴ 函数f(x)在(0，＋∞)上是单调减函数．(4分)‎ ‎(2) 证明：当k＝0时，f(x)＝lnx＋x－－lna，‎ f′(x)＝－＝，‎ 令f′(x)＝0，解得x＝.(6分)‎ 当0＜x＜时，f′(x)＜0，f(x)是单调减函数；‎ 当x＞时，f′(x)＞0，f(x)是单调幸函数．‎ ‎∴ 当x＝时，f(x)有极小值为f()＝2－2ln2.(8分)‎ ‎∵ e＞2，∴ f(x)的极小值f()＝2(1－ln2)＝2ln＞0.‎ ‎∴ f(x)＞0恒成立．(10分)‎ ‎(3) 证明：∵ f(x)＝lnx－·x＋x－－lna，∴ f′(x)＝.‎ 令f′(x0)＝0，得kx0－2＋a＝0.(12分)‎ ‎∴ ＝.(＝舍去)‎ ‎∴ x0＝.(14分)‎ 当0＜x＜x0时，f′(x)＜0，f(x)是单调减函数；‎ 当x＞x0时，f′(x)＞0，f(x)是单调增函数．‎ 因此，当x＝x0时，f(x)有极小值f(x0)．(15分)‎ 又f(x0)＝ln－k＋，而＝是与a无关的常数，‎ ‎∴ ln，－k，均与a无关．‎ ‎∴ f(x0)是与a无关的常数．‎ 则f(x)的极小值是一个与a无关的常数．(16分)‎ ‎21．B．‎ 解：(1) AB＝ ， ………………………………3分 ‎(2) 设P(x，y)是直线l'上一点，P(x，y)由直线l上点P'(x'，y')经矩阵B变换得到，……4分 则＝ ＝， ………………………………6分 所以 解得 ………………………………8分 代入直线l的方程x＋y＋2=0，得x＋2y＋y＋2＝0，即x＋3y＋2＝0，‎ 故直线l'的方程为x＋3y＋2＝0． ………………………10分 C．解：（1）两圆原方程可化为ρ2＝2ρcosθ和ρ2＝2aρsinθ．‎ ‎∴两圆的直角坐标方程分别是x2＋y2－2x＝0和x2＋y2－2ay＝0．‎ ‎（2）根据（1）可知道两圆圆心的直角坐标分别是O1(－1，0)和O2(0，a)．‎ 11 / 11‎ y z x A B C A1‎ B1‎ C1‎ D 由题知1＋a2＝5，解得a＝±2．‎ ‎22．证明(1) ∵∠ACB＝90°，∴BC⊥AC．‎ ‎∵三棱柱ABC－A1B1C1为直三棱柱，∴BC⊥CC1． ‎ ‎∵ ACCC1＝C，∴BC⊥平面ACC1A1． ‎ 以C为坐标原点，，，分别为x轴、‎ y轴、z轴正方向的方向向量，建立如图所示的 空间直角坐标系．‎ ‎∵AB＝2，BC＝1，AA1＝，∴C(0，0，0)，B(1，0，0)，A(0，0，)，C1(0，，0)，B1(1，，0)，A1(0，，)，D(0，,2)，0)．‎ ‎(1) ＝(0，－,2)，－)，＝(－1，0，0)，＝(1，，－)，‎ ‎∵·＝0，·＝0，∴⊥，⊥，即AD1⊥B1C1，AD1⊥AB1．‎ ‎∵B1C1∩AB1＝B1，B1C1，AB1平面AB1C1，∴A1D⊥平面AB1C1．‎ ‎(2) 设n＝(x，y，z)是平面ABB1的法向量，由得y－z＝0，,y＝0．))‎ 取z＝1，则n＝(，0，1)是平面ABB1的一个法向量．‎ 又＝(0，－,2)，－)是平面AB1C1的一个法向量，‎ 且＜，n＞与二面角B－AB1－C1的大小相等．‎ 由cos＜，n＞＝＝,2)，－)·(，0，1),,2)×２)＝－,6)．‎ 故二面角B－AB1－C1的余弦值为－,6)．‎ ‎23．解：(1) X的可能取值为－4，0，4，12． ‎ P(X＝12)＝＝； ‎ P(X＝4)＝＝＝；‎ P(X＝0)＝＝＝；‎ 该同学得分非负的概率为P(X＝12)＋P(X＝4)＋P(X＝0)＝．‎ ‎(2) P(X＝－4)＝＝．‎ X ‎－4‎ ‎0‎ ‎4‎ ‎12‎ P X的分布列为: ‎ E(X)＝－4×＋4×＋12×＝0．‎ 11 / 11‎