成都市2016级高中毕业班第三次诊断性检测 文科数学（清晰扫描）

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数学(文科)“三诊”考试题参考答案 　 第 １　　　　 页(共 ４ 页) 成都市 ２０１６ 级高中毕业班第三次诊断性检测 数学(文科)参考答案及评分意见 第 Ⅰ 卷 　(选择题,共 ６０ 分) 一、选择题:(每小题 ５ 分,共 ６０ 分) １ưA;２ưD;３ưB;４ưC;５ưB;６ưD;７ưC;８ưA;９ưB;１０ưB;１１ưD;１２ưCư 第 Ⅱ 卷 　(非选择题,共 ９０ 分) 二、填空题:(每小题 ５ 分,共 ２０ 分) １３ư１８０;　　１４ư ７ ９ ;　　 １５ư ９ ４ ;　　１６ư[－１,３]ư　 三、解答题:(共 ７０ 分) １７．解:(Ⅰ)由已知,得 sinAcosB ＝１ ２sinB ＋sinCư 又 sinC ＝sin(A ＋B), ƺƺ１ 分 ∴sinAcosB ＝１ ２sinB ＋sinAcosB ＋cosAsinBư ƺƺ２ 分 ∴cosAsinB ＋ １ ２sinB ＝０,得 cosA ＝－１ ２ ． ƺƺ４ 分 ∵０＜ A ＜π,∴ A ＝２π ３ ． ƺƺ６ 分 (Ⅱ)由余弦定理,得b２ ＋c２ －a２ ＝２bccosA ＝－bcư ƺƺ８ 分 ∴ b２ ＋c２ ＋bc ４R２ ＝ a２ ４R２ ＝sin ２A ． ƺƺ１０ 分 ∵ A ＝２π ３ ,∴ b２ ＋c２ ＋bc ４R２ ＝３ ４ ． ƺƺ１２ 分 １８．解:(Ⅰ)∵(０ư００７＋０ư０１８＋a＋０ư０２５＋０ư０２０)×１０＝１, ƺƺ２ 分 解得a＝０ư０３０ư ƺƺ３ 分 设该样本年龄的中位数为x０,则 ４０＜x０ ＜５０ư ∴(x０ －４０)×０ư０３＋０ư１８＋０ư０７＝０ư５ư ƺƺ５ 分 解得x０ ＝４８１ ３ư ƺƺ６ 分 (Ⅱ)回访的这 ５ 人分别记为a３０,a６０,a９０,a１２０,a１５０ư从 ５ 人中任选 ２ 人的基本事件有: (a３０,a６０),(a３０,a９０),(a３０,a１２０),(a３０,a１５０),(a６０,a９０),(a６０,a１２０), (a６０,a１５０),(a９０,a１２０),(a９０,a１５０),(a１２０,a１５０)ư 共 １０ 种 ư ƺƺ８ 分 事件“两人保费之和大于 ２００ 元”包含的基本事件有: 数学(文科)“三诊”考试题参考答案 　 第 ２　　　　 页(共 ４ 页) (a６０,a１５０),(a９０,a１２０),(a９０,a１５０),(a１２０,a１５０)ư 共 ４ 种 ư ƺƺ１０ 分 ∴ 两人保费之和大于 ２００ 元的概率为p ＝ ４ １０ ＝２ ５ư ƺƺ１２ 分 １９．解:(Ⅰ)连结 AC．∵PA ＝PD ,且E 是AD 的中点,∴PE ⊥ ADư ƺƺ１ 分 又平面PAD ⊥ 平面 ABCD ,平面PAD ∩ 平面 ABCD ＝AD , ∴PE ⊥ 平面 ABCDư ƺƺ２ 分 ∵BD ⊂ 平面 ABCD ,∴BD ⊥PEư ƺƺ３ 分 又 ABCD 为菱形,且E,F 为棱的中点, ∴EF ∥ AC,BD ⊥ AC ． ∴BD ⊥EFư ƺƺ４ 分 又BD ⊥PE ,PE ∩EF ＝E , ∴BD ⊥ 平面PEFư ƺƺ６ 分 (Ⅱ)如图,连结MA,MD．设PM MB＝λ ,则PM PB ＝ λ λ＋１ư ∴VM－PAD ＝ λ λ＋１ VB－PAD ＝ λ λ＋１ VP－ABDư ƺƺ８ 分 又VP－DEF ＝１ ４ VP－ACD ＝１ ４ VP－ABDư ƺƺ１０ 分 ∵VM－PAD ＝VP－DEF ,∴ λ λ＋１ ＝１ ４ư 解得λ＝１ ３ ,即 PM MB ＝１ ３ư ƺƺ１２ 分 ２０．解:(Ⅰ)由椭圆的定义,得 ２a＝２ ２ư∴a＝ ２． ƺƺ１ 分 由|F１F２|＝２,得c＝１ư ƺƺ２ 分 ∴b２ ＝a２ －c２ ＝１ư ƺƺ３ 分 ∴ 椭圆C 的标准方程为x２ ２ ＋y２ ＝１ư ƺƺ４ 分 (Ⅱ)设 A(x１,y１),B(x２,y２)． 由 y＝kx ＋m x２ ＋２y２ ＝２ { ,得(２k２ ＋１)x２ ＋４kmx ＋２m２ －２＝０ư ∴x１＋x２＝ －４km ２k２ ＋１ ,x１x２＝２m２ －２ ２k２ ＋１ ,Δ＝１６k２ －８m２ ＋８＞０． ƺƺ５ 分 ∴M ( －２km ２k２ ＋１ , m ２k２ ＋１ ),|OM| ２ ＝ ４k２ ＋１ (２k２ ＋１)２Űm２ ư ƺƺ６ 分 由|AB|＝ １＋k２ Ű２ ２Ű １＋２k２ －m２ ２k２ ＋１ ＝２, ƺƺ７ 分 化简,得 m２ ＝２k２ ＋１ ２k２ ＋２ư ƺƺ８ 分 ∴|OM| ２ ＝ ４k２ ＋１ (２k２ ＋１)２Ű２k２ ＋１ ２k２ ＋２＝ ４k２ ＋１ (２k２ ＋１)(２k２ ＋２) ． ƺƺ９ 分 数学(文科)“三诊”考试题参考答案 　 第 ３　　　　 页(共 ４ 页) 令 ４k２ ＋１＝t≥１ư 则|OM |２ ＝ ４t (t＋１)(t＋３)＝ ４ t＋３t ＋４ ≤ ４ ２ ３＋４ ＝４－２ ３,当且仅当t＝ ３ 时取等号 ư ƺƺ１０ 分 ∴|OM |≤ ４－２ ３ ＝ ３－１ư ƺƺ１１ 分 ∴|OM |max ＝ ３－１,当且仅当k２ ＝ ３－１ ４ 时取等号 ư ƺƺ１２ 分 ２１．解:(Ⅰ)f′ (x)＝lnx ＋２－４axư ƺƺ１ 分 ∵f(x)在 (０,＋ ¥)内单调递减, ∴f′ (x)＝lnx ＋２－４ax ≤０ 在 (０,＋ ¥)内恒成立, ƺƺ２ 分 即 ４a ≥lnx x ＋ ２x 在 (０,＋ ¥)内恒成立 ư 令g(x)＝lnx x ＋ ２x ,则g′ (x)＝ －１－lnx x２ ư ∴ 当 ０＜x ＜ １ e 时,g′ (x)＞０,即g(x)在 (０,１ e )内为增函数; 当x ＞ １ e 时,g′ (x)＜０,即g(x)在 (１ e ,＋ ¥)内为减函数 ư ƺƺ４ 分 ∴g(x)的最大值为g(１ e )＝eư ∴a ∈ [e ４ ,＋ ∞)ư ƺƺ５ 分 (Ⅱ)若函数f(x)有两个极值点分别为x１,x２, 则f′ (x)＝lnx ＋２－４ax ＝０ 在 (０,＋ ¥)内有两根x１,x２ư 由(Ⅰ),知 ０＜a ＜ e ４ư ƺƺ６ 分 由 lnx１ ＋２－４ax１ ＝０ lnx２ ＋２－４ax２ ＝０ { ,两式相减,得 lnx１ －lnx２ ＝４a(x１ －x２)ư 不妨设 ０＜x１ ＜x２ư ƺƺ７ 分 ∴ 要证明x１ ＋x２ ＞ １ ２a ,只需证明 x１ ＋x２ ４a(x１ －x２)＜ １ ２a(lnx１ －lnx２)ư ƺƺ８ 分 即证明２(x１ －x２) x１ ＋x２ ＞lnx１ －lnx２,亦即证明２( x１ x２ －１) x１ x２ ＋１ ＞ln x１ x２ư ƺƺ９ 分 令函数h(x)＝２(x －１) x ＋１ －lnx,０＜x ≤１ư ∴h′ (x)＝ －(x －１)２ x (x ＋１)２ ≤０,即函数h(x)在 (０,１]内单调递减． ƺƺ１０ 分 ∴x ∈ (０,１)时,有h(x)＞h(１)＝０,∴２(x －１) x ＋１ ＞lnxư 数学(文科)“三诊”考试题参考答案 　 第 ４　　　　 页(共 ４ 页) 即不等式２( x１ x２ －１) x１ x２ ＋１ ＞ln x１ x２ 成立 ư ƺƺ１１ 分 综上,得x１ ＋x２ ＞ １ ２aư ƺƺ１２ 分 ２２．解:(Ⅰ)由 x ＝２＋２cosα y＝２sinα{ ,得 ２cosα＝x －２,２sinα＝yư ∴ 曲线C 的普通方程为 (x －２)２ ＋y２ ＝４ư ƺƺ２ 分 由ρsin(θ＋ π ４ )＝ ２ ２ ,得ρsinθ＋ρcosθ＝１ư ƺƺ３ 分 ∴ 直线l的直角坐标方程为x ＋y＝１ư ƺƺ５ 分 (Ⅱ)设直线l的参数方程为 x ＝－ ２ ２ t y＝１＋ ２ ２ t ì î í ï ïï ï ïï (t为参数)ư ƺƺ６ 分 代入 (x －２)２ ＋y２ ＝４,得t２ ＋３ ２t＋１＝０ư ƺƺ７ 分 设 A,B 两点对应参数分别为t１,t２ư ∴t１ ＋t２ ＝－３ ２ ＜０,t１t２ ＝１＞０,∴t１ ＜０,t２ ＜０ư ƺƺ８ 分 ∴|MA|＋|MB|＝|t１|＋|t２|＝|t１ ＋t２|＝３ ２ư ƺƺ１０ 分 ２３．解:(Ⅰ)当a＝４ 时,f(x)＝x２ －４|x －１|－１＝ x２ －４x ＋３,x ≥１ x２ ＋４x －５,x ＜１ { ư ƺƺ１ 分 当x ≥１ 时,f(x)的取值范围为 [－１,＋ ¥); ƺƺ２ 分 当x ＜１ 时,f(x)的取值范围为 [－９,＋ ¥)ư ƺƺ３ 分 ∴ 函数f(x)的值域为 [－９,＋ ¥)ư ƺƺ５ 分 (Ⅱ)不等式f(x)≥a|x ＋１|等价于x２ －a|x －１|－１≥a|x ＋１|ư 即a ≤ x２ －１|x －１|＋|x ＋１| 在区间 [０,２]内有解 ư ƺƺ６ 分 当x ∈ [０,１]时,a ≤ x２ －１ １－x ＋x ＋１ ＝x２ －１ ２ ,∴a ≤０ư ƺƺ７ 分 当x ∈ (１,２]时,a ≤ x２ －１x －１＋x ＋１ ＝x２ －１ ２x ＝１ ２ (x － １x ), ƺƺ８ 分 ∴a ≤ ３ ４ư ƺƺ９ 分 综上,实数a 的取值范围是(－ ¥,３ ４ ]ư ƺƺ１０ 分