高考数学专题复习练习：12-4 专项基础训练

高考数学专题复习练习：12-4 专项基础训练

‎ A组　专项基础训练 ‎(时间：40分钟)‎ ‎1．(2017·厦门质检)设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝m(k＝1，2，3)，则m的值为(　　)‎ A.　　　　　　　　　　　　B. C. D. ‎【解析】 由分布列的性质得P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝m×＋m×＋m×＝＝1.‎ ‎∴m＝.‎ ‎【答案】 B ‎2．(2017·长沙模拟)一只袋内装有m个白球，n－m个黑球，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取出了X个白球，下列概率等于的是(　　)‎ A．P(X＝3) B．P(X≥2)‎ C．P(X≤3) D．P(X＝2)‎ ‎【解析】 由超几何分布知P(X＝2)＝.‎ ‎【答案】 D ‎3．(2017·郑州质检)已知随机变量X的分布列为P(X＝i)＝(i＝1，2，3，4)，则P(2＜X≤4)等于(　　)‎ A. B. C. D. ‎【解析】 由分布列的性质，＋＋＋＝1，‎ 则a＝5.∴P(2＜X≤4)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝＋＝.‎ ‎【答案】 B ‎4．(2017·泰安模拟)若P(ξ≤x2)＝1－β，P(ξ≥x1)＝1－α，其中x1＜x2，则P(x1≤ξ≤x2)‎ 等于(　　)‎ A．(1－α)(1－β) B．1－(α＋β)‎ C．1－α(1－β) D．1－β(1－α)‎ ‎【解析】 显然P(ξ＞x2)＝β，P(ξ＜x1)＝α.由概率分布列的性质可知P(x1≤ξ≤x2)＝1－P(ξ＞x2)－P(ξ＜x1)＝1－α－β.‎ ‎【答案】 B ‎5．(2017·武汉模拟)从装有3个白球，4个红球的箱子中，随机取出了3个球，恰好是2个白球，1个红球的概率是(　　)‎ A. B. C. D. ‎【解析】 如果将白球视为合格品，红球视为不合格品，则这是一个超几何分布问题，故所求概率为P＝＝.‎ ‎【答案】 C ‎6．设离散型随机变量X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P ‎0.2‎ ‎0.1‎ ‎0.1‎ ‎0.3‎ m 若随机变量Y＝|X－2|，则P(Y＝2)＝________．‎ ‎【解析】 由分布列的性质，知 ‎0．2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，∴m＝0.3.‎ 由Y＝2，即|X－2|＝2，得X＝4或X＝0，‎ ‎∴P(Y＝2)＝P(X＝4或X＝0)‎ ‎＝P(X＝4)＋P(X＝0)‎ ‎＝0.3＋0.2＝0.5.‎ ‎【答案】 0.5‎ ‎7．甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有3个抢答题，比赛规定：对于每一个题，没有抢到题的队伍得0分，抢到题并回答正确的得1分，抢到题但回答错误的扣1分(即得－1分)；若X是甲队在该轮比赛获胜时的得分(分数高者胜)，则X的所有可能取值是________．‎ ‎【解析】 X＝－1，甲抢到一题但答错了，而乙抢到了两个题目都答错了，‎ X＝0，甲没抢到题，乙抢到题目答错至少2个题或甲抢到2题，但答时一对一错，而乙答错一个题目，‎ X＝1，甲抢到1题且答对或甲抢到3题，且1错2对，‎ X＝2，甲抢到2题均答对，‎ X＝3，甲抢到3题均答对．‎ ‎【答案】 －1，0，1，2，3‎ ‎8．袋中有4只红球3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分，设得分为随机变量ξ，则P(ξ≤6)＝________．‎ ‎【解析】 P(ξ≤6)＝P(取到3只红球1只黑球)＋P(取到4只红球)＝＋＝.‎ ‎【答案】 ‎9．(2016·天津卷)某小组共10人，利用假期参加义工活动．已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．‎ ‎(1)设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；‎ ‎(2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望．‎ ‎【解析】 (1)由已知，有P(A)＝＝.‎ 所以，事件A发生的概率为.‎ ‎(2)随机变量X的所有可能取值为0，1，2.‎ P(X＝0)＝＝，‎ P(X＝1)＝＝，‎ P(X＝2)＝＝.‎ 所以，随机变量X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎∴E(X)＝0×＋1×＋2×＝1.‎ ‎10．(2015·山东改编)若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”(如137，359，567等)．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次．得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得－1分；若能被10整除，得1分．‎ ‎(1)写出所有个位数字是5的“三位递增数”；‎ ‎(2)若甲参加活动，求甲得分X的分布列．‎ ‎【解析】 (1)个位数是5的“三位递增数”有125，135，145，235，245，345；‎ ‎(2)由题意知，全部“三位递增数”的个数为C＝84，‎ 随机变量X的取值为：0，－1，1，因此 P(X＝0)＝＝，‎ P(X＝－1)＝＝，‎ P(X＝1)＝1－－＝，‎ 所以X的分布列为 X ‎0‎ ‎－1‎ ‎1‎ P B组　专项能力提升 ‎(时间：30分钟)‎ ‎11．从装有3个红球、2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有X个红球，则随机变量X的分布列为________．‎ ‎【解析】 ∵X的所有可能取值为0，1，2，‎ ‎∴P(X＝0)＝＝0.1，‎ P(X＝1)＝＝＝0.6，P(X＝2)＝＝0.3.‎ ‎∴X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎0.1‎ ‎0.6‎ ‎0.3‎ ‎【答案】 ‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎0.1‎ ‎0.6‎ ‎0.3‎ ‎12.已知随机变量ξ只能取三个值：x1，x2，x3，其概率依次成等差数列，则公差d的取值范围是________．‎ ‎【解析】 设ξ取x1，x2，x3时的概率分别为a－d，a，a＋d，则(a－d)＋a＋(a＋d)＝1，‎ 所以a＝，由得－＜d＜.‎ ‎【答案】 ‎13．(2017·信阳模拟)如图所示，A，B两点由5条连线并联，‎ 它们在单位时间内能通过的最大信息量依次为2，3，4，3，2.现记从中任取三条线且在单位时间内都通过的最大信息总量为X，则P(X≥8)＝________．‎ ‎【解析】 方法一 (直接法)：由已知得，X的取值为7，8，9，10，‎ ‎∵P(X＝7)＝＝，‎ P(X＝8)＝＝，‎ P(X＝9)＝＝，‎ P(X＝10)＝＝，‎ ‎∴X的概率分布列为 X ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ P ‎∴P(X≥8)＝P(X＝8)＋P(X＝9)＋P(X＝10)‎ ‎＝＋＋＝.‎ 方法二 (间接法)：由已知得，X的取值为7，8，9，10，‎ P(X≥8)与P(X＝7)是对立事件，所以P(X≥8)＝1－P(X＝7)＝1－＝.‎ ‎【答案】 ‎14．(2017·开封模拟)为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法，从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和5件，测量产品中微量元素x，y的含量(单位：mg)，下表是乙厂的5件产品测量数据.‎ 编号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ x ‎169‎ ‎178‎ ‎166‎ ‎175‎ ‎180‎ y ‎75‎ ‎80‎ ‎77‎ ‎70‎ ‎81‎ ‎(1)已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品数量；‎ ‎(2)当产品中微量元素x，y满足x≥175，y≥75时，该产品为优质品，试估计乙厂生产的优质品的数量；‎ ‎(3)从乙厂抽出的上述5件产品中任取3件，求抽取的3件产品中优质品数ξ的分布列．‎ ‎【解析】 (1)设乙厂生产的产品为m件，依题意得＝，‎ ‎∴m＝35.‎ ‎(2)∵上述样本数据中满足x≥175且y≥75的只有2件，‎ ‎∴估计乙厂生产的优质品为35×＝14(件)．‎ ‎(3)依题意，ξ可取0，1，2，‎ 则P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝.‎ ‎∴ξ的分布列为：‎ ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎15．(2017·北京昌平质量抽测)小王为了锻炼身体，每天坚持“健步走”，并用计步器进行统计．小王最近8天“健步走”步数的频数分布直方图及相应的消耗能量数据表如下.‎ ‎“健步走”步数(千步)‎ ‎16‎ ‎17‎ ‎18‎ ‎19‎ 消耗能量(卡路里)‎ ‎400‎ ‎440‎ ‎480‎ ‎520‎ ‎(1)求小王这8天“健步走”步数的平均数；‎ ‎(2)从步数为16千步、17千步、18千步的这几天中任选2天，设小王这2天通过“健步走”消耗的“能量和”为X，求X的分布列．‎ ‎【解析】 (1)小王这8天“健步走”步数的平均数为(16×3＋17×2＋18×1＋19×2)÷8＝17.25(千步)．‎ ‎(2)X的所有值可能为800，840，880，920.‎ P(X＝800)＝＝，‎ P(X＝840)＝＝，‎ P(X＝880)＝＝，‎ P(X＝920)＝＝，‎ 故X的分布列为 X ‎800‎ ‎840‎ ‎880‎ ‎920‎ P