2020年高中数学新教材同步必修第一册 第5章5.4 三角函数的图象与性质

2020年高中数学新教材同步必修第一册 第5章5.4 三角函数的图象与性质

第五章　5.4　三角函数的图象与性质 学习目标 XUEXIMUBIAO 1.了解正弦函数、余弦函数的图象. 2.会用五点法画正弦函数、余弦函数的图象. 3.能利用正弦函数、余弦函数的图象解决简单问题. NEIRONGSUOYIN 内容索引 知识梳理 题型探究 随堂演练 1 知识梳理 PART ONE 知识点一　正弦函数的图象 1.正弦曲线的定义 正弦函数y＝sin x，x∈R的图象叫正弦曲线. 2.正弦函数图象的画法 (1)几何法： ①利用 点T(x0，sin x0)画出y＝sin x，x∈[0,2π]的图象； ②将图象 平行移动(每次2π个单位长度). (2)五点法： ①画出正弦曲线在[0,2π]上的图象的五个关键点 ， ， ， ， ，用光滑的曲线连接； ②将所得图象 平行移动(每次2π个单位长度). 单位圆上 向左、向右 (0,0) (π，0) (2π，0) 向左、向右 思考　为什么把y＝sin x，x∈[0,2π]的图象向左、向右平移2π的整数倍个单位长度后 图象形状不变？ 答案　由公式sin(x＋2kπ)＝sin x，k∈Z可得. 知识点二　余弦函数的图象 1.余弦曲线的定义 余弦函数y＝cos x，x∈R的图象叫余弦曲线. 2.余弦函数图象的画法 (1)要得到y＝cos x的图象，只需把y＝sin x的图象向左平移 个单位长度即可，这是 由于cos x＝ . (2)用“五点法”：画余弦曲线y＝cos x在[0,2π]上的图象时，所取的五个关键点分别 为 ， ， ， ， ，再用光滑的曲线连接.(0,1) (π，－1) (2π，1) 1.正弦函数的图象向左右是无限伸展的.(　　) 2.正弦函数y＝sin x的图象在x∈[2kπ，2kπ＋2π]，(k∈Z)上的图象形状相同，只 是位置不同.(　　) 3.函数y＝sin x的图象向右平移 个单位得到函数y＝cos x的图象.(　　) 4.函数y＝cos x的图象关于x轴对称.(　　) 思考辨析 判断正误 SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU √ √ × × 2 题型探究 PART TWO 例1　(1)下列叙述正确的个数为 ①y＝sin x，x∈[0,2π]的图象关于点P(π，0)成中心对称； ②y＝cos x，x∈[0,2π]的图象关于直线x＝π成轴对称； ③正、余弦函数的图象不超过直线y＝1和y＝－1所夹的范围. A.0 B.1个 C.2个 D.3个 一、正弦函数、余弦函数图象的初步认识 √ 解析　分别画出函数y＝sin x，x∈[0,2π]和y＝cos x，x∈[0,2π]的图象，由图象(略) 观察可知①②③均正确. (2)函数y＝sin |x|的图象是 √ 反思 感悟 解决正、余弦函数图象的注意点 对于正、余弦函数的图象问题，要画出正确的正弦曲线、余弦曲线，掌握 两者的形状相同，只是在坐标系中的位置不同，可以通过相互平移得到. 跟踪训练1　关于三角函数的图象，有下列说法： ①y＝sin x＋1.1的图象与x轴有无限多个公共点； ②y＝cos(－x)与y＝cos |x|的图象相同； ③y＝|sin x|与y＝sin(－x)的图象关于x轴对称； ④y＝cos x与y＝cos(－x)的图象关于y轴对称. 其中正确的序号是________.②④ 解析　对②，y＝cos(－x)＝cos x，y＝cos |x|＝cos x，故其图象相同； 对④，y＝cos(－x)＝cos x，故其图象关于y轴对称； 作图(略)可知①③均不正确. 二、用“五点法”作简图 例2　用“五点法”作出下列函数的简图： (1)y＝sin x－1，x∈[0,2π]； 解　列表： x 0 π 2π sin x 0 1 0 －1 0 sin x－1 －1 0 －1 －2 －1 描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图. (2)y＝2＋cos x，x∈[0,2π]. 解　列表： x 0 π 2π cos x 1 0 －1 0 1 2＋cos x 3 2 1 2 3 描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图. 反思 感悟 作形如y＝asin x＋b(或y＝acos x＋b)，x∈[0,2π]的图象的三个步骤 跟踪训练2　利用“五点法”作出函数y＝1－sin x(0≤x≤2π)的简图. 解　(1)取值列表： x 0 π 2π sin x 0 1 0 －1 0 1－sin x 1 0 1 2 1 (2)描点连线，如图所示. 三、正弦(余弦)函数图象的应用 例3　利用正弦函数和余弦函数的图象，求满足下列条件的x的集合. 解　作出正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象，如图所示， 解　作出余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象，如图所示， 反思 感悟 用三角函数图象解三角不等式的步骤 (1)作出相应的正弦函数或余弦函数在[0,2π]上的图象； (2)写出不等式在区间[0,2π]上的解集； (3)根据公式一写出定义域内的解集. 跟踪训练3　在[0,2π]上，使cos x≤－ 成立的x的取值集合为______________. 解析　画出y＝cos x在[0,2π]上的简图，如图所示. 典例　函数f(x)＝sin x＋2|sin x|，x∈[0,2π]的图象与直线y＝k有且仅有两个不同的交 点，则k的取值范围是______. 根据函数图象求范围 核心素养之直观想象 HE XIN SU YANG ZHI ZHI GUAN XIANG XIANG (1,3) 解析　用数形结合法判断k的取值范围. 结合图象可知1

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