2020年高中数学新教材同步必修第二册 第6章 微专题1　平面向量数量积的综合应用

2020年高中数学新教材同步必修第二册 第6章 微专题1　平面向量数量积的综合应用

第六章　平面向量及其应用 向量的数量积运算、向量的垂直是考查的热点，平面向量数量积的计算， 向量垂直条件与数量积的性质常以客观题形式考查.解答题以向量为载体，常与 三角函数交汇命题，重视数形结合与转化化归思想的考查，主要培养数学运算、 直观想象等核心素养. 一、平面向量数量积的计算 12 解析　根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系， 则A(0,0)，B(0,2)，C(1,0)， 所以x＝2y， 即(x，y)＝λ(0,2)＋μ(1,0)＝(μ，2λ)， 反思 感悟 平面向量数量积的运算方法 (1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cos θ(θ为a， b的夹角). (2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， 则a·b＝x1x2＋y1y2. 提醒：解决涉及几何图形的向量的数量积运算问题时，可先利用向量的加、 减运算或数量积的运算律化简后再运算.但一定要注意向量的夹角与已知平 面几何图形中的角的关系是相等还是互补. 二、平面向量数量积的应用 1.求模 2 2.求夹角 所以E为BC的中点. 3.垂直问题 √ 即－2a·b＝2， ∴a·b＝－1，故B，C都错； 反思 感悟 (1)求向量的模的方法 ①公式法：利用|a|＝ 及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2，把向量模的运算化为数 量积运算； ②几何法：利用向量的几何意义，即利用向量加、减法的平行四边形法则 或三角形法则作出向量，然后求解. (2)求平面向量的夹角的方法 ①定义法：由向量数量积的定义知，cos θ＝ ，其中两个向量的夹角θ的 范围为[0，π]，求解时应求出三个量：a·b，|a|，|b|或者找出这三个量之间 的关系； ②坐标法：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则cos θ＝ . (3)两向量垂直的应用 a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|(其中a≠0，b≠0). 三、平面向量的数量积与三角函数的综合问题 例3　(1)已知向量a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－ )，x∈[0，π]，若f(x)＝a·b，求f(x) 的最值. (2)已知向量m＝(sin α－2，－cos α)，n＝(－sin α，cos α)，其中α∈R. ①若m⊥n，求α； 解　若m⊥n，则m·n＝0， 即－sin α(sin α－2)－cos2α＝0， ②若|m－n|＝ ，求cos 2α的值. 即(2sin α－2)2＋(－2cos α)2＝2， 即4sin2α＋4－8sin α＋4cos2α＝2， 即8－8sin α＝2， 反思 感悟 平面向量与三角函数的综合问题的解题思路 (1)题目条件给出的向量坐标中含有三角函数的形式时，先运用向量相关知识， 得到三角函数的关系式，然后求解. (2)当给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表 达形式时，其解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性， 求解. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.91taoke.com