江苏省泰州中学、江都中学、宜兴中学2020届高三上学期10月月考数学试题 Word版含解析

江苏省泰州中学、江都中学、宜兴中学2020届高三上学期10月月考数学试题 Word版含解析

www.ks5u.com 江苏省泰州中学、江都中学、宜兴中学 ‎2019-2020学年度高三年级第一学期第一次联合测试试卷 数学试题 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）‎ ‎1.已知集合，，若，则的取值范围为：_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据,列式解得.‎ ‎【详解】因为，，且,‎ 所以.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查了子集关系,属于基础题.‎ ‎2.若幂函数的图像过点，则____.‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据解得,由此可得,然后可得.‎ ‎【详解】因为幂函数的图像过点,‎ 所以,即,‎ 所以,所以,所以,‎ 所以,‎ 所以,‎ 故答案为:3.‎ ‎【点睛】本题考查了求幂函数的解析式,属于基础题.‎ ‎3.函数的最小正周期是_________.‎ - 17 -‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用降幂公式化简再求最小正周期即可.‎ ‎【详解】,故最小正周期是.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查了降幂公式与三角函数最小正周期,属于基础题型.‎ ‎4.已知角的顶点在原点，始边为轴非负半轴，则“的终边在第一象限”是“”的_________________条件.（从“充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要”中选填）‎ ‎【答案】充分不必要 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据第一象限角,轴非负半轴上的角以及第二象限的角的正弦值都大于零可得.‎ ‎【详解】由的终边在第一象限可以推出,‎ 由,可以推出的终边在第一象限或者在轴非负半轴上或者在第二象限,‎ 所以“的终边在第一象限”是“”的充分不必要条件.‎ 故答案为 充分不必要.‎ ‎【点睛】本题考查了充分必要条件,正弦函数的符号法则,属于中档题.‎ ‎5.已知向量、的夹角为，，，则____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用可得.‎ ‎【详解】因为,‎ 所以.‎ 故答案为:.‎ - 17 -‎ ‎【点睛】本题考查了利用向量的数量积求向量的模,属于基础题.‎ ‎6.已知为角的终边上的一点，且，则实数的值为____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由三角函数的定义，即可求解得值，得到答案.‎ ‎【详解】由三角函数的定义可知，解得，‎ 又由，所以.‎ ‎【点睛】本题主要考查了三角函数的定义的应用，其中解答中熟记三角函数的定义，列出方程求解是解答的关键，着重考查了退与运算能力，属于基础题.‎ ‎7.曲线在点处的切线的斜率为，则________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 求导，利用导数几何意义计算即可．‎ ‎【详解】解：‎ 则 所以 故答案为-3.‎ ‎【点睛】本题主要考查导数的计算和导数的几何意义，属于基础题．‎ ‎8.已知函数，若，则的值是_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 当时，，求出；当时，‎ - 17 -‎ 无解.从而，由此能求出结果.‎ ‎【详解】解：由时，是减函数可知，‎ 当，则，‎ 所以，由得 ‎，解得，‎ 则.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查函数值的求法，属于基础题.‎ ‎9.平行四边形中，已知，，则________.‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 以为基底表示，代入，即求.‎ ‎【详解】平行四边形中，，‎ ‎，‎ ‎.‎ ‎，‎ 故答案为：6.‎ ‎【点睛】本题考查平面向量基本定理和数量积的运算，属于基础题.‎ ‎10.已知函数是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则当时，的最小值为_________.‎ - 17 -‎ ‎【答案】-1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据推出周期为4,再根据奇函数推出时的表达式,再根据周期性推出时的表达式,再用二次函数求最小值,‎ ‎【详解】因为,‎ 所以,‎ 所以,即,‎ 所以函数是以4为周期的周期函数,‎ 设,则,‎ 所以,‎ 因为函数是定义在上的奇函数,‎ 所以,‎ 所以当时,,‎ 所以,‎ 所以当时,函数取得最小值.‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】本题考查了函数的周期性,奇偶性,二次函数求最小值,属于中档题.‎ ‎11.如图，在四边形中，，，，，是的角平分线，则_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ - 17 -‎ ‎【分析】‎ 设出，根据，利用余弦定理建立等式解出，再求出的值，在中利用余弦定理，解出的值．‎ ‎【详解】设，则,,‎ 又是的角平分线，即,‎ ‎,‎ 即，，，‎ 故填 ‎【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，属于基础题．‎ ‎12.设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(－1)＝0，当x＞0时，(x2＋1)f′(x)－2xf(x)＜0，则不等式f(x)＞0的解集为________．‎ ‎【答案】(－∞，－1)∪(0,1)‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】因为′＝，而(x2＋1)f′(x)－2xf(x)＜0，所以′＜0，令g(x)＝，则函数g(x)在(0，＋∞)单调递减，且也为奇函数，g(－1)＝－g(1)＝0，作出函数g(x)的大致示意图，‎ - 17 -‎ 由图可知g(x)＞0的解集为(－∞，－1)∪(0,1)，即为不等式f(x)＞0的解集．‎ ‎13.已知函数，若，且，则的最小值是_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据分段函数在两段上都单调,可得,且,所以,然后构造函数,利用导数求得最小值即可.‎ ‎【详解】因为函数在上递增,在上也递增,且时,,‎ 所以,所以,,‎ 所以,即,‎ 所以,,‎ 令,‎ 则,‎ 当时,,当时,,‎ - 17 -‎ 所以在上递减,在上递增,‎ 所以时,取得最小值.‎ 即的最小值是:.‎ 故答案为: .‎ ‎【点睛】本题考查了构造法,利用导数求函数的最小值,属于中档题.‎ ‎14.在中，的最大值为：____________.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据积化和差公式得,再化成辅助角的形式可解得最大值.‎ ‎【详解】由积化和差公式可得,‎ ‎ ‎ ‎,当且仅当时,等号成立,‎ 所以 ‎ ‎ ‎,‎ 令,,则,取,‎ 所以 ,‎ - 17 -‎ 当,时,等号成立.‎ 故答案为:2‎ ‎【点睛】本题考查了积化和差公式,两角和的正弦的逆用公式,属于难题.‎ 二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或摊..运算过程.‎ ‎15.已知函数.‎ ‎(1)求函数的最小正周期;‎ ‎(2)求函数在区间上的取值范围.‎ ‎【答案】(1) T＝＝;(2) 取值范围为.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：(1)利用和角公式化简之后即可求出周期,‎ ‎(2)根据的范围,求出4＋的范围,然后结合三角函数的图象解答.‎ 试题解析：‎ ‎(1)由题意知,＝cos 4-cos＝cos 4＋sin 4＝2sin,‎ ‎∴函数的最小正周期T＝＝‎ ‎(2)∵-≤≤,‎ ‎∴-≤4＋≤,‎ ‎∴≤sin≤1,‎ ‎≤2sin≤2,‎ ‎∴函数的取值范围为.‎ 点睛：三角函数式的化简要遵循“三看”原则:一看角，这是重要一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式 - 17 -‎ ‎ ；二看函数名称，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有切化弦；三看结构特征，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如遇到分式要通分等.‎ ‎16.在中，内角，，的对边分别为，，.已知，，且的面积为.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求的周长.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由 和可得sinA和cosA，再由二倍角公式即得cos2A；（2）由面积公式，可得的值，再由和正弦定理可知b和c的值，用余弦定理可计算出a，即得的周长．‎ ‎【详解】解：（1）因为，所以，. ‎ 因为，所以，， ‎ 则. ‎ ‎（2）由题意可得，的面积为，即. ‎ 因为，所以，所以，. ‎ 由余弦定理可得. ‎ 故的周长为.‎ ‎【点睛】本题考查用正弦定理和余弦定理解三角形，以及二倍角公式，属于常考题型．‎ ‎17.已知函数是定义在上的奇函数.‎ ‎（1）求实数的值及函数的值域；‎ ‎（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）； （2）.‎ - 17 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由于函数是定义在上的奇函数，故可根据求得的值.再利用指数函数的值域，来求得的值域.（2）将原不等式分离常数，转化为，然后通过换元法求得右边函数的最大值，由此求得的取值范围.‎ ‎【详解】（1）由解得，反之时， ‎ ‎，符合题意，故 据此，，即值域为 ‎⑵在显然是单调增函数，为正数，‎ 所以，故，‎ 令，则 随的增大而增大，‎ 最大值为，所求范围是 ‎【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性，考查函数的值域求法，考查不等式恒成立问题的解决策略.属于难题.如果一个奇函数在处有定义，则必有，偶函数没有这个性质.对于含有参数的不等式恒成立问题，往往通过分离常数法来解决.在分离常数的过程中要注意不等号的变化.‎ ‎18.某同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业，经过市场调查，生产一小型电子产品需投入固定成本2万元，每生产万件，需另投入流动成本万元，当年产量小于 - 17 -‎ 万件时，（万元）；当年产量不小于7万件时，（万元）.已知每件产品售价为6元，假若该同学生产的商品当年能全部售完.‎ ‎（1）写出年利润（万年）关于年产量（万件）的函数解析式；（注：年利润=年销售收入-固定成本-流动成本）‎ ‎（2）当年产量约为多少万件时，该同学的这一产品所获年利润最大？最大年利润是多少？‎ ‎（取）.‎ ‎【答案】（1） （2）当年产量约为万件，该同学的这一产品所获年利润最大，最大利润为万元 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据年利润=年销售收入-固定成本-流动成本，分和两种情况，得到与x的关系式即可；（2）求出两种情况的最大值，作比较即可得到本题答案.‎ ‎【详解】（1）产品售价元，则万件产品销售收入为万元.‎ 依题意得，当时，，‎ 当时，，‎ ‎；‎ ‎（2）当时，，‎ 当时，的最大值为（万元），‎ 当时，，‎ 当时，单调递增，当单调递减，‎ - 17 -‎ 当时，取最大值（万元），‎ 当时，取得最大值万元，‎ 即当年产量约为万件，该同学的这一产品所获年利润最大，最大利润为万元.‎ ‎【点睛】本题主要考查利用分段函数解决实际问题，其中涉及到二次函数的值域问题以及用导数求最值问题.‎ ‎19.设二次函数，集合．‎ ‎（1）若，，且方程的两根都小于-1，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若，求函数在区间上的最大值（结果用表示）．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据,可得,由二次函数的图象列式可解得;‎ ‎(2)根据,可得,再讨论二次函数的图象开口方向和对称轴可解得.‎ ‎【详解】（1）因为，所以1和2是的两根，‎ 所以由韦达定理得，解得，‎ 因为，所以，即，‎ 此时 ,‎ 又因为方程的两根都小于-1，所以，‎ - 17 -‎ 将代入得，所以 ,‎ 解得；‎ ‎（2）因为，所以有两个相等的两根2，‎ 故，解得，‎ 此时 ,‎ 所以，对称轴为，‎ ‎①当时，则，在上单调递增，所以；‎ ‎②当时，则，；‎ ‎③当时，则，，‎ 综上：．‎ ‎【点睛】本题考查了二次方程实根的分布,解一元二次不等式,分类讨论思想,二次函数在指定区间上的最值,属于中档题.‎ ‎20.已知函数，．‎ ‎（1）求函数的极小值；‎ ‎（2）设函数，讨论函数在上的零点的个数；‎ ‎（3）若存在实数，使得对任意，不等式 - 17 -‎ 恒成立，求正整数的最大值．‎ ‎【答案】（1）；（2）分类讨论，详见解析；（3）4.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)求导后,利用导数可求得极小值;‎ ‎(2)转化为讨论在上的解的个数,再利用导数可解决;‎ ‎(3) 转化为对任意的，不等式恒成立后,构造函数利用导数可解得,‎ ‎【详解】（1），.‎ 则，‎ 令，得；令，得或（或列表求）‎ ‎∴函数在单调减，在单调增，在上单调减，‎ ‎∴函数在处取得极小值；‎ ‎（2），‎ ‎∵，∴，‎ 设，则，令，则.‎ ‎∴在上单调减，在上单调增，且，，，.‎ ‎∴当或时，有1解，‎ 即在上零点的个数为1个；‎ - 17 -‎ 当时，有2解，即在上的零点的个数为2个；‎ 当时，有0解，即在上的零点的个数为0个．‎ ‎（3）∵，存在实数，使对任意的，不等式恒成立，∴存在实数，使对任意的，不等式恒成立.‎ ‎∵，∴对任意的，不等式恒成立.‎ 即对任意的，不等式恒成立．‎ 设，，‎ ‎∴，可求得在上单调增，在上单调减，在上单调增，‎ 则在上单调减，在上单调增，‎ 当时，在上递减,所以恒成立；‎ 当时，在上递减,在上递增,所以，因为， ，而；所以在上不恒成立,‎ ‎∴正整数的最大值为4．‎ ‎【点睛】本题考查了利用导数求函数的极小值,利用导数讨论函数的零点的个数,利用导数处理不等式恒成立问题,本题属于难题.‎ - 17 -‎ - 17 -‎