辽宁省沈阳市沈河区第二中学2020届高三上学期10月月考数学（文）试题

辽宁省沈阳市沈河区第二中学2020届高三上学期10月月考数学（文）试题

沈阳二中2019—2020学年度上学期10月阶段测试 高三（20届）文科数学试题 说明：‎ ‎1. 测试时间：120分钟 总分：150分 ‎2. 客观题涂在答题纸上，主观题答在答题纸的相应位置上 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合， ，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出集合， ，然后根据交集的定义求出 ‎【详解】， ‎ 故选 ‎【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题 ‎2.复数满足，则复数的虚部是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先求出，可得，最后复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，将复数 化简成的形式，即可得到复数的虚部 ‎【详解】由于，所以 故复数的虚部是 故选：A ‎【点睛】本题考查复数模的公式，复数代数形式的乘除法，复数的基本概念，若，其中为复数的实部，为虚部，属于基础题。‎ ‎3.已知，则“”是“是第三象限角”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先化简“”，再利用充要条件的定义判断.‎ ‎【详解】因为，所以-sin是第三、四象限和y轴负半轴上的角.‎ 是第三、四象限和y轴负半轴上的角不能推出是第三象限角，‎ 是第三象限角一定能推出是第三、四象限和y轴负半轴上的角，‎ 所以“”是“是第三象限角”的必要非充分条件.‎ 故答案为：B.‎ ‎【点睛】(1)本题主要考查充要条件的判断和诱导公式，考查三角函数的值的符号，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 判定充要条件常用的方法有定义法、集合法、转化法.‎ ‎4.已知向量，，若，则等于（ ）‎ A. 80 B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，得，解得，再利用向量模的计算公式即可得到答案。‎ ‎【详解】由于，所以，即，解得：‎ 所以，故，‎ 则 故选：C ‎【点睛】本题考查向量垂直与数量积的关系、向量模的计算公式，若两向量垂直，则数量积为0，设，则，考查学生推理能力与计算能力，属于基础题。‎ ‎5.设是公差不为0的等差数列的前项和，，则（ ）‎ A. B. C. D. 1‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由等差数列求和公式及等差数列的性质可把已知条件转化为，从而可得答案。‎ ‎【详解】是公差不为0的等差数列的前项和，，‎ 根据等差数列的求和公式及等差数列的性可得：，即，‎ 所以 故选：B ‎【点睛】本题考查等差数列的求和公式以及等差数列的性质的应用，在等差数列中，若，则，在利用该性质时，注意等式两边项数相等，属于基础题。‎ ‎6.函数（，且）的图象恒过定点，且点在角的终边上，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令对数的真数等于1，求得x、y的值，可得定点A的坐标，再利用任意角的三角函数的定义求得，再利用同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式，求得的值．‎ ‎【详解】对于函数且，令，求得，，‎ 可得函数的图象恒过点，且点A在角的终边上，‎ ‎，则，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题主要考查对数函数的图象经过定点问题，任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式，属于基础题．‎ ‎7.函数f(x)=在[—π，π]的图像大致为 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先判断函数的奇偶性，得 是奇函数，排除A，再注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案．‎ ‎【详解】由，得奇函数，其图象关于原点对称．又．故选D．‎ ‎【点睛】本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．采取性质法或赋值法，利用数形结合思想解题．‎ ‎8.已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，由函数的奇偶性可得，，又由，结合函数的单调性分析可得答案．‎ ‎【详解】根据题意，函数是定义在上的偶函数，则，，‎ 有，‎ 又由在上单调递增，则有，故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意函数奇偶性的应用，属于基础题．‎ ‎9.中国古代近似计算方法源远流长，早在八世纪，我国著名数学家张遂在编制《大衍历》中发明了一种二次不等距插值算法:若函数在处的函数值分别为，则在区间上可以用二次函数来近似代替:，其中 ‎.若令，，请依据上述算法，估算的值是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，利用，然后分别求出，进而代入，求出，最后即可求解的值 ‎【详解】设，，，则有，‎ 则，，，‎ 由，‎ 可得 ‎，答案选C ‎【点睛】本题考查函数近似值的求解，代入运算即可，属于难题 ‎10.在中，是的中点，已知，则的形状是（ ）‎ A 等腰三角形 B. 等腰直角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题可得，在和在中，分别利用正弦定理可得：和，两式相除，化简可得 ‎，即可判断出三角形的形状。‎ ‎【详解】在中，是的中点，则，‎ 由于，则，‎ 故，‎ 在，由正弦定理可得：，则①‎ 在，由正弦定理可得：，则②‎ ‎①②可得：，化简得：，即 由于在中，，所以或，则或 ‎ 所以的形状是等腰三角形或直角三角形 故选:D ‎【点睛】本题考查正弦定理在判断三角形形状中的应用，涉及诱导公式、二倍角公式、以及三角形内角的性质等知识点，属于中档题。‎ ‎11.已知是内一点，且满足，记、、的面积依次为，，，则等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设分别为、的中点，根据已知条件的等式变形可得：，，从而可得出到的距离等于到的距离，到的距离等于到的距离的，从而可得，，，即可解决问题。‎ ‎【详解】如图：设分别为、的中点 由于，所以，即；‎ 同理：，即，‎ 所以，则到的距离等于到的距离，到的距离等于到的距离的，‎ 设的面积为，则，，，‎ 所以 故选：D ‎【点睛】本题考查共线向量的意义，两个同底的三角形的面积之比等于底上的高之比，体现了数形结合的数学思想，属于中档题。‎ ‎12.已知函数，若函数有三个不同的零点，且，则的取值范围为 A. (0，1] B. (0，1) C. (1，+∞) D. [1，+∞)‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题首先可以根据函数的解析式以及判断出三个根的取值范围，然后通过函数的解析式即可得出，最后根据对数运算以及的取值范围即可得出结果。‎ ‎【详解】因为函数有三个不同的零点以及，‎ 所以根据函数的解析式可知，在区间上，在区间上，在区间上，即，‎ 由可知，即，‎ 因为以及在区间上，‎ 所以，即，故选C。‎ ‎【点睛】本题考查了函数的相关性质，主要考查分段函数以及对数函数的相关性质，考查对含绝对值的函数的值的判断以及对分段函数中每一段函数之间的联系的判断，考查函数方程思想，考查推理能力，是中档题。‎ 第Ⅱ卷（90分）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上.‎ ‎13.已知曲线在点处的切线的倾斜角为，则的值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据导数的几何意义求出，然后将所给齐次式转化为只含有的形式后求解即可．‎ ‎【详解】由得，‎ ‎∴，故．‎ ‎∴．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题以对数的几何意义为载体考查三角求值，对于含有的齐次式的求值问题，一般利用同角三角函数关系式转化为关于的形式后再求解，这是解答此类问题时的常用方法，属于基础题．‎ ‎14.已知某射击运动员,每次击中目标的概率都是0.8.‎ 现采用随机模拟的方法估计该运动员射击4次至少击中3次的概率:先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数,指定0,1表示没有击中目标,2,3,4,5,6,7,8,9表示击中目标;因为射击4次,故以每4个随机数为一组,代表射击4次的结果.经随机模拟产生了如下20组随机数:‎ ‎5727　0293　7140　9857　0347‎ ‎4373　8636　9647　1417　4698‎ ‎0371　6233　2616　8045　6011‎ ‎3661　9597　7424　6710　4281‎ 据此估计,该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为_____.‎ ‎【答案】0.75‎ ‎【解析】‎ 由题意知,‎ 在20组随机数中表示射击4次至少击中3次的有:‎ ‎5727　0293　9857　0347　4373　8636　9647　4698 6233　2616　8045　3661　9597　7424　4281,‎ 共15组,‎ 故所求概率为=0.75.‎ 故答案为：0.75.‎ 点睛：古典概型中,基本亊件的探求方法有 (1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求，注意在确定基本事件时可以看成是有序的，如与不同，有时也可以看成是无序的，如与相同；(3)排列组合法：在求一些较复杂的基本亊件的个数时，可利用排列或组合的知识.本题是利用方法（1）将基本事件一一列举后求概率的.‎ ‎15.当时，函数取得最小值，则________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用辅助角公式化简函数的解析式，再根据正弦函数的最值求出辅助角，再利用两角差的余弦公式，即可求解.‎ ‎【详解】由函数，其中，且为锐角，‎ 当时，函数取得最小值，所以，即，‎ 所以，‎ 令，即，‎ 故 ‎.‎ ‎【点睛】本题主要考查了辅助角公式，以及两角差的余弦公式公式的化简、求值问题，其中解答中熟练使用辅助角公式，求得的值，以及准确使用两角差的余弦公式运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.‎ ‎16.在直角坐标系中，已知点，，，点在三边围成的区域（含边界）上，且，求的最大值______.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由得到 ，作差后得到，令，然后利用线性规划知识求得的最大值 ‎【详解】由题可得：，， ‎ 所以由可得: ‎ 故，作差后得到，‎ 令，由图可知 当直线过点时，取得最大值1，‎ 故的最大值为：1‎ 故答案为：1‎ ‎【点睛】本题考查平面向量坐标加法运算，考查简单的线性规划，考查学生数形结合的解题思想，属于中档题。‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）‎ ‎17.已知函数的部分图像如图所示，若，，分别为最高点与最低点，为图象与轴交点，且的面积为.‎ ‎（1）求函数的单调递增区间；‎ ‎（2）若将的图像向左平移个单位长度，得到函数的图像，求函数在区间上的最大值和最小值.‎ ‎【答案】(1) ，. (2) 最大值，最小值-2.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据图像求得，令，‎ ‎，解不等式，即可得到函数的单调递增区间；‎ ‎（2）根据函数图像平移法则可得，再根据，利用正弦函数的定义域和值域求得函数的最值。‎ ‎【详解】（1）由可得，即.‎ 又因为，所以.‎ 由题意的面积为，所以.故，‎ 所以，‎ 由，，解得，，‎ 所以函数的单调递增区间为，.‎ ‎（2）由题意将的图像向左平移个单位长度，得到函数的图像，‎ ‎∴.‎ ‎∵，∴‎ ‎∴当时，，取得最大值，‎ 当时，，取得最小值-2.‎ ‎【点睛】本题考查根据三角函数的图像求函数解析式，函数的图像变换规律、正弦函数的单调性、定义域、值域等问题，属于基础题。‎ ‎18.汽车尾气中含有一氧化碳（），碳氢化合物（）等污染物，是环境污染的主要因素之一，汽车在使用若干年之后排放的尾气中的污染物会出现递增的现象，所以国家根据机动车使用和安全技术、排放检验状况，对达到报废标准的机动车实施强制报废.某环保组织为了解公众对机动车强制报废标准的了解情况，随机调查了100人，所得数据制成如下列联表：‎ 不了解 了解 总计 女性 ‎50‎ 男性 ‎15‎ ‎35‎ ‎50‎ 总计 ‎100‎ ‎（1）若从这100人中任选1人，选到了解机动车强制报废标准的人的概率为，问是否有的把握认为“对机动车强制报废标准是否了解与性别有关”？‎ ‎（2）该环保组织从相关部门获得某型号汽车的使用年限与排放的尾气中浓度的数据，并制成如图所示的折线图，若该型号汽车的使用年限不超过15年，可近似认为排放的尾气中浓度与使用年限线性相关，试确定关于的回归方程，并预测该型号的汽车使用12年排放尾气中的浓度是使用4年的多少倍.‎ 附：（）‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ 参考公式：用最小二乘法求线性回归方程系数公式：，.‎ ‎【答案】(1) 有的把握认为“对机动车强制报废标准是否了解与性别有关”. (2) .4.2倍.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意计算的值，再利用，计算出，对照临界值得出结论，‎ ‎（2）由公式计算出和，从而得到关于的回归方程，把，代入回归方程中，可预测该型号的汽车使用12年排放尾气中的浓度，从而可得答案。‎ ‎【详解】解：（1）设“从100人中任选1人，选到了解机动车强制报废标准的人”为事件，‎ 由已知得，所以，，，.‎ 的观测值，‎ 故有的把握认为“对机动车强制报废标准是否了解与性别有关”.‎ ‎（2）由折线图中所给数据计算，得，，‎ 故，，所以所求回归方程为.‎ 故预测该型号的汽车使用12年排放尾气中的浓度为，因为使用4年排放尾气中的浓度为，所以预测该型号汽车使用12年排放尾气中的浓度是使用4年的4.2倍.‎ ‎【点睛】本题考查列联表与独立性检验的应用，以及线性回归方程的求法，解题的关键是熟练掌握公式，考查学生基本的计算能力，属于中档题。‎ ‎19.在，角、、所对的边分别为、、，已知.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若，边上的中线，求的面积.‎ ‎【答案】(1) (2)答案不唯一，见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意根据和差角的三角函数公式可得，再根据同角三角函数基本关系可得的值；‎ ‎（2）在中，由余弦定理可得，解方程分别由三角形面积公式可得答案。‎ ‎【详解】解：（1）在中，因为，‎ 又已知，‎ 所以，‎ 因为，所以，于是.‎ 所以.‎ ‎（2）在中，由余弦定理得，‎ 得解得或，‎ 当时，的面积，‎ 当时，的面积.‎ ‎【点睛】本题考查正余弦定理理解三角形，涉及三角形的面积公式和分类讨论思想，属于中档题。‎ ‎20.已知函数，其中．‎ Ⅰ当时，求曲线在点处的切线方程；‎ Ⅱ当时，若在区间上的最小值为，求a的取值范围；‎ Ⅲ若，，且，恒成立，求a的取值范围．‎ ‎【答案】（I）；（II）；（III）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ Ⅰ 求出,由的值可得切点坐标，求出的值，可得切线斜率，利用点斜式可得曲线在点处的切线方程；Ⅱ确定函数的定义域，求导函数，分类讨论，利用导数确定函数的单调性，利用单调性求得函数在区间上的最小值为，即可求的取值范围；Ⅲ设，则，对任意，，，且恒成立，等价于在上单调递增，由此可求的取值范围．‎ ‎【详解】Ⅰ当时，，‎ 因为，，所以切线方程为 ‎ Ⅱ函数的定义域为．‎ 当时，，‎ 令，即，所以或 当，即时，在上单调递增，‎ 所以在上的最小值是；‎ 当时，在上的最小值是，不合题意；‎ 当时，在上单调递减，‎ 所以在上的最小值是，不合题意 综上可得 ‎ Ⅲ设，则，对任意，，，且恒成立，等价于在上单调递增.‎ 而，‎ 当时，，此时在单调递增；‎ 当时，只需在恒成立，因为，只要，则需要，‎ 对于函数，过定点，对称轴，只需，即 综上可得 ‎ ‎【点睛】本题是以导数的运用为背景的函数综合题，主要考查了函数思想，化归思想，抽象概括能力，综合分析问题和解决问题的能力，属于较难题，近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题.‎ ‎21.已知函数，.‎ ‎（1）求的单调区间；‎ ‎（2）若在上成立，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1），利用，解得，即可得出单调区间．‎ ‎（2）法一：由得，即．令，利用导数研究其单调性即可得出．‎ 法二：由得，即，令，利用导数研究其单调性即可得出．‎ ‎【详解】解：（1），‎ 当时，，单调递增；‎ 当时，，单调递减，‎ 故单调递增区间为，单调递减区间为.‎ ‎（2）法一：由得，即，‎ 令，，‎ ‎，，在单调递增，‎ 又，，‎ 所以有唯一的零点，‎ 且当时，，即，单调递减，‎ 当时，，即，单调递增，‎ 所以，‎ 又因为所以，‎ 所以，的取值范围是.‎ 法二：由得，‎ 即，‎ 令，因为，，‎ 所以存在零点；‎ 令，则，当时，，单调递减，‎ 当时，，单调递增．‎ 所以，‎ 所以，‎ 所以的取值范围是．‎ ‎【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力．‎ 选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做按所做的第一题计分.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 在极坐标系中，直线,曲线上任意一点到极点的距离等于它到直线的距离.‎ ‎(I)求曲线的极坐标方程;‎ ‎(II)若是曲线上两点，且,求的最大值.‎ ‎【答案】(1) .‎ ‎(2) .‎ ‎【解析】‎ 分析：设点，根据曲线上任意一点到极点的距离等于它到直线的距离，即可求得曲线的极坐标方程；(II)根据可设，利用极坐标方程求出，再根据三角函数的图象及性质即可求得最大值.‎ 详解：(Ⅰ)设点是曲线上任意一点，则,即.‎ ‎(II) 设,则 点睛：本题主要考查求极坐标方程及极坐标方程的应用.在参数方求最值问题中，可根据题设条件列出三角函数式，借助于三角函数的图象与性质，即可求最值，注意求最值时，取得的条件能否成立.‎ ‎23.已知实数x, y满足.‎ ‎（1）解关于x的不等式；‎ ‎（2）若，证明：‎ ‎【答案】（1）；（2）9‎ ‎【解析】‎ 分析：（1）先消去y，再利用零点分类讨论法解绝对值不等式.(2)利用基本不等式证明.‎ 详解：（1）‎ ‎，‎ 当时，原不等式化为，解得，‎ ‎∴； ‎ 当时，原不等式化为，∴；‎ 当时，原不等式化，解得，‎ ‎∴；‎ 综上，不等式的解集为． ‎ ‎（2）且，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎. ‎ 当且仅当时，取“=”.‎ 点睛：（1）本题主要考查零点讨论法解绝对值不等式，考查不等式的证明，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分类讨论能力.(2)第（2）的关键是常量代换，‎ ‎，常量代换之后才方便利用基本不等式证明.‎ ‎ ‎