甘肃省白银市会宁县第一中学2020届高三上学期10月月考数学（文）试题

甘肃省白银市会宁县第一中学2020届高三上学期10月月考数学（文）试题

宁一中高三第二次月考数学试题（文科）‎ 一、选择题（每题5分，共60分）‎ ‎1.已知全集，集合，则（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先解出集合，，由集合基本运算的定义依次对选项进行判定。‎ ‎【详解】由题可得，；‎ 所以，则选项正确；‎ 故答案选D ‎【点睛】本题考查一元二次方程、绝对值不等式的解法以及集合间基本运算，属于基础题。‎ ‎2.设为虚数单位，复数满足，则　　‎ A. 1 B. C. 2 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数代数形式的乘除运算，再由复数的模的计算公式求解即可。‎ ‎【详解】由，得，‎ ‎，故选．‎ ‎【点睛】本题主要考查复数代数形式的乘除运算以及复数的模的计算。‎ ‎3.设，则“”是“”的( )‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别求出两不等式的解集，根据两解集的包含关系确定.‎ ‎【详解】化简不等式，可知 推不出；‎ 由能推出，‎ 故“”是“”的必要不充分条件，‎ 故选B。‎ ‎【点睛】本题考查充分必要条件，解题关键是化简不等式，由集合的关系来判断条件。‎ ‎4.函数的一个零点所在的区间是( )‎ A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,4)‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数零点的判定定理进行判断即可 ‎【详解】是连续的减函数，又 ‎ 可得f（2）f（3）＜0，‎ ‎∴函数f（x）的其中一个零点所在的区间是(2,3)‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查了函数零点的判定定理，若函数单调，只需端点的函数值异号即可判断零点所在区间，是一道基础题．‎ ‎5.函数的定义域为，且，当时，；当 时，，则 A. 672 B. ‎673 ‎C. 1345 D. 1346‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数周期的定义，得到函数是周期为3的周期函数，进而求得的值，进而得到，即可求解.‎ ‎【详解】根据题意，函数的定义域为，且，‎ 则函数是周期为3的周期函数，‎ 又由当时，，则，‎ 当时，，则，‎ 由函数是周期为3的周期函数，则 ‎ 则，‎ 所以，‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数周期性的应用，以及函数值的计算，其中解答中根据函数周期性的定义，求得函数是周期为3的周期函数是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎6.已知正实数、、满足，，，则、、的大小关系是（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析】‎ 计算出的值，然后考虑的大小.‎ ‎【详解】因为，所以，则，‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】指对式的比较大小，可以从正负的角度来分析，也可以从同指数的角度来分析大小.‎ ‎7.已知函数（，，）的部分图像如图所示，若将图像上的所有点向左平移个单位得到函数的图像，则函数的单调递增区间是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三角函数的图像得出函数解析式，然后根据平移规则得出函数的图像，从而得出函数的单调区间.‎ ‎【详解】解：由图可得 故，‎ 解得，‎ 将点代入函数，‎ 即，‎ 因，‎ 所以，故函数，‎ 因为将图像上的所有点向左平移个单位得到函数的图像 所以，‎ 当时 解得：，‎ 故当时，单调递增，‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题考查了求三角函数解析式问题、三角函数图像平移问题、三角函数单调性问题，解决问题的关键是要能由函数图像得出函数解析式，熟练运用图像平移的规则等.‎ ‎8.化简的结果是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用同角三角函数基本关系式以及二倍角公式化简求值即可．‎ ‎【详解】‎ ‎．故选．‎ ‎【点睛】本题主要考查应用同角三角函数基本关系式和二倍角公式对三角函数的化简求值。‎ ‎9.中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问題:今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰:“我羊食半马、“马主曰:“我马食半牛，”今欲衰偿之，问各出几何?此问题译文是:今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟、羊主人说:“我羊所吃的禾苗只有马的一半，”马主人说:“我马所吃的禾苗只有牛的一半，“打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？该问题中，1斗为‎10升，则马主人应偿还( )升粟？‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意可知，羊马牛的三主人应偿还的量构成了公比为2的等比数列，而前3项和为‎50升，即可利用等比数列求和公式求出，进而求出马主人应该偿还的量.‎ ‎【详解】因为斗=升，设羊、马、牛的主人应偿还的量分别为，‎ 由题意可知其构成了公比为2的等比数列，且 则，解得，‎ 所以马主人要偿还的量为：，‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查了等比数列基本量求解，以及数学文化，属于基础题.‎ ‎10.等差数列中，已知，，则的前项和的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先通过数列性质判断，再通过数列的正负判断的最小值.‎ ‎【详解】∵等差数列中，，∴，即.又，∴的前项和的最小值为.‎ 故答案选C ‎【点睛】本题考查了数列和的最小值，将的最小值转化为的正负关系是解题的关键.‎ ‎11.函数的大致图象是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】函数f（x）=ln（|x|﹣1）是偶函数，所以选项C，D不正确；‎ 当x＞1时，函数f（x）=ln（x﹣1）是增函数，所以A不正确；B正确；‎ 故选：B．‎ ‎12.函数存在唯一的零点，且，则实数的范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分三种情形讨论，后两者情形可结合函数的单调性和零点存在定理去讨论.‎ ‎【详解】若，则，令，则，不满足题设要求.‎ 若，则，‎ 当时，，在上为增函数，‎ 当时，，在上为减函数，‎ 当时，，在上增函数，‎ 因，且，所以在有一个零点，与题设矛盾，舎.‎ 若，则，‎ 当时，，在上为减函数，‎ 当时，，在上为增函数，‎ 当时，，在上为减函数，‎ 因为有且只有一个负零点，所以 ‎，整理得到，故或（舎）.‎ 当时，，由零点存在定理可知在有且只有一个负零点，结合的单调性及可知在上有且只有一个负零点.‎ 综上，，故选B.‎ ‎【点睛】函数零点个数的判断，需利用函数的单调性和零点存在定理来判断，选择怎样的点来计算其函数值且函数值异号是关键，可根据解析的特点选取合适的点.‎ 二、填空题（每道题5分，共20分）‎ ‎13.已知函数，若，则实数的值是_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解方程即得a的值.‎ ‎【详解】∵‎ ‎∴‎ ‎ ∵‎ ‎∴，‎ 因为 所以解得a＝．‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查分段函数求值，考查指数对数运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎14.已知向量，，若与的夹角是锐角，则实数的取值范围为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出与的坐标，再根据与 夹角是锐角，则它们的数量积为正值，且它们不共线，求出实数的取值范围，．‎ ‎【详解】向量，，，，‎ 若与的夹角是锐角，则与不共线，且它们乘积为正值，‎ 即，且，‎ 求得，且．‎ ‎【点睛】本题主要考查利用向量的数量积解决向量夹角有关的问题，以及数量积的坐标表示，向量平行的条件等。条件的等价转化是解题的关键。‎ ‎15.已知，则_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出，令后可得的值．‎ ‎【详解】，令，‎ 则，故．填．‎ ‎【点睛】本题考查函数导数的运算，属于容易题，求导时注意为常数．‎ ‎16.已知平行四边形中，，，则此平行四边形面积的最大值为_____．‎ ‎【答案】12‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 如图所示，设AB=x,则，OB=3,先求出，再求出平行四边形的面积S 的表达式，再利用换元和二次函数的图像和性质求函数的最大值.‎ ‎【详解】‎ 如图所示，设AB=x,则，OB=3,‎ 所以，‎ 所以，‎ 由题得.‎ 由题得平行四边形的面积S=‎ 设,‎ 所以当t=时 ， ‎ 故答案为：12‎ ‎【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形，考查三角形面积的计算，考查二次函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ 三、解答题（选做题10分，其余各题每题12分，共70分）‎ ‎17.设平面向量，，函数．‎ ‎（Ⅰ）求时，函数的单调递增区间；‎ ‎（Ⅱ）若锐角满足，求的值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）利用向量的数量积结合两角和与差的三角函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式，利用正弦函数的单调增区间，求得时函数f（x）的单调递增区间；‎ ‎（Ⅱ）若锐角α满足，可得cos的值，然后求的值．‎ ‎【详解】解：（Ⅰ）‎ ‎．‎ 由得，‎ 其中单调递增区间为，‎ 可得，‎ ‎∴时f（x）的单调递增区间为．‎ ‎（Ⅱ），‎ ‎∵α为锐角，∴．‎ ‎ ‎ ‎．‎ ‎【点睛】本题考查向量的数量积以及三角函数的化简求值，考查了二倍角公式的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．‎ ‎18.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 ‎(1)求角的大小；‎ ‎(2)若，求△ABC周长的取值范围．‎ ‎【答案】(1) ；(2)周长范围 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用正弦定理边化角，化简即可解出角A.‎ ‎（2）利用正弦定理边化角，最后全部用角B表示，再根据角B的取值范围，解三角函数的值域。‎ ‎【详解】(1)‎ ‎(2) ‎ 周长 又 ‎【点睛】解三角形有两个方向，角化边、边化角，本题适用于边化角，第二问求周长的取值范围，一般化为三角函数，转化为求三角函数的值域问题。‎ ‎19.已知等差数列的前项和为，，，数列满足：，.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）求数列的通项公式及其前项和；‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）直接利用等差数列的通项公式及求和公式求出数列的首项及公差，则可得前n项和公式．‎ ‎（2）利用叠乘法求得的通项，再由乘公比错位相减法求出数列的和．‎ ‎【详解】（1）设数列的公差为，则，解得，所以.‎ ‎（2）由题意得．‎ 当n≥2时．‎ 又也满足上式，‎ 故．‎ 故①‎ ‎②‎ ‎①﹣②得：，‎ 解得：．‎ ‎【点睛】本题考查的知识要点：等差数列的通项公式及求和公式的应用，乘公比错位相减法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力及基本知识的运用能力，属于基础题型．‎ ‎20.（1）计算：；‎ ‎（2）若函数在区间上是减函数，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）直接利用对数运算性质进行对数的运算即可；‎ ‎（2）可分离常数得出，根据f（x）在（﹣2，+∞）上是减函数即可得出1﹣‎2a＞0，解出a的范围即可．‎ ‎【详解】（1）‎ ‎=.‎ ‎（2），且f（x）在（﹣2，+∞）上是减函数，‎ ‎∴1﹣‎2a＞0，‎ ‎∴，‎ ‎∴实数a的取值范围为．‎ ‎【点睛】本题考查对数的运算性质，以及分离常数法的运用，反比例函数的单调性，属于基础题．‎ ‎21.已知函数.‎ ‎（Ⅰ）讨论函数的单调性；‎ ‎（Ⅱ）当时，在定义域内恒成立，求实数的值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）当时，单调递增区间为，无单调递减区间；当时，单调递增区间为，单调递减区间为 ‎（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）求出函数的的定义域以及导函数，分类讨论，，情况下导数的正负，由此得到答案；‎ ‎（Ⅱ）结合（Ⅰ）可得函数的最小值，要使在定义域内恒成立，则恒成立，令，利用导数求出的最值，从而得到实数的值。‎ ‎【详解】（Ⅰ）由题可得函数的的定义域为，；‎ ‎（1） 当时，恒成立，则单调递增区间为，无单调递减区间 ‎（2） 当时，恒成立，则单调递增区间为，无单调递减区间；‎ ‎（3） 当时，令，解得：，令，解得：，则单调递增区间为，单调递减区间为 ‎；‎ 综述所述：当时，单调递增区间为，无单调递减区间；当时，单调递增区间为，单调递减区间为；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，当时， 单调递增区间为，单调递减区间为，则；‎ 所以在定义域内恒成立，则恒成立，即，‎ 令，先求的最大值：，令，解得：，令，解得：，令，解得：，所以的单调增区间为，单调减区间为，则 ‎ 所以当时，恒成立，即在定义域内恒成立，‎ 故答案为 ‎【点睛】本题主要考查函数的单调性，以及利用导数研究函数的最值，考查学生转化的思想和运算求解能力，属于中档题。‎ 选做题（极坐标与参数方程，不等式选将）‎ ‎22.在平面直角坐标系中, 圆的方程,以直角坐标系中轴的正半轴为极轴的极坐标系中, 直线的极坐标方程为.‎ ‎(1)写出直线的直角坐标方程； ‎ ‎（2）若直线过点且垂直于直线，设与圆两个交点为,求的值.‎ ‎【答案】(1)；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用可得直线的直角坐标方程；‎ ‎（2）先求直线的方程，然后转化为参数方程，联立结合韦达定理可求.‎ ‎【详解】（1）极坐标方程，‎ 其中 , ‎ ‎ 所以直线的直角坐标方程为 . ‎ ‎（2）直线的斜率为1，所以过点P（2，0）且垂直于的直线的参数方程为即，（t为参数） 代入整理得 ‎ 设方程的两根为，‎ 则有 由参数t 的几何意义知|PA|+|PB|=，|PA||PB|= ‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题主要考查直角坐标方程与极坐标方程的相互转化及利用参数的几何意义求解，直角坐标方程与极坐标方程的相互转化只要熟记公式就可以实现；长度问题利用参数的几何意义能简化过程，侧重考查数学运算的核心素养.‎ ‎23.已知关于x的不等式|x﹣m|+2x≤0的解集为（﹣∞，﹣2]，其中m＞0．‎ ‎（1）求m的值；‎ ‎（2）若正数a，b，c满足a+b+c＝m，求证：2．‎ ‎【答案】（1）m＝2（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）解不等式，得出答案。‎ ‎（2）直接使用均值不等式即可证明之。‎ ‎【详解】（1）由f（x）≤0得|x﹣m|+2x≤0，‎ 即或，‎ 化简得：或 由于m＞0，所以不等式组的解集为（﹣∞，﹣m）．‎ 由题设可得﹣m＝﹣2，故m＝2．‎ ‎（2）由（1）可知，a+b+c＝2，‎ 又由均值不等式有：a≥2b，b≥‎2c，c≥‎2a，‎ 三式相加可得：c≥2b+‎2c+‎2a，‎ 所以a+b+c＝2．‎ ‎【点睛】本题考查解不等式与利用均值不等式证明。‎