辽宁省沈阳市铁路实验中学2020届高三上学期10月月考数学（理）试题

辽宁省沈阳市铁路实验中学2020届高三上学期10月月考数学（理）试题

沈阳铁路实验中学高三数学试卷（理）‎ 第 Ⅰ 卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）‎ ‎1.设全集为，集合，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：由题首先计算集合B的补集然后与集合A取交集即可．‎ 由题A=（-3,3）,或，，故选B．‎ 考点：集合的运算 ‎2.设，则“”是“”的（ ）‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】由题意得，不等式，解得或，‎ 所以“”是“”的充分而不必要条件，‎ 故选A．‎ 考点：充分不必要条件的判定．‎ ‎3.（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎.‎ ‎【考点定位】本题考查复数的基本运算，考查学生的基本运算能力.‎ ‎4.已知，则点P所在的象限是(　　)‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：∵，∴，即是第三象限角，∴，∴点P在第四象限.‎ 考点：三角函数值符号判断 ‎5.设 ， ， ,则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据指数函数和对数函数的单调性，利用临界值和，确定的大致范围，从而得到大小关系.‎ ‎【详解】，即 ‎，即 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查根据指数函数和对数函数单调性比较大小的问题，关键是能够找到合适的临界值，确定所求式子的大致范围.‎ ‎6.函数（ ）‎ A. 在单调递减 B. 在单调递增 C. 在单调递减 D. 在单调递增 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用辅助角公式将函数整理为；利用的范围可求出的范围，对应正弦函数的单调性可得到选项对应区间的单调性，从而得到结果.‎ ‎【详解】‎ 当时， 在上单调递增，错误 当时， 在上单调递减，错误 当时， 在上单调递增，错误 当时， 在上单调递增，正确 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查正弦型函数单调性判断问题，关键是能够采用整体对应的方式，结合正弦函数的图象确定单调性.‎ ‎7.已知箱中共有6个球，其中红球、黄球、蓝球各2个，每次从该箱中取1个球（每球取到的机会均等），取出后放回箱中，连续取三次．设事件“第一次取到的球和第二次取到的球颜色不相同”，事件“三次取到的球颜色都不相同”，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先求解出和，根据条件概率公式可求得结果.‎ ‎【详解】事件表示三次取到的球颜色都不相同 ‎ 又 ‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查条件概率的求解问题，关键是能够准确理解积事件的含义，并求解出对应的概率.‎ ‎8.定义在上的函数满足，且时，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由可得函数为奇函数，由可得，故函数的周期为4。所以 ‎，因为，所以 ‎。故，选A。‎ 点睛：根据得到函数为奇函数和周期函数是解题关键，然后根据对数的运算性质将问题转化到区间内解决。‎ ‎9.若函数在内有极小值，则的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据题意，求得极值点在(0,1)上，然后求导判断函数的单调性，找到极值点，然后求解即可.‎ ‎【详解】解得 .‎ 因为函数f(x)=x3-3bx+3b在（0，1）内有极小值，‎ 所以.极值点在(0,1)上,‎ 所以在递增，‎ 递减；‎ 递增；‎ 所以在取极小值，‎ ‎ ,,‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题考查了导函数的应用极值，判断极值点是解题的关键，属于中档题.‎ ‎10.曲线与直线及所围成的封闭图形的面积为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 曲线与直线及所围成的封闭图形如图所示，‎ 图形的面积为，选.‎ 考点：定积分的简单应用.‎ ‎11.已知函数，若函数在区间上为单调递减函数，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 因为，所以，由正弦函数的单调性可得，即，也即，所以，应选答案B。‎ 点睛：解答本题的关键是将函数看做正弦函数，然后借助正弦函数的单调性与单调区间的关系，依据区间端点之间的大小关系建立不等式组 ‎，最后通过解不等式组使得问题巧妙获解。‎ ‎12.已知函数对任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】由，即.‎ 所以函数在上递增.‎ 所以，‎ 即成立，故选A.‎ 考点：1.函数的导数.2.函数的单调性.3.函数的构造的思想.‎ 第 Ⅱ 卷 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共计20分）‎ ‎13.二项式的展开式中的常数项为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 因为 ，所以由 得常数项为 ‎14.△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若acosB＝5bcosA，asinA﹣bsinB＝2sinC，则边c的值为_______．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由acosB＝5bcosA得，由asinA﹣bsinB＝2sinC得，解方程得解.‎ ‎【详解】由acosB＝5bcosA得.‎ 由asinA﹣bsinB＝2sinC得，‎ 所以.‎ 故答案：3‎ ‎【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎15.已知函数y=sin（πx+φ）﹣2cos（πx+φ）（0＜φ＜π）的图象关于直线x=1对称，则sin2φ ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：利用辅助角公式结合三角函数的对称性，结合二倍角公式进行求解即可．‎ 解：y=sin（πx+φ）﹣2cos（πx+φ）=sin（πx+φ﹣α），其中sinα=，cosα=．‎ ‎∵函数的图象关于直线x=1对称，‎ ‎∴π+φ﹣α=+kπ，‎ 即φ=α﹣+kπ，‎ 则sin2φ=sin2（α﹣+kπ）=sin（2α﹣π+2kπ）=sin（2α﹣π）=﹣sin2α=﹣2sinαcosα ‎=﹣2××=，‎ 故答案为：‎ 考点：两角和与差的正弦函数．‎ ‎16.下列四个命题中，真命题的序号有__________.（写出所有真命题的序号）①若，则“”是“”成立的充分不必要条件；②命题“使得”的否定是 “均有”；③命题“若，则或”的否命题是“若，则”；④函数在区间上有且仅有一个零点.‎ ‎【答案】①②③④‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据不等式性质和反例可判断出①正确；根据含量词命题的否定可知②正确；根据绝对值不等式的解法可求得③正确；利用导数可得到在上单调递增，再结合零点存在定理可确定零点个数，知④正确.‎ ‎【详解】① 由不等式性质可知，充分条件成立 当时，若，则，必要条件不成立 ‎“”是“”的充分不必要条件，①正确 ‎②根据特称命题的否定，可知原命题的否定为：，均有，②正确 ‎③等价于或，解得：或，可知命题“若，则或”的否命题是“若，则”③正确 ‎④，则当时， 在上单调递增 又，‎ 在上有且仅有一个零点，④正确 本题正确结果：①②③④‎ ‎【点睛】本题考查真假命题的判定，涉及到充分条件与必要条件的判定、绝对值不等式的解法、含量词命题的否定、零点存在定理的应用等知识，属于中档题.‎ 三、解答题：（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，解答过程书写在答题纸的对应位置.）‎ ‎17.已知（）过点，且当时，函数取得最大值1.‎ ‎（1）将函数的图象向右平移个单位得到函数，求函数的表达式；‎ ‎（2）在（1）的条件下，函数，求在上的值域.‎ ‎【答案】(1)；(2).‎ ‎【解析】‎ 试题分析：‎ ‎(1)由题意可得函数f(x)的解析式为，则.‎ ‎(2)整理函数h(x)的解析式可得：，结合函数的定义域可得函数的值域为.‎ 试题解析：‎ ‎(1)由函数过得，‎ ‎，∵，∴‎ ‎，.‎ ‎(2) ，‎ ‎，‎ ‎，值域为.‎ ‎18.已知函数,在曲线上的点处的切线与直线平行.‎ ‎（1）若函数在时取得极值，求，的值；‎ ‎（2）在（1）的条件下求函数的单调区间.‎ ‎【答案】（1）；（2）单调递增区间为，；单调递减区间为 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用导数几何意义可知；根据极值与导数的关系可知，由此可得到关于的方程组，解方程组求得结果；（2）根据导函数的符号即可确定原函数的单调区间.‎ ‎【详解】（1）由题意得：‎ 在处的切线与直线平行 ‎ 在处取得极值 ‎ 由得：‎ ‎（2）由（1）得：，‎ 令得：，‎ 当和时，；当时，‎ 的单调递增区间为，；单调递减区间为 ‎【点睛】本题考查利用导数研究函数的相关知识，涉及到导数几何意义的应用、导数与极值的关系、利用导数求解函数的单调区间等知识.‎ ‎19.在中，角所对的边分别为,且 .‎ ‎（1）求角C；‎ ‎（2）若的中线CE的长为1，求的面积的最大值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据正弦定理化简，结合余弦定理，可得角的大小；‎ ‎（2）利用三角形中线长定理，再利用余弦定理化简后，结合基本不等式可得的最大值，即可求得面积的最大值 ‎【详解】（1）由，‎ 得： ，即,由余弦定理得 ‎∴，∵，∴ .‎ ‎（2）由余弦定理：‎ ‎①，②，‎ 由三角形中线长定理可得：①+②得 ‎ 即 ‎∵，∴‎ ‎∴，当且仅当时取等号 所以.‎ ‎【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理及三角形中线长定理的应用，属于基础题 ‎20.司机在开机动车时使用手机是违法行为，会存在严重的安全隐患，危及自己和他人的生命. 为了研究司机开车时使用手机的情况，交警部门调查了名机动车司机，得到以下统计：在名男性司机中，开车时使用手机的有人，开车时不使用手机的有人；在名女性司机中，开车时使用手机的有人，开车时不使用手机的有人． ‎ ‎（1）完成下面的列联表，并判断是否有的把握认为开车时使用手机与司机的性别有关；‎ 开车时使用手机 开车时不使用手机 合计 男性司机人数 女性司机人数 合计 ‎（2）以上述的样本数据来估计总体，现交警部门从道路上行驶的大量机动车中随机抽检3辆，记这3辆车中司机为男性且开车时使用手机的车辆数为，若每次抽检的结果都相互独立，求的分布列和数学期望．‎ 参考公式与数据：‎ 参考数据： ‎ 参考公式 ‎，其中.‎ ‎【答案】（1）列联表见解析，有；（2）分布列见解析，.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据已知数据即可得到列联表；计算出，对比临界值表可得到结果；（2）由样本估计总体思想，可得到随机抽检辆，司机为男性且开车使用手机的概率为，可知，由二项分布概率公式可计算得到每个取值所对应的概率，从而得到分布列；由二项分布数学期望计算公式可得.‎ ‎【详解】（1）由已知数据可得列联表如下：‎ 开车时使用手机 开车时不使用手机 合计 男性司机人数 女性司机人数 合计 有的把握认为开车时使用手机与司机的性别有关 ‎（2）随机抽检辆，司机为男性且开车时使用手机的概率 有题意可知：可取值是，且 ‎；；‎ ‎；‎ 则的分布列为：‎ 数学期望 ‎【点睛】本题考查独立性检验的应用、二项分布的分布列及数学期望的求解等知识，对学生的计算和求解能力有一定要求，属于常考题型.‎ ‎21.已知函数，，其中.‎ ‎（1）讨论单调性；‎ ‎（2）若在其定义域内为增函数，求正实数的取值范围；‎ ‎（3）设函数，当时，若，，总有成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1)见解析；(2);(3).‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）借助题设条件运用导数和分类整合的思想求解；（2）借助题设条件运用导数和转化化归的思想求解.‎ 试题解析：‎ ‎（1）的定义域为，且 ‎①当时，，在上单调递增；‎ ‎②当时，由，得；由，得；‎ 故在上单调递减，在上单调递增 ‎（2）当时，，‎ 由得或 当时，；当时，.‎ 所以在上，‎ 而“，，总有成立”等价于 ‎“在上的最大值不小于在上的最大值”‎ 而在上的最大值为 所以有 所以实数的取值范围是 考点：导数和分类整合及化归转化的数学思想等有关知识和方法的综合运用．‎ 选修4-4：坐标系与参数方程 ‎22.在平面直角坐标系xoy中，圆的参数方程为（为参数），直线经过点，倾斜角 .‎ ‎（1）写出圆的标准方程和直线的参数方程；‎ ‎（2）设直线与圆相交于两点，求的值.‎ ‎【答案】（1），（为参数）（2）8‎ ‎【解析】‎ ‎(1)方程消去参数得圆的标准方程为，由直线方程的意义可直接写出直线的参数；（2）把直线的参数方程代入，由直线的参数方程中 的几何意义得的值.‎ 解：（Ⅰ）圆的标准方程为…… 2分 直线的参数方程为，即（为参数） …… 5分 ‎（Ⅱ）把直线的方程代入，‎ 得，……8分 所以，即…… 10分．‎ 选修4-5：不等式选讲 ‎23.已知函数.‎ ‎（1）若不等式的解集为，求实数的值；‎ ‎（2）在（1）的条件下，若存在使得成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）2；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用绝对值不等式求法可求得的解集为，对应已知解集可得方程组，解方程组求得；（2）利用绝对值三角不等式可求得，根据能成立的特点可知，从而得到.‎ ‎【详解】（1）由得：，即，解得：‎ 又的解集为： ，解得：‎ ‎（2）当时，‎ ‎（当且仅当时取等号）‎ 时，存在，使得 的取值范围为：‎ ‎【点睛】本题考查根据绝对值不等式的解集求解参数范围、能成立问题的求解，涉及到绝对值三角不等式的应用等知识，属于常考题型.‎