天津市西青区2019-2020学年高二上学期期末考试数学

天津市西青区2019-2020学年高二上学期期末考试数学

数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 满分150分. 考试时间120分钟.‎ 第I卷1至2页，第II卷3至6页.‎ 注意事项：答卷前务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，答卷时，考生务必把答案涂写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，答在试卷上的无效. ‎ ‎ ‎ 祝各位考生考试顺利!‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. ‎ ‎1. 设复数满足，则=‎ A． B． C. D. ‎ ‎2. “”是“”的 A．充分必要条件 B．必要而不充分条件 ‎ C. 充分而不必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎ ‎3. 已知空间向量，且，则 A． B． C. D. ‎ ‎4. 设等差数列的前n项之和为，已知，则 A． B． C. D．‎ ‎5. 抛物线的焦点坐标是 A． B． C. D．‎ ‎6. 数列的前项和为，若，则=‎ A． B． C. D．‎ ‎7. 设.若是与的等比中项，则的最小值为 A． B． C. D．‎ ‎8. 已知双曲线，双曲线的左、右焦点分别为、,双曲线、的离心率相同.若是双曲线一条渐近线上的点，且 ‎ ‎(为原点)，若，则双曲线的方程为 A． B． C. D．‎ 第Ⅱ卷 注意事项：1.将答案写在答题卡上 2.本卷共12小题，共110分 二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.‎ ‎9. 命题:. 则为 ．‎ ‎10. 已知双曲线的对称轴为坐标轴，一条渐近线为，则双曲线的离心率为 _．‎ ‎11. 已知等比数列中，，则_________.‎ ‎12. 以下五个命题中：‎ ‎①若，则的取值范围是；‎ ‎②不等式，对一切x恒成立，则实数的取值范围为；‎ ‎③若椭圆的两焦点为、，且弦过点，则的周长为16；‎ ‎④若常数，，，成等差数列，则，，成等比数列；‎ ⑤数列的前项和为=+2－1，则这个数列一定是等差数列.‎ 所有正确命题的序号是 .‎ ‎13.《张丘建算经》卷上第题中 “女子织布”问题:某女子善于织布,一天比一天织得快,‎ ‎ ‎ 而且每天增加的数量相同.已知第一天织布尺,天共织布尺,则该女子织布每天增加 ‎ 尺.[‎ ‎14. 已知椭圆与双曲线有相同的焦点和,若是、的等比中项,是与的等差中项,则椭圆的离心率是 .‎ 三、解答题：本大题共6个小题，共80分. 解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程.‎ ‎ 15.（本小题满分13分）‎ 已知递增的等比数列满足且是的等差中项．‎ ‎（I）求数列的通项公式；‎ ‎（II）若是数列的前项和，求的值．‎ ‎.‎ ‎16.（本小题满分13分）‎ 求关于的不等式：的解集.‎ ‎ ‎ ‎17.（本小题满分13分） ‎ 已知抛物线的顶点在原点，对称轴为坐标轴，它与双曲线：‎ 交于点，抛物线的准线过双曲线的左焦点. ‎ ‎（I）求抛物线与双曲线的标准方程；‎ ‎（II）若斜率为的直线过点且与抛物线只有一个公共点，求直线的方程.‎ ‎18.（本小题满分13分）‎ 在如图所示的几何体中，四边形是菱形，是矩形，平面平面.，， 且点为的中点．‎ ‎（I） 求证:∥平面；‎ ‎（II） 求与平面所成角的正弦值；‎ ‎（III） 在线段上是否存在点，使二面角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．‎ ‎19.（本小题满分14分）‎ 已知数列的前项和为，，，数列中，，满足 ‎. ‎ ‎（I） 求出，的通项公式；‎ ‎（II）设，数列的前项和为，求使得时，对所有的 恒成立的最大正整数值.‎ ‎ 20.（本小题满分14分）‎ 已知椭圆的一个焦点是，且离心率为.‎ ‎（I） 求椭圆的方程； ‎ ‎（Ⅱ）设经过点的直线交椭圆于两点，线段的垂直平分线交轴于点，求的取值范围.‎ 数学试卷答案 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. ‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 答案 D B C B A C ‎ A D 二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.‎ ‎9. 10. 或 （只对一个给3分）‎ ‎11. 12.④ 13. 14. ‎ 三、解答题： ‎ ‎ 15.解： （Ⅰ）‎ ‎ （1）……………………………………….1分 又是的等差中项 ‎ ……………………………………………………2分 即：（2）‎ ‎（1）（2）得 解得：或者………………………………………………………..5分 等比数列递增，所以………………………………………6分 由得…………………………………………………………7分 数列{an}的通项公式为…………………………………8分 ‎ =…………………………………………9分 ‎（Ⅱ）==……………………………………..10分 ‎…………………………………………………..11分 ‎ = =230 ……………………………… 13分 ‎16．解：当时，不等式的解为……………………………2分 当时，分解因式……………………….3分 的根为……………………………..4分 ‎ 当时，不等式的解为或；……………………………6分 ‎ 当时，1＜，不等式的解为1＜x＜；……………………………8分 ‎ 当时，＜1，不等式的解为＜x＜1；………………………………10分 ‎ 当时，原不等式为 不等式的解为 …………………12分 。‎ 综上：当时，不等式的解集为；‎ ‎ 当时，不等式的解集为；‎ ‎ 当时，不等式的解集为；‎ ‎ 当时，不等式的解集为；‎ ‎ 当时，不等式的解集为 …………………………………….13分 ‎17. ‎ 解法1：抛物线的准线过双曲线的左焦点.‎ 抛物线的焦点在轴的正半轴 设抛物线的方程为：………………2分 点在抛物线上 ‎ ……………………………………………….3分 抛物线方程为： …………………………4分 抛物线的准线为 抛物线的准线过双曲线的左焦点 双曲线的焦点为,………………………….5分 ‎…………………………………………….6分 ‎ =‎ 解得：……………………………………………………..7分 ‎……………………………..8分 双曲线方程为：……………………………………9分 解法2：抛物线的准线过双曲线的左焦点.‎ 抛物线的焦点在轴的正半轴 设抛物线的方程为：………………2分 点在抛物线上 ‎ ………………………………………………3分 抛物线方程为： …………………………4分 抛物线的准线为 抛物线的准线过双曲线的左焦点 双曲线的焦点为,………………………….5分 由…………………………………6分 或（舍）…………………………….7分 ‎…………………………….8分 双曲线方程为：……………………………………9分 ‎（Ⅱ）‎ 设直线方程为： 则过点的直线方程为，……………………10分 ‎       由方程组消去得．‎ ‎       时，解得即直线与抛物线的对称轴平行，‎ 只有一个公共点；………………………………………………………..11分 ‎       当时，直线与抛物线只有一个公共点，则，‎ ‎       ， 直线方程为．……………………………………..12分 ‎       综上所述，所求直线方程为，或．……………………..13分 ‎18.‎ ‎（Ⅰ）设与交于，连接 由已知可得四边形是平行四边形，所以是的中点．‎ 因为是的中点，所以∥………1分 又平面， ………2分 平面，………… 3分 所以∥平面 ‎（Ⅱ）是矩形，平面平面，平面平面 ‎ 平面………4分 如图建立空间直角坐标系，‎ 则，,,,,……..5分（错一个就不给分）‎ 设平面的法向量为 ‎………6分 ‎ ………7分 ‎………8分 与平面所成角的正弦值………9分 ‎（Ⅲ）设，,‎ 设平面的法向量为 则， 令， ………10分 又平面的法向量 ‎………11分 解得， ………12分 ‎ 在线段上不存在点，使二面角的大小为．………13分 ‎19.解： ‎ ‎（Ⅰ）当时，得， ……1分 当时，由 两式相减得 即………………………3分 于是数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，‎ 即 ‎∴数列{an}的通项公式为……………………………4分 ‎ ‎ 由累积法得：‎ ‎ ……………………………6分 ‎………………………………………7分 ‎（Ⅱ）‎ Tn＝1＋2×2＋3×22＋…＋n×2n－1，①‎ ‎2Tn＝ 1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n.②‎ ‎①－②得 ‎－Tn＝1＋2＋22＋…＋2n－1－n·2n …………..8分 ‎＝2n－1－n·2n……….10分 Tn＝1＋(n－1)·2n………………………...11分 又因为, 恒成立 所以Tn＝1＋(n－1)·2n……………………………………………….12分 时，对所有的恒成立 化简得：，解得 的最大整数值为………………………………………………14分 ‎20.（Ⅰ）解：设椭圆的半焦距是.依题意，得 . ……………1分 ‎ 因为椭圆的离心率为，‎ 所以 ，…………………………2分 ‎. ………………3分 故椭圆的方程为 . ………………4分 ‎（Ⅱ）解：当轴时，显然. ………………5分 当与轴不垂直时，可设直线的方程为.‎ 由 消去整理得 ‎ ‎. …………7分 设，线段的中点为.‎ 则 . …………8分 所以 ，.‎ 线段的垂直平分线方程为.‎ 在上述方程中令，得. …………10分 当时，； ‎ ‎ 当时，.‎ 所以，或. ……………13分 综上，的取值范围是. ……………14分