2021高考数学一轮复习专练45空间向量的应用含解析理新人教版

2021高考数学一轮复习专练45空间向量的应用含解析理新人教版

专练45　空间向量的应用 命题范围：利用向量解决角和距离问题 ‎[基础强化]‎ 一、选择题 ‎1．若两不重合直线l1和l2的方向向量分别为V1＝(1,0，－1)，V2＝(－3,0,3)，则l1和l2的位置关系是(　　)‎ A．平行　　　　　　　　B．相交 C．垂直 D．不确定 ‎2．若a＝(2，－2，－2)，b＝(2,0,4)，则a与b的夹角的余弦值为(　　)‎ A. B. C．－ D．0‎ ‎3．若直线l的一个方向向量a＝(2,2，－2)，平面α的一个法向量b＝(1,1，－1)，则(　　)‎ A．l⊥α B．l∥α C．l⊂α D．A，C都有可能 ‎4．已知＝(1,2,2)，＝(3,5,4)，则平面ABC的单位法向量为(　　)‎ A. B. C. D. ‎5．若平面α，β的法向量分别为m＝(2，－3,5)，n＝(－3,1，－4)，则(　　)‎ A．α∥β B．α⊥β C．α，β相交，但不垂直 D．以上均不正确 ‎6.‎ 如图所示，已知PA⊥平面ABC，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝6，则PC＝(　　)‎ A．6 B．6‎ C．12 D．144‎ ‎7.‎ 如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC－A1B‎1C1，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与AB1夹角的余弦值为(　　)‎ A. B. C. D. ‎8．在直三棱柱ABC－A1B‎1C1中，AB＝1，AC＝2，BC＝，D，E分别是AC1和BB1的中点，则直线DE与平面BB‎1C1C所成的角为(　　)‎ A．30° B．45°‎ C．60° D．90°‎ ‎9．过正方形ABCD的顶点A作线段PA⊥面ABCD，若AB＝PA，则平面ADP与平面CDP所成的二面角为(　　)‎ A．30° B．45°‎ C．60° D．90°‎ 二、填空题 ‎10．已知四边形ABCD为平行四边形，且A(4,1,3)，B(2，－5,1)，C(3,7，－5)，则顶点D的坐标为________．‎ ‎11．已知空间三点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)，则以，为邻边的平行四边形的面积为________．‎ ‎12．设正方体ABCD－A1B‎1C1D1的棱长为2，则D1点到平面A1BD的距离为________．‎ ‎[能力提升]‎ ‎13．[2020·长沙一中高三测试]‎ 如图所示，在正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A‎1M＝AN＝，则MN与平面BB‎1C1C的位置关系是(　　)‎ A．斜交 B．平行 C．垂直 D．MN在平面BB‎1C1C内 ‎14．直三棱柱ABC－A1B‎1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于(　　)‎ A．30° B．45°‎ C．60° D．90°‎ ‎15．若平面α的一个法向量n＝(2,1,1)，直线l的一个方向向量为a＝(1,2,3)，则α与l所成角的正弦值为________．‎ ‎16.‎ 如图所示，四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD，已知∠ABC＝45°，BC＝2，AB＝2，SA＝SB＝.求直线SD与平面SAB所成角的正弦值为________．‎ 专练45　空间向量的应用 ‎1．A　∵V1＝－V2，∴l1∥l2.‎ ‎2．C　∵|a|＝＝2，|b|＝＝2，‎ a·b＝2×2＋(－2)×0＋(－2)×4＝－4，‎ ‎∴cos〈a，b〉＝＝＝－.‎ ‎3．A　∵a＝2b，∴a与b共线，∴l⊥α.‎ ‎4．B　设平面ABC的法向量为m＝(x，y，z)，‎ 由题意得： 令x＝1，得∴m＝，‎ ‎∴其单位法向量为＝.‎ ‎5．C　∵m与n不共线，且m·n＝－6－3－20≠0，‎ ‎∴α与β相交但不垂直．‎ ‎6．C　∵AB＝BC＝6，∠ABC＝120°，∴AC＝6，‎ 建立如图所示的空间直角坐标系，其中O为AC的中点，‎ 则P(0，－3，6)，C(0，3，0)‎ ‎∴|PC|＝ ‎＝12.‎ ‎7．A　设BC＝1，则B(0,0,1)，C1(0,2,0)，A(2,0,0)，B1(0，2,1)‎ ＝(0,2，－1)，＝(－2,2,1)‎ ·＝0×(－2)＋2×2＋(－1)×1＝3.‎ ‎||＝，||＝3，‎ ‎∴cos〈，〉＝＝＝.‎ ‎8．A　‎ ‎∵AB＝1，AC＝2，BC＝，∴AB2＋BC2＝AC2，‎ ‎∴AB⊥BC，‎ 建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 则A(1,0,0)，C1(0，，h)，B1(0,0，h)，B(0,0,0)‎ ‎∴D，E.‎ ‎∴＝，显然面BB‎1C1C的法向量为m＝(1,0,0)，‎ ‎∴与平面BB‎1C1C所成角α满足 sinα＝＝＝，‎ 又α∈，‎ ‎∴α＝30°.‎ ‎9．D　建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 设AB＝1，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，D(0,1,0)，C(1,1,0)，P(0,0,1)，‎ 显然面ADP的法向量m＝(1,0,0)，‎ 设平面CDP的法向量n＝(x，y，z)，‎ ＝(－1,0,0)，＝(－1，－1,1)，‎ ‎∴令y＝1，则z＝1，‎ ‎∴n＝(0,1,1)，‎ m·n＝1×0＋0×1＋0×1＝0，∴m⊥n，‎ ‎∴平面ADP与平面CDP所成的角为90°.‎ ‎10．(5,13，－3)‎ 解析：设D(x，y，z)，由题意得＝，‎ ‎∴(x－4，y－1，z－3)＝(1,12，－6)‎ ‎∴∴D(5,13，－3)．‎ ‎11．7 解析：＝(－2，－1,3)，＝(1，－3,2)，‎ ‎∴·＝－2＋3＋6＝7，||＝，||＝.‎ 又cos〈，〉＝＝＝，‎ ‎∴sin〈，〉＝，‎ ‎∴平行四边形的面积S＝||×||×sin〈，〉＝7.‎ ‎12. 解析：建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 则D1(0,0,2)，A1(2,0,2)，D(0,0,0)，B(2,2,0)，‎ ‎∴＝(2,0,0)，＝(2,0,2)，＝(2,2,0)．‎ 设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，‎ 则 令x＝1，则n＝(1，－1，－1)，‎ ‎∴点D1到平面A1BD的距离是 d＝＝＝.‎ ‎13．B　建立如图所示的空间直角坐标系，由于A‎1M＝AN＝，‎ 则M，N，‎ ＝.又C1D1⊥平面BB‎1C1C，所以＝(0，a,0)为平面BB‎1C1C的一个法向量．因为·＝0，所以⊥，所以MN∥平面BB‎1C1C.‎ ‎14．C　‎ 如图所示，以A1为坐标原点，A1B1所在直线为x轴，A1B1为单位长度，A‎1C1所在直线为y轴，A‎1A所在直线为z轴，建立空间直角坐标系A1－xyz.则可得A1(0,0,0)，B1(1,0,0，)，C1(0,1,0)，A(0,0,1)，B(1,0,1)．所以＝(1,0,1)，＝(0,1，－1)．‎ 则|cos〈，〉|＝＝＝.‎ 所以异面直线BA1与AC1所成角为60°.故选C.‎ ‎15. 解析：设直线l与平面α所成的角为θ，‎ 则sinθ＝＝＝.‎ ‎16. 解析：‎ 如图所示，作SO⊥BC，垂足为O，连接AO，由侧面SBC⊥底面ABCD，得SO⊥底面ABCD.‎ 由SA＝SB，可得OA＝OB.又由∠ABC＝45°，得△ABO为等腰直角三角形，OA⊥OB.建立如图所示空间直角坐标系O－xyz，则A(，0,0)，B(0，，0)，C(0，－，0)，S(0,0,1)，D(，－2，0)，＝(－，2，1)，＝(，0，－1)，＝(0，，－1)．‎ 设平面SAB的法向量为n＝(x1，y1，z1)，‎ 由得 令z1＝，得n＝(1,1，)．‎ 设直线SD与平面SAB所成角为θ，‎ 则sinθ＝|cos〈，n〉|＝＝＝.‎ 所以直线SD与平面SAB所成角的正弦值为.‎