2019-2020学年吉林省吉林市高一上学期期末数学试题（解析版）

2019-2020学年吉林省吉林市高一上学期期末数学试题（解析版）

‎2019-2020学年吉林省吉林市高一上学期期末数学试题 一、单选题 ‎1．已知全集，集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据题意求出，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 全集，集合，‎ ‎.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 此题考查集合的补集和交集运算，属于简单题目，注意集合中的元素不能漏掉.‎ ‎2．函数的定义域是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据题意解不等式即可.‎ ‎【详解】‎ 由题：，‎ ‎，‎ 所以.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 此题考查求已知函数定义域，关键在于准确求解不等式.‎ ‎3．过点和点的直线的斜率为（ ）‎ A．-2 B． C． D．2‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据两点确定的直线的斜率公式即可求解.‎ ‎【详解】‎ 根据斜率公式可得：‎ 过点和点的直线的斜率.‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 此题考查根据两点求直线的斜率，根据公式准确求解即可.‎ ‎4．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，给出下列条件，能得到的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：A．，或，或与相交，故A不成立；‎ B：由，知或，从而不成立，故B不成立；‎ C：，或，或与相交，故C不成立；‎ D：，故D成立；故选D．‎ ‎【考点】空间直线与平面的位置关系 ‎5．若直线与直线平行，则实数k的值为（ ）‎ A．-2 B． C． D．2‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据两条直线平行关系利用公式求解参数.‎ ‎【详解】‎ 由题：直线与直线平行，必有两条直线斜率相等，‎ 所以，此时直线与直线平行.‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 此题考查根据两条直线平行求参数的取值，根据斜率关系即可求解，注意考虑可能会出现直线重合的情况.‎ ‎6．某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为，那么该几何体的俯视图是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据四个柱体的体积为分析出俯视图面积为，分别判断即可.‎ ‎【详解】‎ 根据题意某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，‎ 且体积为，即俯视图面积为，‎ A选项底面积为1，正方体体积为1；‎ B选项底面积为，圆柱体积为；‎ C选项底面积为，直三棱柱体积为；‎ D选项，设图中等腰直角三角形直角边长，‎ 底面面积：，柱体体积不为.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 此题考查根据三视图结合体积关系识别俯视图，关键在于准确找出底面图形特征.‎ ‎7．若x2+y2–x+y–m=0表示一个圆的方程，则m的取值范围是 A． B．‎ C． D．m>–2‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据圆的一般方程中表示一个圆的条件是D2+E2﹣4F＞0，求出m的取值范围．‎ ‎【详解】‎ 当x2+y2–x+y–m=0表示一个圆的方程时，（–1）2+12–4×（–m）>0，解得m>–.‎ 故选A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查圆的一般方程表示圆的限制条件.‎ ‎8．如图，在长方体中，，，则异面直线与所成角为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】连接，异面直线与所成角为或其补角，解三角形即可得解.‎ ‎【详解】‎ 根据长方体性质，连接，，，‎ 异面直线与所成角为或其补角，‎ 平面，平面，‎ ‎，中，，‎ 所以.‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 此题考查求异面直线所成角，通过平行线关系转化为解三角形问题.‎ ‎9．某食品加工厂2018年获利20万元，经调整食品结构，开发新产品.计划从2019年开始每年比上一年获利增加20%，问从哪一年开始这家加工厂年获利超过60万元（已知，）.（ ）‎ A．2023年 B．2024年 C．2025年 D．2026年 ‎【答案】C ‎【解析】列出函数关系，设第n年获利y元，则，解不等式即可得解.‎ ‎【详解】‎ 设第n年获利y元，则，2019年即第1年，‎ ‎，，‎ 所以，‎ 即从2025年开始这家加工厂年获利超过60万元.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 此题考查函数模型的应用，涉及解指数不等式，转化为对数进行计算，利用换底公式计算化简.‎ ‎10．如图所示，直线PA垂直于⊙O所在的平面，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，点M为线段PB的中点．现有结论：①BC⊥PC；②OM∥平面APC；③点B到平面PAC的距离等于线段BC的长．其中正确的是(　　)‎ A．①② B．①②③ C．① D．②③‎ ‎【答案】B ‎【解析】对于①，∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.‎ ‎∵AB为⊙O的直径，∴BC⊥AC，‎ 又∵PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，‎ 又PC⊂平面PAC，∴BC⊥PC，对于②，∵点M为线段PB的中点，∴OM∥PA，‎ ‎∵PA⊂平面PAC，OM⊄平面PAC，‎ ‎∴OM∥平面PAC，对于③，由①知BC⊥平面PAC，‎ ‎∴线段BC的长即是点B到平面PAC的距离，故①②③都正确．‎ ‎11．已知圆C的方程为，若圆C上恰有3个点到直线l的距离为1，则l的方程可能是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】将问题转化为圆心到直线的距离问题求解.‎ ‎【详解】‎ 圆C的方程为，‎ 其标准方程为，圆心，半径，‎ 若圆C上恰有3个点到直线l的距离为1，‎ 则圆心到直线的距离为1，‎ A. ，圆心到直线的距离，符合题意；‎ B. ，圆心到直线的距离，不合题意；‎ C. ，圆心到直线的距离，不合题意；‎ D. ，圆心到直线的距离，不合题意.‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 此题考查直线与圆的位置关系的辨析，关键在于将题目条件到直线距离为1的点有三个，转化为圆心到直线的距离.‎ ‎12．已知表示不超过x的最大整数，如：，，，为取整函数，是函数的零点，则等于（ ）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据函数在单调递增，结合根的存在性定理得出，即可得解.‎ ‎【详解】‎ 在单调递增，‎ ‎，‎ 所以，‎ 所以.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 此题考查函数零点问题和函数的新定义问题，关键在于根据根的存在性定理准确判定零点所在的区间.‎ 二、填空题 ‎13．如图，正方体的所有棱中，其所在的直线与直线成异面直线的共有________条.‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】根据几何体依次写出与直线成异面的直线即可得解.‎ ‎【详解】‎ 正方体的所有棱中，其所在的直线与直线成异面直线如下：‎ ‎，一共6条.‎ 故答案为：6‎ ‎【点睛】‎ 此题考查异面直线的辨析，关键在于根据几何体特征准确找出与直线成异面的直线.‎ ‎14．已知，则________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据分段函数关系依次求出，再求即可得解.‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ 则.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 此题考查分段函数求值，关键在于准确识别分段区间，正确求值.‎ ‎15．设直线与圆相交于A，B两点，若，则________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】求出圆心到直线的距离，根据圆的弦长公式解方程，即可得解.‎ ‎【详解】‎ 直线，即，‎ 圆的标准方程为，‎ 圆心，半径，‎ 相交于A，B两点，，‎ 圆心到直线的距离，‎ 根据圆的弦长公式可得：，‎ 即，，‎ 解得.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 此题考查根据直线与圆形成的弦长，求解参数的值，关键在于熟练掌握弦长公式，结合圆心到直线的距离，准确求解.‎ ‎16．给出下列结论：‎ ‎①若集合，，则；‎ ‎②函数的图象关于原点对称；‎ ‎③函数在其定义域上是单调递减函数；‎ ‎④若函数在区间上有意义，且，则在区间上有唯一的零点.‎ 其中正确的是________.（只填序号）‎ ‎【答案】②‎ ‎【解析】①，②函数是奇函数，图象关于原点对称，③不能说在定义域单调递减，④考虑函数即可.‎ ‎【详解】‎ ‎①若集合，，则，原说法不正确；‎ ‎②函数，，是定义在R上的奇函数，所以图象关于原点对称，原说法正确；‎ ‎③函数在分别递减，不能说在其定义域上是单调递减函数，所以原说法不正确；‎ ‎④若函数在区间上有意义，且，‎ 考虑函数，在区间上零点不唯一，所以原说法不正确.‎ 故答案为：②‎ ‎【点睛】‎ 此题考查集合与函数相关概念和性质的辨析，需要熟练掌握常见概念和性质及定理.‎ ‎17．若三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，平面ABC，，，且三棱锥的体积为，则球O的体积为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 根据几何体特征补图成长方体，长方体的体对角线就是该锥体外接球的直径，即可求得体积.‎ ‎【详解】‎ 平面ABC，，，且三棱锥的体积为，‎ 即，解得，‎ 由题可得两两互相垂直，‎ 对几何体补图成如图所示的长方体，不共面的四点确定一个球，‎ 所以长方体与三棱锥有同一个外接球，球的直径为长方体体对角线长，‎ 即，‎ 所以外接球半径为，‎ 体积.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 此题考查求三棱锥外接球的体积，关键在于准确求出外接球的半径，解决此类问题，多做积累，特殊几何体常见的处理办法.‎ 三、解答题 ‎18．若圆C经过点和，且圆心C在直线上，求圆C的方程.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】【详解】‎ 因为,AB中点为(0，－4)，所以AB中垂线方程为y+4=－2x，即2x+y+4=0，解方程组得 所以圆心C为(－1，－2).根据两点间的距离公式，得半径r=,‎ 因此，所求的圆C的方程为.‎ ‎19．已知直线的方程为 ‎（Ⅰ）若直线与平行，且过点，求直线的方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线与垂直，且与两坐标轴围成的三角形面积为4，求直线的方程.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）‎ ‎【解析】试题分析：（1）由于两直线平行，可设直线方程为，将点代入，可求得直线的方程；（2）由于两直线垂直，故设直线方程为，然后求出横截距和纵截距，利用所围成三角形面积建立方程，求出的值.‎ 试题解析：（Ⅰ）由直线与平行，可设的方程为.‎ 将带入，得，解得，‎ 直线的方程为 ‎（Ⅱ）由直线与垂直，可设的方程为，‎ 令，得，令，得，‎ 故三角形面积，‎ 化简得，即，‎ 直线的方程是.‎ ‎20．某工厂生产一种产品，根据预测可知，该产品的产量平稳增长，记2015年为第1年，第x年与年产量（万件）之间的关系如下表所示：‎ x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎4.00‎ ‎5.52‎ ‎7.00‎ ‎8.49‎ 现有三种函数模型：，，‎ ‎（1）找出你认为最适合的函数模型，并说明理由，然后选取这两年的数据求出相应的函数解析式；‎ ‎（2）因受市场环境的影响，2020年的年产量估计要比预计减少30%，试根据所建立的函数模型，估计2020年的年产量.‎ ‎【答案】（1）模型为较好，理由见解析，相应的函数为（2）8.05万件 ‎【解析】（1）根据单调性排除，检验，发现数据差距比较大，选择数据差距较小；‎ ‎（2）根据（1）计算出的模型方程计算即可得解.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）符合条件的函数模型是 若模型为，‎ 由已知得，∴，，‎ ‎∴‎ 所以，，与已知差距较大；‎ 若模型为，为减函数，与已知不符；‎ 若模型为，由，‎ ‎∴，，‎ ‎∴，所以，，与已知符合较好.‎ 所以相应的函数为 ‎（2）2020年预计年产量为 ‎，所以2020年产量应为8.05万件 ‎【点睛】‎ 此题考查函数模型的应用，根据拟合效果决策选择的函数模型，并利用模型进行预测.‎ ‎21．如图，已知矩形中，，，将矩形沿对角线把折起，使移到点，且在平面上的射影恰在上，即平面.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求证：平面平面；‎ ‎（3）求点到平面的距离.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）‎ ‎【解析】（1）先证明平面，然后可得；‎ ‎（2）先证明平面，然后可得平面平面；‎ ‎（3）利用等体积法可得点到平面的距离.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）∵平面，平面，‎ ‎∴.‎ 又∵，，‎ ‎∴平面，‎ ‎∵平面，‎ ‎∴.‎ ‎（2）∵，，，‎ ‎∴平面，‎ 又∵平面，‎ ‎∴平面平面.‎ ‎（3）设到平面的距离为，‎ ‎∵，∴，‎ 在中，，，∴，∴.‎ 又∵，∴.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查空间位置关系的证明和空间距离的求解，平面与平面垂直一般是先证明直线和平面垂直，点到平面的距离一般是利用等体积法来求解，侧重考查直观想象和逻辑推理的核心素养.‎ ‎22．已知函数在区间上有最小值1，最大值9.‎ ‎（1）求实数a，b的值；‎ ‎（2）设，若不等式在区间上恒成立，求实数k的取值范围；‎ ‎（3）设），若函数有三个零点，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1），（2）（3）‎ ‎【解析】（1）在区间上为单调递减，解方程组即可得解；‎ ‎（2）换元令，不等式化为，分离参数即可求解；‎ ‎（3）换元，结合图象讨论的根的情况．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）因为函数对称轴为，，‎ 所以在区间上为单调递减 所以，，‎ 解得：，‎ ‎（2）‎ 令，∴‎ 不等式化为 即在上恒成立 因为，所以 所以 ‎（3）函数有三个零点 则方程有三个不同根 设其图象如下图 由题意，关于m的方程：‎ 即有两根，且这两根有三种情况：‎ 一根为0，一根在内；或一根为1，一根在内：或一根大于1，一根在内 若一根为0，一根在内：‎ 把代入中，得，‎ 此时方程为，得，，不合愿意；‎ 若一根为1，一根在内：‎ 把代入中，得，‎ 此时方程为，得，不合题意；‎ 若一根大于1，一根在内：‎ 设，由题意得 ‎，∴‎ 综上得：‎ ‎【点睛】‎ 此题考查函数的综合应用，利用单调性结合值域求参数值，利用换元法处理不等式恒成立求参数范围，解决复合函数零点问题，综合性强．‎