辽宁省实验中学2020届高三数学（理）下学期最后一模试题（Word版附答案）

辽宁省实验中学2020届高三数学（理）下学期最后一模试题（Word版附答案）

辽宁省实验中学2020届高三下学期第下学期五次模拟考试 数学理科试卷 ‎ ‎ 第Ⅰ卷(选择题 共60分)‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎2. 若复数（是虚数单位），则在复平面内，的共轭复数对应的点在第（ ）象限。‎ A．一 B．二 C．三 D． 四 ‎3. 已知为正数，则“”是“ ”的 （ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要 ‎4.数学家莱布尼茨(1646—1716)发明了对现代计算机系统有着重要意义的二进制，不过他认为在此之前，中国的《易经》中已经提到了有关二进制的初步思想。在二进制中，只需用到两个数字0和1就可以表示所有的自然数，例如二进制中的数11，转化为十进制的数为3，记作，则二进制中的转化为十进制的数为（ ）‎ A．1023 B．1024 C．2047 D． 2048‎ ‎5. 已知实数满足，则的最大值为（ ）‎ A．-7 B．-6 C．1 D． 6‎ ‎6. 如图所示是某多面体的三视图，左上为主视图，右上为左视图，左下为俯视图，且图中小方格单位长度为1，则该多面体的体积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7. 如图的框图中，若输入，则输出的的值为（ ）‎ ‎ ‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ ‎8. 的展开式中的常数项为14，则正整数的值为（ ）‎ 数学科试卷(理) 共8页 第8页 A．4 B．5 C．6 D．7‎ ‎9. 在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入由曲线（曲线为正态分布的概率密度曲线）与直线，，及所围成的封闭区域内的点的个数的估计值为（ ）‎ ‎(附：若，则，，‎ A．2718 B．1359 ‎ C．430 D． 215‎ ‎10. 已知函数（，，）的图象与轴交于点，在轴右边到轴最近的最高坐标为，则不等式的解集是（ ）‎ A．， B．，‎ C．， D．，‎ ‎11. 己知函数的最小值为，最大值为，若，则数列是（ ）‎ A．公差不为零的等差数列 B．公比不为1的等比数列 ‎ C．常数列 D．以上都不对 ‎12. 已知函数，若对于任意的，以为长度的线段都可以围成三角形，则的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ 第Ⅱ卷(非选择题 满分90分)‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填写在答题纸相应位置上。‎ ‎13. 已知向量，向量，则______.‎ ‎14. 若圆与两条直线和都有公共点，则 数学科试卷(理) 共8页 第8页 的范围是______.‎ ‎15. 已知抛物线：上有一动点，则动点到点两定点距离之差的取值范围为______.‎ ‎16. 已知为空间中的一条直线，为空间中的一个平面，且，垂足为点。等腰直角三角形中，，，若，则的最大值为_________.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。‎ ‎17.(本小题满分12分)如图所示，圆锥的底面半径为1，其侧面积是底面积的2倍，线段为圆锥底面的直径，在底面内以线段为直径作，点为上异于点的动点。‎ ‎（1）证明：平面平面；‎ ‎（2）当三棱锥的体积最大时，求二面角的余弦值。‎ ‎18.(本小题满分12分) 已知中，分别为角的对边，且 ‎（1）求角；‎ ‎（2）若，求的最大值。‎ ‎19.(本小题满分12分)在平面直角坐标系中有定点，，动点满足，‎ ‎（1）求动点的轨迹的方程；‎ ‎（2）过定点且不经过点的直线与曲线交于两点，直线与曲线交于点，直线与曲线交于点。请问直线的斜率是否为定值？若是，求此定值；若不是，请证明你的结论。‎ ‎20.(本小题满分12分) 疫情期间，为支持学校隔离用餐的安排，保证同学们的用餐安全，食堂为同学们提供了A餐、B餐两种餐盒。经过前期调研，食堂每天备餐时A、B两种餐盒的配餐比例为3：1。为保证配餐的分量足，后勤会对每天的餐盒的重量进行抽查。若每天抽查5个餐盒，假定每个餐盒的包装没有区分，被抽查的可能性相同，‎ 数学科试卷(理) 共8页 第8页 ‎（1）求抽取的5个餐盒中有三个B餐的概率；‎ ‎（2）某天配餐后，食堂管理人员怀疑B餐配菜有误，需要从所有的餐盒中挑出一个B餐盒查看。如果抽出一个是A餐盒，则放回备餐区，继续抽取下一个；如果抽到的是B餐盒，则抽样结束。规定抽取次数不超过次。假定食堂备餐总数很大，抽样不影响备餐总量中A、B餐盒的比例。若抽样结束时抽到的A餐盒数以随机变量X表示，求X的分布列与数学期望。‎ ‎21.(本小题满分12分) 已知函数，、‎ ‎（1）讨论函数的单调区间；‎ ‎（2）若对于任意的，不等式，恒成立，求的范围。‎ 请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.(本小题满分10分)已知曲线的极坐标方程为，直线：，直线：．以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系．‎ ‎（1）求直线，的直角坐标方程以及曲线的参数方程；‎ ‎（2）已知直线与曲线交于，两点，直线与曲线C交于，两点，求的面积．‎ ‎23.(本小题满分10分)设函数．‎ ‎（1）设的解集为，求集合；‎ ‎（2）已知为（1）中集合中的最大整数，且（其中，，为正实数），‎ 求证：．‎ 数学科试卷(理) 共8页 第8页 辽宁省实验中学2020届高三下学期第下学期五次模拟考试 数学理科试卷答案 一、选择题：BDCABA CBDDCC 二、填空题：13. ； 14. ； 15. ； 16. ‎ 三、解答题：‎ ‎17. 解：（1）证明：∵垂直于圆锥的底面，∴，又∵为的直径，∴，∴平面，∴平面平面。‎ ‎（2）设圆锥的母线长为，底面半径，∴圆锥的侧面积为，底面积为，∴依题意，∴。不妨取，，∴在中，，∴。如图所示，在底面做的半径，使得，又∵垂直于圆锥的底面，∴，故可建立空间直角坐标系，其中各点坐标为。在三棱锥中，∵，∴面积最大时三棱锥的体积最大，此时，又∵的半径为1，∴此时点坐标为。∴在空间直角坐标系中，，取平面的法向量为，则，，∴不妨取。取平面的法向量为，则，，∴不妨取，∴取二面角的平面角为，则 又∵为钝角，∴二面角的余弦值为。‎ ‎18. 解：（1）由正弦定理得，∴‎ 数学科试卷(理) 共8页 第8页 ‎，‎ ‎∴，∴，∴。‎ ‎（2）取的外接圆半径为，∵，∴，∴，‎ 当时，为最大值。‎ ‎19. 解：（1）设点的坐标为，∵，，‎ ‎∴依题意，整理得。‎ ‎（2）依题意直线不与坐标轴垂直，故可取其方程为，代入可得 ‎，其判别式为，∴或，‎ 取为与的交点，∴‎ ‎∵都在曲线上，∴可设其坐标为。∵直线过点，∴可设其方程为，代入得，∴，∴，∴点的坐标为，同理点的坐标为，∴直线的斜率为定值。‎ ‎20. 解：（1）依题意，随机地抽取一个餐盒得到B餐盒的概率为，用表示“抽取的5个餐盒中B餐盒的个数”，则服从二项分布，即，∴其中有三个B餐盒的概率.‎ ‎（2）的可能取值为：0，1，2，…，.‎ ‎，，……，，‎ 数学科试卷(理) 共8页 第8页 ‎.‎ 所以的分布列为 的数学期望为：①‎ ‎②‎ ‎①-②得 ‎.‎ 即的数学期望为.‎ ‎21.解：（1）∵，定义域为 若，则成立，∴在区间单调递增；‎ 若，则在区间单调递减，在区间单调递增。‎ ‎（2）原命题可化为，恒成立。取，‎ ‎∴，∴。‎ 若，即，∴存在使得，，所以在单调递减，‎ 又∵，所以，∴在单调递减，又∵，∴，不合题意，∴‎ 若，则成立，若，可知在单调递增，∴，。∴时，，，∴在单调递增，‎ 数学科试卷(理) 共8页 第8页 ‎∴，，∴在单调递增，∴，。‎ 综上，的范围为。‎ ‎22. 解：（1）依题意，直线的直角坐标方程为，的直角坐标方程为，‎ 由，得，，，，‎ ‎，即，∴曲线的参数方程为（为参数）.‎ ‎（2）由，得，‎ 由，得，又∵‎ 所以的面积．‎ ‎23.解：（1）即 当时，不等式化为，∴；‎ 当时，不等式化为，不等式恒成立；‎ 当时，不等式化为，∴.‎ 综上，集合 ‎（2）由（1）知，∴.∴，同理，‎ ‎∴，即.‎ 数学科试卷(理) 共8页 第8页