2016届高考数学（理）5年高考真题备考试题库：第3章 第5节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式

2016届高考数学（理）5年高考真题备考试题库：第3章 第5节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式

‎2010~2014年高考真题备选题库 第3章 三角函数、解三角形 第5节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 ‎1．(2014·课标Ⅱ，14,5分)函数f(x)＝sin(x＋2φ)－2sin φcos(x＋φ)的最大值为________．‎ 解析：f(x)＝sin[(x＋φ)＋φ]－2sin φcos(x＋φ)＝sin(x＋φ)cos φ－cos(x＋φ)sin φ＝sin(x＋φ－φ)＝sin x，因为x∈R，所以f(x)的最大值为1.‎ 答案：1‎ ‎2．(2014·江苏，15,14分)已知α∈，sin α＝.‎ ‎(1)求sin的值；‎ ‎(2)求cos的值．‎ 解析：(1)因为α∈，sin α＝，‎ 所以cos α＝－＝－.‎ 故sin＝sin cos α＋cos sin α ‎＝×＋× ‎＝－.‎ ‎(2)由(1)知sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝－，‎ cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×2＝，‎ 所以cos＝coscos 2α＋sinsin 2α ‎＝×＋× ‎＝－.‎ ‎3．(2014·四川，16,12分)已知函数f(x)＝sin.‎ ‎(1)求f(x)的单调递增区间；‎ ‎(2)若α是第二象限角，f＝coscos 2α，求cos α－sin α的值．‎ 解：(1)因为函数y＝sin x的单调递增区间为－＋2kπ，＋2kπ，k∈Z，‎ 由－＋2kπ≤3x＋≤＋2kπ，k∈Z，得－＋≤x≤＋，k∈Z.‎ 所以，函数f(x)的单调递增区间为－＋，＋，k∈Z.‎ ‎(2)由已知，有sin＝cos(cos2α－sin2α)，‎ 所以sin αcos＋cos αsin＝cos αcos－sin α·sin(cos2α－sin2α)，‎ 即sin α＋cos α＝(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)．‎ 当sin α＋cos α＝0时，由α是第二象限角，知α＝＋2kπ，k∈Z.‎ 此时，cos α－sin α＝－.‎ 当sin α＋cos α≠0时，有(cos α－sin α)2＝.‎ 由α是第二象限角，知cos α－sin α<0，此时cos α－sin α＝－.‎ 综上所述，cos α－sin α＝－或－.‎ ‎4．(2013四川，5分)设sin 2α＝－sin α，α∈，则tan 2α的值是________．‎ 解析：本题考查同角三角函数的基本关系与倍角公式，意在考查考生的运算能力及符号取舍的判断能力．因为sin 2α＝－sin α，所以2sin αcos α＝－sin α，cos α＝－.又α∈，所以α＝，tan 2α＝tan ＝.‎ 答案： ‎5．(2013新课标全国Ⅱ，5分)设θ为第二象限角，若tan＝，则sin θ＋cos θ＝________.‎ 解析：本题考查同角三角函数关系式以及两角和三角函数公式的基本运用，意在考查考生灵活运用知识解决问题的能力以及合理选取解法的能力．‎ 法一：由θ在第二象限，且tan＝，因而sin＝－，因而sin θ＋cos θ＝ sin＝－.‎ 法二：如果将tan＝利用两角和的正切公式展开，则＝，求得tan θ＝－.又因为θ在第二象限，则sin θ＝，cos θ＝－，从而sin θ＋cos θ＝－＝－.‎ 答案：－ ‎6．(2013重庆，12分)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a2＋b2 ＋ab＝c2.‎ ‎(1)求C；‎ ‎(2)设cos Acos B＝，＝，求tan α的值．‎ 解：本题主要考查解三角形问题，意在考查考生对公式的运用能力．‎ ‎(1)因为a2＋b2＋ab＝c2，‎ 由余弦定理有cos C＝＝＝－.‎ 故C＝.‎ ‎(2)由题意得 ＝.‎ 因此(tan αsin A－cos A)(tan αsin B－cos B)＝，‎ tan2αsin Asin B－tan α(sin Acos B＋cos Asin B)＋cos Acos B＝，‎ tan2αsin Asin B－tan αsin(A＋B)＋cos Acos B＝.　①‎ 因为C＝，所以A＋B＝，所以sin(A＋B)＝，‎ 因为cos(A＋B)＝cos Acos B－sin Asin B，‎ 即－sin Asin B＝，‎ 解得sin Asin B＝－＝.‎ 由①得tan2α－5tan α＋4＝0，‎ 解得tan α＝1或tan α＝4.‎ ‎7．(2012山东，5分)若θ∈[，]，sin 2θ＝，则sin θ＝(　　)‎ A. B. C. D. 解析：因为θ∈[，]，所以2θ∈[，π]，所以cos 2θ<0，所以cos 2θ＝－＝－.又cos 2θ＝1－2sin2θ＝－，所以sin2θ＝，所以sin θ＝.‎ 答案：D ‎8．(2012辽宁，5分)已知sin α－cos α＝，α∈(0，π)，则tan α＝(　　)‎ A．－1 B．－ C. D．1‎ 解析：由sin α－cos α＝sin (α－)＝，α∈(0，π)，解得α＝，所以tan α＝tan ＝－1.‎ 答案：A ‎9．(2012江苏，5分)设α为锐角，若cos(α＋)＝，则sin(2α＋)的值为________．‎ 解析：因为α为锐角，cos(α＋)＝，所以sin(α＋)＝，sin 2(α＋)＝，cos 2(α＋)＝，所以sin(2α＋)＝sin[2(α＋)－]＝×＝.‎ 答案： ‎10．(2011辽宁，5分)设sin(＋θ)＝，则sin2θ＝(　　)‎ A．－ B．－ C. D. 解析：sin2θ＝－cos(＋2θ)＝2sin2(＋θ)－1＝2×()2－1＝－.‎ 答案：A ‎11．(2010新课标全国，5分)若cosα＝－，α是第三象限的角，则＝(　　)‎ A．－ B. C．2 D．－2‎ 解析：∵cosα＝－且α是第三象限的角，‎ ‎∴sinα＝－，‎ ‎∴＝＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝＝＝－.‎ 答案：A ‎12．(2010福建，5分)计算sin43°cos13°－cos43°sin13°的结果等于(　　)‎ A. B. C. D. 解析：sin43°cos13°－cos43°sin13°‎ ‎＝sin(43°－13°)＝sin30°＝.‎ 答案：A