20 高考必刷卷（新课标卷）02 数学（解析版）

20 高考必刷卷（新课标卷）02 数学（解析版）

2020 年高考必刷卷（新课标卷）02 数学（理） （本试卷满分 150 分，考试用时 120 分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用 2B 铅笔将试卷 类型（B）填涂在答题卡的相应位置上。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。答案不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置 上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作 答无效。 4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷（选择题) 一、单选题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的。 1．设 i 是虚数单位，如果复数 的实部与虚部互为相反数，那么实数 a 的值为( ) A． B．－ C．3 D．－3 【答案】C 【解析】 因为 ，由实部与虚部是互为相反数得 ，解 得 ，故选 C. 考点：复数的概念与运算. 2．已知集合 2{ | 2 0}, { | lg( 1)}A x x x x y x      ，则 A B  A． (0, ) B．(1,2) C． (2, ) D． ( ,0) 【答案】A 【解析】 { 0 2}A x x   , { 1}B x x  , { 0}A B x x   ,选 A. 3．已知 0.3log 6a  ， 2log 6b  ，则（） A． 2 2b a ab b a    B． 2 2b a b a ab    C． 2 2b a b a ab    D． 2 2ab b a b a    【答案】B 【解析】 【分析】 首先得到 0a  ， 0b  即 0ab  ，根据对数的运算法则可得 1 2 1a b   ，即 2 1b a ab   ，进而可得 2b a ab  ，通过作差比较可得 2 2b a b a   ，综合可得结果. 【详解】 因为 0.3log 6 0a   ， 2log 6 0b   ，所以 0ab  ， 因为 6 6 6 1 2 log 0.3 2 log 2 log 1.2a b      6log 6 1  ，即 2 1b a ab   ， 又 0ab  ，所以 2b a ab  ，又 ( 2 ) ( 2 ) 4 0b a b a a      ， 所以 2 2b a b a   ，所以 2 2b a b a ab    ，故选 B． 【点睛】 本题主要考查了利用不等式的性质比较大小，判断出 ab 的符号以及根据对数的运算的性质得到 2 1b a ab   是解题的关键，属于中档题. 4．下列四个命题中错误的是（ ） A．回归直线过样本点的中心 ,x y B．两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于 1 C．在回归直线方程 ˆ 0.2 0.8y x  k ，当解释变量 x 每增加 1 个单位时，预报变量 ˆy 平均增加 0.2 个单位 D．若    1 22,0 , 2,0F F ， 1 2 4PF PF a a    ，（常数 0a  ），则点 P 的轨迹是椭圆 【答案】D 【解析】 A. 回归直线过样本点的中心 ,x y ，正确；B. 两个随机变量的线性相关性越强,则相关系数 的绝对值就越接近于 1，正确；C. 在回归直线方程 ˆ 0.2 0.8y x  中,当解释变量 x 每增加 1 个单位时,预报变量 ˆy 平均增加 0.2 个单位，正确；D. 若 1 2 1 2 4( 2,0), (2,0), ( 0)F F PF PF a aa      ，则点 P 的轨迹是椭圆，因为当 2a  时， 1 2PF PF  4， P 的轨迹是线段 1 2F F ，故错误，所以选 D. 5．函数     2 1 ( ) 1 x x e f x x e    的部分图象大致为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 根据函数  f x 的奇偶性和在 0x  时函数值的特点，对选项进行排除，由此得出正确选项. 【详解】 因为     2 1 ( ) 1 x x e f x x e    是偶函数，所以排除 A，C，当 0x  时， ( ) 0f x  恒成立，所以排除 D. 故选:B. 【点睛】 本题考查函数的图像与性质，考查数形结合的数学思想以及推理论证能力. 6．若 m n、 表示空间中两条不重合的直线， 、 表示空间中两个不重合的平面，则下列命题中正 确的是（ ） A．若 // ,m n n  ，则 / /m  B．若 , , / /m n     ，则 //m n C．若 , ,m n m n    ，则  D．若 , ,m n      ，则 m n 【答案】C 【解析】 【分析】 利用空间位置关系的判断及性质定理进行判断或举反例判断． 【详解】 对于 A，若 n ⊂ 平面α，显然结论错误，故 A 错误； 对于 B，若 m ⊂ α，n ⊂ β，α∥β，则 m∥n 或 m，n 异面，故 B 错误； 对于 C，若 m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β，根据面面垂直的判定定理进行判定，故 C 正确； 对于 D，若α⊥β，m ⊂ α，n ⊂ β，则 m，n 位置关系不能确定，故 D 错误． 故选：C． 【点睛】 本题考查了空间线面位置关系的性质与判断，属于中档题． 7．《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把 120 个面包分给 5 个人，使每人所得成等差数列，且使较多的三份之和的 1 3 是较少的两份之和，则最少的一份面包 个数为（ ） A．46 B．12 C．11 D．2 【答案】B 【解析】 【分析】 将问题转化为等差数列的问题，通过  3 4 5 1 2 1 3 a a a a a    和 5 120S  ，求解出 1a 即可. 【详解】 设每个人所得面包数，自少而多分别为： 1 2 3 4 5, , , ,a a a a a 且成等差数列 由题意可知：  3 4 5 1 2 1 3 a a a a a    ， 5 120S  设公差为 d ，可知：  1 1 1 1 3 9 23 5 45 1202 a d a d a d        1 12 6 a d    所以最少的一份面包数为12 本题正确选项： B 【点睛】 本题考查利用等差数列求解基本项的问题，关键在于将文字描述的内容转化为等差数列中的关系式， 利用通项公式和求和公式求解出基本项. 8．已知函数 ( ) sin( )( 0, )2f x x        的最小正周期为 4 ，且 ( ) 13f   ，则 ( )f x 的一个 对称中心坐标是 A． 2( ,0)3  B． ( ,0)3  C． 2( ,0)3  D． 5( ,0)3  【答案】A 【解析】 试题分析：由 的最小正周期为 ，得 ．因为 ( ) 13f   ，所以 1 2 ( )2 3 2 k k Z       ，由 ，得 ，故 ． 令 1 ( )2 3x k k Z    ，得 22 ( )3x k k Z   ，故 ( )f x 的对称中心为 ， 当 时， ( )f x 的对称中心为 ，故选 A． 考点：三角函数的图像与性质． 9．在 ABC 中，D 为 BC 中点，O 为 AD 中点，过 O 作一直线分别交 AB、AC 于 M、N 两点，若 ,AM xAB AN yAC     （ 0xy  ），则 1 1 x y   ( ) A．3 B．2 C．4 D． 1 4 【答案】C 【解析】 【分析】 根据向量的线性运算，得 1 1 1 1( ) , ( )4 4 4 4MO x AB AC ON AB y AC            ，利用共线向量的 条件得出 1 1 1( )( ) 04 4 16x y    ，化简即可得到 1 1 x y  的值，即可求解. 【详解】 在 ABC 中， D 为 BC 的中点，O 为 AD 的中点， 若 ,AM xAB AN yAC     ， 所以 1 1( )4 4MO AO AM x AB AC         ， 1 1( ) ( )4 4ON AN AO y AB AC AB y AC              ， 因为 / /MO ON   ，所以 1 1 1( )( ) 04 4 16x y    ， 即 1 ( ) 04 x y xy   ，整理得 1 1 4x y   ，故选 C. 【点睛】 本题主要考查了向量的线性运算性质，以及向量的共线定理和三角形的重心的性质的应用，其中解 答中熟记向量的线性运算，以及向量的共线定理的应用是解答的关键，着重考查了推理与运算能力， 属于基础题. 10． ABC 的三个内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 ABC 的面积为 S，且 2 22S (a b) c   ， a 3  ，则 tanC 等于 ( ) A． 3 4 B． 4 3 C． 3 4  D． 4 3  【答案】D 【解析】  2 2 2 2 22 2 2 cos 2S b c a b c a bc bc A bc         ，而 1 sin2S bc A ，所以 sin 2cos 2A A  ，又根据 2 2sin cos 1A A  ，即  2 2 22cos 2 cos 1 5cos 8cos 3 0A A A A       ，解得 cos 1A   (舍)或 3cos 5A   ， 4sin 5A  ，解得 4tan 3A   ，故选 D. 11．在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．如图，若四 棱锥 P﹣ABCD 为阳马，侧棱 PA⊥底面 ABCD，PA＝AB＝AD，E 为棱 PA 的中点，则异面直线 AB 与 CE 所成角的正弦值为（ ） A． 2 2 B． 5 3 C． 5 2 D． 3 2 【答案】B 【解析】 【分析】 由异面直线所成角的定义及求法，得到 ECD 为所求，连接 ED ，由 CDE 为直角三角形，即可 求解． 【详解】 在四棱锥 P ABCD 中， / /AB CD ，可得 ECD 即为异面直线 AB 与CE 所成角， 连接 ED ，则 CDE 为直角三角形， 不妨设 2AB a ，则 5 , 3DE a EC a  ，所以 5sin 3 DEECD EC    , 故选：B． 【点睛】 本题主要考查了异面直线所成角的作法及求法，其中把异面直线所成的角转化为相交直线所成的角 是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 12．设奇函数  f x 的定义域为 ,2 2      ，且  f x 的图像是连续不间断， ,02x       ，有    cos sin 0f x x f x x   ，若   2 cos3f m f m     ，则 m 的取值范围是（ ） A． ,2 3      B． 0, 3      C． ,2 3       D． ,3 2       【答案】D 【解析】 【分析】 设 g（x）  f x cosx  ，通过研究导函数及函数  f x 的奇偶性，可判断 g（x）在 x∈ ,2 2      上为奇 函数且单调递减，利用性质解得不等式即可． 【详解】 令     cos f xg x x  ，则       2 cos sin cos f x x f x xg x x   . 因为 ,02x       ，有    cos sin 0f x x f x x   ， ∴当 ,02x      时，   0g x  ，则     cos f xg x x  在 ,02     上单调递减. 又  f x 是定义域在 ,2 2      上的奇函数，∴          cos cos f x f xg x g xx x       ， 则     cosx f xg x  也是 ,2 2      上的奇函数并且单调递减. 又   2 cos3f m f m     等价于   3 cos cos 3 ff m m        ， 即   3g m g      ，∴ 3m  ， 又 2 2m    ， ∴ 3 2m   . 故选：D 【点睛】 本题考查了运用导数判断函数的单调性及应用，考查了函数奇偶性的应用，考查了构造法的技巧， 属于中档题． 第Ⅱ卷（非选择题) 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。把答案填在题中的横线上。 13．两个非零向量 ,a b   满足 2a b a b a       ，则向量b  与 a b  的夹角为____. 【答案】 4  【解析】 【分析】 利用向量的模的平方等于向量的平方，求得两个向量的关系，再利用向量的数量积和向量的夹角公 式，即可求解. 【详解】 由题意，两个非零向量 ,a b   满足 a b a b     ，可得 2 2 a b a b     即 2 2 2 2 2 2a a b b a a b b       r r r r r r r r ，解得 0a b   ， 又由 2a b a   ，可得 2 2( 2 )a b a   ， 即 2 2 2 2 2a a b b a        ，解得 2 2 b a  ，即 b a  ， 所以 22 2 ( )b a b a b b b a              ， 2 2 2 ( ) 2a b a a bb a          ， 由向量的夹角公式，可得 2 )( 2cos , 22 abb b a ba b a b a a             ， 又由 , [0, ]a bb   ，所以 , 4bb a    ， 即向量 b  与 a b  的夹角为 4  . 故答案为： 4  . 【点睛】 本题主要考查了向量的数量积的运算，以及向量的模和向量的夹角的求解，其中解答中熟记向量的 运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 14．如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果为_________. 【答案】 【解析】 试题分析：第一次循环 t t t ，第二次循环： t t t ，第三次循环： t t t ， 结束循环，输出 t 考点：循环结构流程图 【名师点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概 念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更 要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项. 15．如图，已知抛物线 2 2 ( 0)y px p  与双曲线 2 2 2 2 1x y a b   (a＞0，b＞0)有相同的焦点 F，双曲线 的焦距为 2c，点 A 是两曲线的一个交点，若直线 AF 的斜率为 3 ，则双曲线的离心率为_______． 【答案】 7 2 3  . 【解析】 【分析】 设双曲线的另外一个焦点为 1F ,先求出 AF=4c，再利用余弦定理求出 1 2 7AF c ，根据双曲线的定 义得到 2 2 7 4a c c  即得离心率的值. 【详解】 如图所示,设双曲线的另外一个焦点为 1F ,由于 AF 的斜率为 3 ，所以 60BAF   且 AF＝AB，所以 △ ABF 是等边三角形， 所以 1 30F BF   ，所以 1 2 3 4BF c BF c ， ， 所以 2 2 2 0 1| | 16 4 2 4 2 cos120 28AF c c c c       ， 所以 1 2 7AF c ，由双曲线的定义可知 2 2 7 4a c c  ， 所以双曲线的离心率为 7 2 3  ． 【点睛】 (1)本题主要考查抛物线和双曲线的简单几何性质，考查解三角形，意在考查学生对这些知识的掌握 水平和分析推理转化能力.(2) 圆锥曲线的离心率常见的有两种方法：公式法和方程法.公式法就是先 根据已知条件求出 a 和 c ,或者 ,a b 的关系，再代入离心率的公式 ce a  化简求解.方程法就是把已知 的等式化简可以得到一个关于 a 和 c 的方程,再把该方程化为关于离心率 e 的一次或二次方程，直接 计算出离心率. 16．已知 ( ) ln ( 0)f x x a x a   对于区间[1,3] 内的任意两个相异实数 1 2,x x ，恒有 1 2 1 2 1 1( ) ( )f x f x x x    成立，则实数 a 的取值的集合是__________． 【答案】 【解析】 【分析】 先判断出  f x 单调性，令 1 21 3x x   ，去掉绝对值，然后构造新函数   1( )h x f x x   ，将问题 转化为  h x 在 1,3 内单调递减，即   0h x  在 1,3 上恒成立，参变分离，得到 a 的取值范围. 【详解】 函数   lnf x x a x  ，其定义域为 0x  ， 所以   1 0af x x    恒成立， 故函数在定义域上为增函数. 令 1 21 3x x   ，则    1 2f x f x ， 2 1 1 1 x x  所以由    1 2 1 2 1 1f x f x x x    可得    2 1 1 2 1 1f x f x x x    ， 即    2 1 2 1 1 1f x f xx x    ， 设   1( )h x f x x   ，则    2 1h x h x 则问题等价于函数   1( )h x f x x   在 1,3 内单调递减， 于是   2 2 1 0x axh x x    在 1,3 上恒成立， 即 2 1 0x ax   在 1,3 上恒成立， 则 2 min 1 8 3 xa x       ， 即 8 3a   .又 0a  所以这样的实数 a 不存在 【点睛】 本题主要考查函数导数与单调性，考查构造函数法和分离常数法求解不等式恒成立问题. 其中解答 中涉及到利用导数研究函数的单调性以及单调性的应用、函数的奇偶性及其应用、不等关系的求解 等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化思想的应用.属于中档 题. 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.第 17-21 题为必做题,每个考生都必须作答.第 22/23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共 60 分 17．已知数列 na 的前 n 项和为 nS ， 10, 1na a  ，且满足 2 1 12 2n n n n n n nS a a a S a S    ． （1）求数列 na 的通项 na ； （2）求数列 nna 的前 n 项和为 nT ． 【答案】（1）    2 1, 1 2 , 2n n na n     ；（2）   11 2 1n nT n    【解析】 分析：（1）先化简已知，再用项和公式求出数列 na 的通项 na .(2)利用错位相减法求数列  nna 的前 n 项和为 nT . 详解：（1） 2 1 12 2n n n n n n nS a a a S a S    ，   12 0n n n nS a S a     ， 10, 0n n na S a     ，即 1n nS a  ； 当 1n  时， 2 1a  ，当 2n  时， 1n nS a  1 1 1 2n n n n n n na S S a a a a         ， 1 21, 1,a a  不满足上式，所以数列 na 是从第二项起的等比数列，其公比为 2； 所以    2 1, 1 2 , 2n n na n     . （2）当 1n  时， 1 1T  ， 当 2n  时， 0 1 21 2 2 3 2 2n nT n         ， 1 2 12 1 2 2 2 3 2 2n nT n          ， 1 1 2 2 1 11 21 2 2 2 2 21 2 n n n n nT n n                11 2 1n nT n     点睛：（1）本题主要考查数列通项的求法和错位相减法求和，意在考查学生对这些基础知识的掌握 能力和计算能力.(2)已知 ( ) ( )n n nS f a S f n 或 的关系，可以利用项和公式 1 1 ( 1) ( 2)n n n S na S S n     ，求数列的通项.注意结果是能并则并，不并则分.所以本题中    2 1, 1 2 , 2n n na n     ，不能合在一起. 18．如图，四边形 ABCD 是矩形， 3 3, 3, 2 ,AB BC DE EC PE    平面 , 6ABCD PE  . （1）证明：平面 PAC  平面 PBE ； （2）求二面角 A PB C  的余弦值. 【答案】(1)证明见解析；(2) 5 5  . 【解析】 试题分析： (1)由题意结合题意可证得 AC  平面 PBE ，结合面面垂直的判断定理可得平面 PAC 平 面 PBE ； (2)建立空间直角坐标系，结合半平面的法向量可得二面角 A PB C  的余弦值为 5 5  . 试题解析： （1）证明；设 BE 交 AC 于 F ， 因为四边形 ABCD 是矩形， 3 3, 3, 2AB BC DE EC   , 所以 3, CE BCCE BC AB   , 又 2ABC BCD     ，所以 ,ABC BCE BEC ACB      , 因为 2BEC ACE ACB ACE         , 所以 AC BE ，又 PE  平面 ABCD . 所以 AC PE ，而 PE BE E  ，所以平面 PAC  平面 PBE ； （2）建立如图所示的空间直角坐标系， 由题意可得        3, 2 3,0 , 3, 3,0 , 0, 3,0 , 0,0, 6A B C P , 则     60,3 3,0 , 3, 3, 6 , ,0,13AB BP CB              , 设平面 APB 的法向量  1 1 1 1, ,n x y z ，则 1 1 1 1 3 3 0 3 3 6 0 y x y z       ， 取 1 1 1 6 , 0, 13x y z   ，即 1 6 ,0,13n        设平面 BPC 的法向量  2 2 2 2, ,n x y z  ，则 2 2 2 2 3 0 3 3 6 0 x x y z     ， 取 2 1 10, 2, 1x y z   ，即  1 0, 2,1n  设平面 APB 与平面 BPC 所成的二面角为 ， 则 1 2 1 2 1 2 5cos cos , 5 n nn n n n           由图可知二面角为钝角，所以 5cos 5    . 19．已知一条曲线 C 在 y 轴右边，C 上每一点到点 F(1,0)的距离减去它到 y 轴距离的差都是 1 （1）求曲线 C 的方程. （2）是否存在正数 m，对于过点 M(m,0)且与曲线 C 有两个交点 A,B 的任一直线，都有 ? 若存在，求出 m 的取值范围，若不存在，请说明理由. 【答案】(1) 2 4 ( 0)y x x  (2) (3 2 2,3 2 2)  【解析】 【详解】 解：（Ⅰ）设 P（x，y）是曲线 C 上任意一点，那么点 P（x，y）满足： 2 2( 1) 1( 0)x y x x     化简得 2 4 ( 0)y x x  . (Ⅱ)设过点 M（m，0）（m>0）的直线 l 与曲线 C 的交点为 A 1 2( , )x y ，B 2 2( , )x y ． 设 l 的方程为 x=ty+m，由 2{ 4 x ty m y x    得 2 4 4 0y ty m   ， △ =16（ 2t +m）>0， 于是 1 2 1 2 4{ 4 y y t y y m     ① 又 1 1 2 2( 1, ), ( 1, )FA x y FB x y     ． · 0FA FB   1 2 1 2( 1)( 1)x x y y    = +1+ 1 2y y <0② 又 2 4 yx  ，于是不等式②等价于 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2· ( ) 1 04 4 4 4 y y y yy y     2 21 2 1 2 1 2 1 2 ( ) 1 ( ) 2 1 016 4 y y y y y y y y         ③ 由①式，不等式③等价于 2 26 1 4m m t   ④ 对任意实数 t， 24t 的最小值为 0，所以不等式④对于一切 t 成立等价于 2 6 1 0m m   ，即3 2 2 3 2 2m    ． 由此可知，存在正数 m，对于过点 M（m，0）且与曲线 C 有两个交点 A,B 的任一直线，都有 · 0FA FB   ， 且 m 的取值范围 (3 2 2,3 2 2)  ． 20．已知函数   22ln 3 11f x x x x   . （1）求曲线  y f x 在点   1, 1f 处的切线方程； （2）若关于 x 的不等式      23 2 13 2f x a x a x     恒成立，求整数 a 的最小值. 【答案】(1) 15 1y x   ;(2)1. 【解析】 试题分析：（1）先求函数的导数，并且求  1f  和  1f ，根据切线方程     1 1 1y f f x   ， 写出切线方程；（2）令        23 2 13 1g x f x a x a x      ，首先求函数得到导数，讨论当 0a  和 0a  两种情况讨论函数的最大值，令最大值小于等于 0，求得 a 的值. 试题解析：(1)因为      2' 6 11, ' 1 15, 1 14f x x f fx        ，所以切线方程为  14 15 1y x    ，即 15 1y x   . (2)令          2 23 2 13 1 2ln 2 2 1g x f x a x a x x ax a x           ，所以      22 2 2 22' 2 2 2 ax a xg x ax ax x         ，当 0a  时，因为 0x  ，所以  ' 0g x  ， 所以  g x 是 0, 上的递增函数，又因为  1 2 2 1 3 1 0g a a a         ，所以关于 x 的不 等式      23 2 13 1f x a x a x     ，不能恒成立，当 0a  时，      2 12 12 2 2 2' a x xax a x ag x x x            ，令  ' 0g x  ，得 1x a  ，所以当 10,x a     时，  ' 0g x  ；当 1 ,x a      时，  ' 0g x  ，因此函数  g x 在 10, a      上是增函数，在 1 ,a     上 是减函数，故函数  g x 的最大值为 1 1 1 12ln 3 2ln 3 0g aa a a a            ，令   1 2ln 3h a aa    ，则  h a 在 0, 上是减函数，因为  1 2 0h    ，所以当 1a  时，   0h a  ，所以整数 a 的最小 值为1. 【点睛】不等式恒成立求参数取值范围是高考热点，本题是当    f x h x 恒成立时，求参数取值 范围，一般变形为     0f x h x  恒成立，求函数    f x h x 的最大值小于等于 0，或参变分离 转化为函数最值问题. 21．世界军人运动会，简称“军运会”，是国际军事体育理事会主办的全球军人最高规格的大型综合 性运动会，每四年举办一届，会期 7 至 10 天，比赛设 27 个大项，参赛规模约 100 多个国家 8000 余 人，规模仅次于奥运会，是和平时期各国军队展示实力形象、增进友好交流、扩大国际影响的重要 平台，被誉为“军人奥运会”.根据各方达成的共识，军运会于 2019 年 10 月 18 日至 27 日在武汉举行， 赛期 10 天，共设置射击、游泳、田径、篮球等 27 个大项、329 个小项．其中，空军五项、军事五 项、海军五项、定向越野和跳伞 5 个项目为军事特色项目，其他项目为奥运项目．现对某国在射击 比赛预赛中的得分数据进行分析，得到如下的频率分布直方图： （1）估计某国射击比赛预赛成绩得分的平均值 x （同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； （2）根据大量的射击成绩测试数据，可以认为射击成绩 X 近似地服从正态分布  2,N   ，经计算 第（1）问中样本标准差 s 的近似值为 50，用样本平均数 x 作为  的近似值，用样本标准差 s 作为 的估计值，求射击成绩得分 X 恰在 350 到 400 的概率；[参考数据：若随机变量 服从正态分布  2,N   ，则：   0.6827P        ≤ ，  2 2 0.9545P        ≤ ，  3 3 0.9973P         ≤ ； （3）某汽车销售公司在军运会期间推广一款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”， 活动，客户可根据抛掷骰子的结果，操控微型遥控车在方格图上行进，若遥控车最终停在“胜利大本 营”，则可获得购车优惠券．已知骰子出现任意点数的概率都是 1 6 ，方格图上标有第 0 格，第 1 格， 第 2 格，……第 50 格．遥控车开始在第 0 格，客户每抛掷一次骰子，遥控车向前移动一次，若抛掷 出正面向上的点数是 1，2，3，4，5 点，遥控车向前移动一格（从 k 到 1k  ），若抛掷出正面向上 的点数是 6 点，遥控车向前移动两格（从 k 到 2k  ），直到遥控车移动到第 49 格（胜利大本营）或 第 50 格（失败大本营）时，游戏结束．设遥控车移动到第 n 格的概率为 nP ，试证明   1 1 49n nP P n ≤ ≤ 是等比数列，并求 50P ，以及根据 50P 的值解释这种游戏方案对意向客户是否具 有吸引力． 【答案】（1）300；（2）0.1359；（3） 49 50 1 117 6P          ，这种游戏方案客户参与中奖的可能性较大， 对意向客户有吸引力 【解析】 【分析】 （1）每一组中的数据用该组区间的中点值代表乘以概率，相加即得估计均值； （2）由正态分布的性质结合所给数据计算． （3）依次求出 0 1 2, ,P P P ， ，可得 nP 的递推关系： 2 1 1 5 6 6n n nP P P   ，变形为  1 1 2 1 6n n n nP P P P      ， 得到一个等比数列，求得 1n nP P  ，然后用累加法求得 nP ，即得 50P ，与 1 2 比较可知吸引力大不大． 【详解】 （1） 0.002X                               ； （2）因为 X～N（300，502），所以    1350 400 0.9545 0.6827 0.13592P X     ； （3）摇控车开始在第 0 格为必然事件，P0＝1，第一次掷骰子，正面向上不出现 6 点，摇控车移动 到第 1 格，其概率为 5 6 ，即 1 5 6P  ；摇控车移到第 n 格（2≤n≤49）格的情况是下列两种，而且也只 有两种； ①摇控车先到第 n-2 格，抛掷出正面向上的点数为 6 点，其概率为 2 1 6 nP  ； ②摇控车先到第 n-1 格，抛掷骰子正面向上不出现 6 点，其概率为 1 5 6 nP  ， 故 2 1 1 5 6 6n n nP P P   ，  1 1 2 1 6n n n nP P P P      ，故 1≤n≤49 时，Pn-Pn-1 是首项为 1 0 1 6P P   ，公比 为 1 6  的等比数列， 故 1 1 6 n n nP P        ，Pn＝P0＋（P1-P0）＋（P2-P1）＋…＋（Pn-Pn-1） 1 2 1 111 1 1 6 161 116 6 6 7 61 6 n n n                                                  ， 49 49 50 48 1 1 6 1 1 1 11 16 6 7 6 7 6 2P P                               ， 49 50 11 2P P   ， 故这种游戏方案客户参与中奖的可能性较大，对意向客户有吸引力． 【点睛】 本题考查频率分布直方图，考查正态分布，考查数列的递推公式，等比数列的通项公式和前 n 项和 公式，数列中的累加法求通项公式，考查知识点较多，要求较高．本题难点在第（3）问，可从特殊 到一般，用归纳猜想的方法得出数列的递推关系，然后求解． （二）选考题：共 10 分.请考生在 22,23 题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分. 22．选修 4-4：坐标系与参数方程 已知直线 l 的参数方程为 1 3 3 x t y t     （t 为参数）在以坐标原点O 为极点， x 轴非负半轴为极轴 的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为 2 4 cos 2 3sin 4 0       . (1)求直线 l 普通方程和曲线C 的直角坐标方程； (2)设直线 l 与曲线C 交于 ,A B 两点，求 •OA OB . 【答案】(1) 3y x ， 2 2( 2) ( 3) 3x y    ；(2)4. 【解析】 试题分析：（Ⅰ）消去t 得到直线l 的普通方程；根据极坐标与直角坐标的互化公式 2 2 2x y   ， cos , sinx y     得到曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）直线时过原点的 直线，并且倾斜角是 3  ，所以设直线的极坐标方程是 3   ，代入圆的极坐标方程得到  的二次方程，而 1 2OA OB   ，根据根与系数的关系得到结果. 试题解析：（Ⅰ）直线l 的普通方程是  3 3 1y x   即 3y x 曲线C 的直角坐标方程是 2 2 4 2 3 4 0x y x y     即   222 3 3x y    （Ⅱ）直线l 的极坐标方程是 3   ，代入曲线C 的极坐标方程得： 2 5 4 0    ， 所以 4A BOA OB     ． 23．选修 4-5：不等式选讲 已知函数   1f x x x aa     ， 0a  . （1）若 2a  ，求不等式   3f x  的解集； （2）若关于 x 的不等式.   4f x  恒成立，求 a 的取值范围. 【答案】(1) 9 3[ , ]4 4  ；(2) (0,2 3) (2 3, )    . 【解析】 【分析】 （1）将 1a  代入函数  y f x 的解析式，得出所求不等式为 1 2 32x x    ，然后利用零点分 段法去绝对值，分段解出不等式即可； （2）利用绝对值三角不等式得出  min 1 1f x a aa a     ，由题意得出  min 4f x  ，即 1 4a a   ， 在 0a  时，解出该不等式可得出实数 a 的取值范围. 【详解】 （1） 2a  时，不等式为 1 2 32x x    . 当 2x ≤ 时，不等式化为 1 2 32x x     ， 9 4x   ，此时 9 24 x    ； 当 12 2x   时，不等式化为 5 32  恒成立，此时 12 2x   ； 当 1 2x  时，不等式化为 1 2 32x x    ， 3 4x  ，此时 1 3 2 4x  . 综上，不等式的解集为 9 3,4 4     ； （2）    1 1 1f x x x a x a x aa a a              ，    min4 4f x f x  Q ， 1 4a a    ， 又 0a  ， 1 4a a    ，解得 0 2 3a   或 2 3a   ， 即 a 的取值范围是   0,2 3 2 3,  U . 【点睛】 本题考查绝对值不等式的解法，以及绝对值不等式恒成立问题的求解，涉及绝对值三角不等式的应 用，在求解恒成立问题时，需结合条件转化为函数的最值来处理，考查化归与转化数学思想的应用， 属于中等题.