2017届高三上学期数学文科期中测试题4

2017届高三上学期数学文科期中测试题4

高三上学期数学文科期中测试题 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．‎ ‎1．已知集合，，若，则 ． ‎ ‎2．命题“”的否定是 ． ‎ ‎3.函数的定义域为 ． ‎ ‎4．已知一个圆锥的底面积为2，侧面积为4，则该圆锥的体积为 ． ‎ ‎5.设是等比数列的前项的和，若，则的值是 ．‎ ‎6.已知点的坐标满足条件则 的最小值为 ． ‎ ‎7.如图，在正方形中，点是的中点，点是的一个三等分点，那么＝ ．(用和表示) ‎ ‎8．已知命题p：|x－a|<4，命题q：(x－1)(2－x)>0，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是________．‎ ‎9．已知直线与曲线相切，则的值为 ． ‎ ‎10．已知函数f(x)＝是奇函数且函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，则实数a的取值范围为 ．‎ ‎11．函数y＝2sin与y轴最近的对称轴方程是 ． ‎ A B C O ‎（第12题）‎ ‎12．如图，点为△的重心，且，，则的值为 ．‎ ‎ ‎ ‎13．已知为数列的前项和，，，若关于正整数的不等式的解集中的整数解有两个，则正实数的取值范围为 ． ‎ ‎14．已知函数 函数，若函数 恰有4个零点，则实数的取值范围是 ． ‎ 二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎15．（本小题满分14分）‎ 已知向量，，记函数．若函数的周期为4，且经过点．‎ ‎（1）求的值； ‎ ‎（2）当时，求函数的最值．‎ ‎16.（本小题满分14分）‎ 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面底面，且，若、分别为、的中点.‎ ‎（1）求证：∥平面；（2）求证：平面.‎ ‎17.(本小题满分14分)‎ 已知集合，‎ ‎(1)当时，求；‎ ‎(2)若，求实数的取值范围．‎ ‎18．（本小题满分16分）‎ 如图，某城市有一块半径为40 m的半圆形绿化区域（以O 为圆心，AB为直径），现计划对其进行改建．在AB的延长线上取点D，OD＝80 m，在半圆上选定一点C，改建后的绿化区域由扇形区域AOC和三角形区域COD组成，其面积为S m2．设∠AOC＝x rad．‎ ‎（1）写出S关于x的函数关系式S(x)，并指出x的取值范围；‎ A B O C D ‎（第18题）‎ ‎（2）试问∠AOC多大时，改建后的绿化区域面积S取得最大值．‎ ‎19. (本小题满分16分) 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）当时，求函数在点处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）求函数的单调区间；‎ ‎（Ⅲ）若在上恒成立，求的取值范围.‎ ‎20.（本题满分16分）‎ 已知数列的前项和为，且，N*‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）已知（N*），记(且)，是否存在这样的常数，使得数列是常数列，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.‎ ‎（3）若数列，对于任意的正整数，均有 成立，求证：数列是等差数列。‎ 参考答案 本试卷分为数学I(必做题)和数学II(附加题)两部分．共200分，考试用时150分钟．‎ 数学I(必做题 共160分)‎ 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．‎ ‎1． 2． 3. 4． 5. 2 6． 7.‎ ‎8．[－2,5] 9． 10．(1，3]． 11． 12．32 13． 14．‎ 二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎15．解：（1）‎ ‎………………4分 由题意得：周期，故 ………………6分 ‎（2）∵图象过点，‎ 即，而，故，则． ………………10分 当时，‎ 当时，，当时，． ………………14分 ‎16．证明：（1）连结AC，因为正方形ABCD中F是BD的中点，则是的中点，又E是PC的中点，在△中，EF∥PA……………………3分 ‎ 且PA平面PAD，EF平面PAD，∴EF∥平面PAD…………………………6分 ‎（2）因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，CD平面ABCD，又CD⊥AD，所以CD⊥平面PAD， …………………………………8分 又PA平面PAD，∴CD⊥PA ，因为EF//PA， ∴CD⊥EF……………………10分 ‎ 又PA=PD=AD，所以△PAD是等腰直角三角形，且，即PA⊥PD 又EF//PA， ∴PD⊥EF ……………………13分 而CD∩PD=D，∴ PA⊥平面PDC，又EF∥PA，所以EF⊥平面PDC…………14分 ‎17.解：(1)，‎ 当时，，‎ ‎∴ …………… 6分 ‎(2) ‎ ‎①当时， 不成立；‎ ‎②当即时，‎ ‎，解得 ‎ ‎③当即时， ‎ 解得 综上，当，实数的取值范围是． …………… 14分 A B O C D ‎（第18题）‎ 注：第(2)小题也可以用恒成立处理，即在上恒成立 ‎18．解：（1）因为扇形 AOC的半径为 40 m，∠AOC＝x rad，‎ 所以 扇形AOC的面积S扇形AOC＝＝800x，0＜x＜π． …………… 2分 在△COD中，OD＝80，OC＝40，∠COD＝π－x，‎ 所以△COD 的面积S△COD＝·OC·OD·sin∠COD＝1600sin(π－x)＝1600sinx．‎ ‎………………… 5分 从而 S＝S△COD＋S扇形AOC＝1600sinx＋800x，0＜x＜π． …………………7分 ‎（2）由（1）知， S(x)＝1600sinx＋800x，0＜x＜π．‎ ‎ S′(x)＝1600cosx＋800＝1600(cosx＋)． ……………… 9分 由 S′(x)＝0，解得x＝．‎ 从而当0＜x＜时，S′(x)＞0；当＜x＜π时， S′(x)＜0 ．‎ 因此 S(x)在区间(0，)上单调递增；在区间(，π)上单调递减． …………… 14分 所以 当x＝，S(x)取得最大值．‎ 答：当∠AOC为时，改建后的绿化区域面积S最大．……………… 16分 ‎19.解：（1）当 时，， …………2分 ‎ …………3分 所以，函数在点处的切线方程为 即： …………4分 ‎(Ⅱ)函数的定义域为： ‎ ‎ …………6分 当时，恒成立，所以，在和上单调递增 当时，令，即：，‎ ‎,‎ 所以，单调递增区间为，单调减区间为. …………10分 ‎（Ⅲ）因为在上恒成立，有 在上恒成立。‎ 所以，令，‎ 则.‎ 令则 ‎ 若，即时，，函数在上单调递增，又 所以，在上恒成立； ‎ 若，即时，当时，单调递增；‎ 当时，，单调递减 所以，在上的最小值为，‎ 因为所以不合题意. ‎ 即时，当时，单调递增，‎ 当时，单调递减，‎ 所以，在上的最小值为 又因为，所以恒成立 综上知，的取值范围是. …………16分 ‎ ‎ ‎20.解：（1），所以 ………………1分 由得时， ‎ 两式相减得，， …………2分 数列是以2为首项，公比为的等比数列，‎ 所以（） ……………4分 ‎（2）由于数列是常数列 ‎= ……………6分 为常数,只有；解得 ‎,此时 ………8分 ‎(3)……①‎ ‎，，其中，所以 …10分 当时，‎ ‎② …12分 ‎②式两边同时乘以得，‎ ‎③ …14分 ‎①式减去③得，，所以 且 所以数列是以为首项，公差为的等差数列。 …16分