高考数学考点31 直线、平面平行的判定及其性质

高考数学考点31 直线、平面平行的判定及其性质

1 （1）以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理. 理解以下判定定理： ·如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行. ·如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行. 理解以下性质定理，并能够证明： ·如果一条直线与一个平面平行，那么经过该直线的任一个平面与此平面的交线和该直线平行. ·如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行. ·垂直于同一个平面的两条直线平行. （2）能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题. 一、直线与平面平行的判定与性质 1．直线与平面平行的判定定理 文字语言 平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行. 简记为：线线平行⇒线面平行 图形语言 符号语言 a⊄α，b⊂α，且 a∥b⇒a∥α 作用 证明直线与平面平行 2．直线与平面平行的性质定理 文字语言 一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直 线平行. 简记为：线面平行⇒线线平行 2 图形语言 符号语言 作用 ①作为证明线线平行的依据． ②作为画一条直线与已知直线平行的依据. 二、平面与平面平行的判定与性质 1．平面与平面平行的判定定理 文字语言 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行. 简记为：线面平行⇒面面平行 图形语言 符号语言 a⊂β，b⊂β， ，a∥α，b∥α⇒α∥β 作用 证明两个平面平行 2．平面与平面平行的性质定理 文字语言 如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行. 简记为：面面平行⇒线线平行 , ,a a b a b     ∥ ∥ a b P 3 图形语言 符号语言 作用 证明线线平行 3．平行问题的转化关系 三、常用结论（熟记） 1．如果两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面． 2．如果两个平行平面中有一个平面垂直于一条直线，那么另一个平面也垂直于这条直线． 3．夹在两个平行平面间的平行线段长度相等． 4．经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行． 5．两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例． 6．如果两个平面分别和第三个平面平行，那么这两个平面互相平行． 7．如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行． 8．如果两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行． 考向一 线面平行的判定与性质 线面平行问题的常见类型及解题策略： (1)线面平行的基本问题 ①判定定理与性质定理中易忽视的条件． , ,a b a b        ∥ ∥ 4 ②结合题意构造图形作出判断． ③举反例否定结论或反证法证明． (2)线面平行的证明问题 判断或证明线面平行的常用方法有： ①利用线面平行的定义(无公共点)； ②利用线面平行的判定定理( )； ③利用面面平行的性质( )； ④利用面面平行的性质( ). (3)线面平行的探索性问题 ①对命题条件的探索常采用以下三种方法： a.先猜后证，即先观察与尝试，给出条件再证明； b.先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明其充分性； c.把几何问题转化为代数问题，探索命题成立的条件． ②对命题结论的探索常采用以下方法： 首先假设结论存在，然后在这个假设下进行推理论证，如果通过推理得到了合乎情理的结论就肯定假设， 如果得到了矛盾的结果就否定假设. 典例 1 已知 m，n 是两条不同直线，α，β，γ 是三个不同平面，给出下列命题： ①若 m∥α，n∥α，则 m∥n； ②若 α⊥γ，β⊥γ，则 α∥β； ③若 m∥α，m∥β，则 α∥β； ④若 m⊥α，n⊥α，则 m∥n. 其中正确的有________．（填序号） 【答案】④ a b a b a    , , ∥ ∥ a a    ∥ , ∥ a a a a       ∥ , , , ∥ ∥ 5 1．如图，在正方体 中， 分别是 的中点，则下列命题正确的是 A． B． C． 平面 D． 平面 典例 2 如图，四棱锥 中， ， ， ， ， 分别为线段 ， ， 的中点， 与 交于 点， 是线段 上一点. （1）求证： 平面 ； （2）求证： 平面 . 学# 1 2AB BC AD  6 （2）如图，连接 ， ， ∵ ， 分别是 ， 的中点，∴ ， 又∵ 平面 ， 平面 ， ∴ 平面 . 又∵ 是 的中点， 是 的中点，∴ ， ∵ 平面 ， 平面 ， ∴ 平面 . 又∵ ， ∴平面 平面 ， 7 又∵ 平面 ， ∴ 平面 . 2．如图，在四棱锥 中， 平面 是 的 中点. （1）求证: 平面 ; （2）求三棱锥 的体积. 考向二 面面平行的判定与性质 判定面面平行的常见策略： (1)利用定义：即证两个平面没有公共点(不常用)． (2)利用面面平行的判定定理(主要方法)． (3)利用垂直于同一条直线的两平面平行(客观题可用)． (4)利用平面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行(客观题可用). 典例 3 如图，直角梯形 与梯形 全等，其中 ， ，且 平面 ，点 是 的中点． 1 12AD AB CD   8 （1）求证：平面 平面 ； （2）求平面 与平面 的距离． 易知 ， 由 ， 9 得 ， 即 ， ∵平面 平面 ， ∴平面 与平面 间的距离为 ． 3．如图，四棱柱 的底面 ABCD 是正方形，O 是底面中心， ⊥底面 ABCD， . （1）证明：平面 ∥平面 ； （2）求三棱柱 的体积． 1．已知直线 和平面 ，满足 ，则“ ”是“ ”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．平面 α 与平面 β 平行的条件可以是 A．α 内的一条直线与 β 平行 B．α 内的两条直线与 β 平行 C．α 内的无数条直线与 β 平行 D．α 内的两条相交直线分别与 β 平行 21 1 1 1sin603 2 3 2AE d CG AD DE         2 3 sin60 3 CG AD DEd AE     3 3 1 1 1 1ABCD A B C D 1AO 1AB AA  2 1A BD 1 1CD B 1 1 1ABD A B D ,m n  ,m n   m n∥ m ∥ 10 3．平面 与△ABC 的两边 AB，AC 分别交于点 D，E，且 AD︰DB=AE︰EC，如图，则 BC 与 的位置关 系是 A．异面 B．相交 C．平行或相交 D．平行 4．下列命题中，错误的是 A．平面内一个三角形各边所在的直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行 B．平行于同一个平面的两个平面平行 C．若两个平面平行，则位于这两个平面内的直线也互相平行 D．若两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面 5．如图所示,长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F 分别是棱 AA1 和 BB1 的中点,过 EF 的平面 EFGH 分别交 BC 和 AD 于点 G,H,则 HG 与 AB 的位置关系是 A．平行 B．相交 C．异面 D．平行和异面 6．设 是空间中不同的直线， 是不同的平面，则下列说法正确的是 A． ，则 B． ，则 C． ,则 D． ，则 7．在长方体 中，若经过 的平面分别交 和 于点 ，则四边形 的形状是 A．矩形 B．菱形 C．平行四边形 D．正方形   11 8．如图,正方体 中, 分别为棱 的中点,则在平面 内且与平面 平 行的直线 A．有无数条 B．有 2 条 C．有 1 条 D．不存在 9．正方体 的棱长为 3，点 E 在 上，且 ，平面 α∥平面 （平面 α 是图 中的阴影平面），若平面 平面 ，则 AF 的长为 A．1 B．1.5 C．2 D．3 10．在正方体 中, 分别是棱 的中点, 是 与 的交点,平面 与平面 相交于 ,平面 与平面 相交于 ,则直线 的夹角为 A． B． C． D． 11．如图，直三棱柱 中， 为边长为 2 的等边三角形， ，点 、 、 、 、 分别是 边 、 、 、 、 的中点，动点 在四边形 的内部运动，并且始终有 平面 ， 则动点 的轨迹长度为 1 1 1 1ABCD A B C D 1 1A B 1 1B E  1BC E   1 1 1AA B B A F π 2 π 6 π 3 0 12 A． B． C． D． 12．已知点 S 是正三角形 ABC 所在平面外一点，点 D，E，F 分别是 SA，SB，SC 的中点，则平面 DEF 与 平面 ABC 的位置关系是________． 13．如图,在长方体 中，E,F,G,H 分别为 CC',C'D',D'D,CD 的中点,N 是 BC 的中点,点 M 在 四边形 EFGH 内运动,则 M 满足　　　　　　　　　　时,有 MN//平面 B'BDD'． 14．下列四个正方体图形中, 为正方体的两个顶点, 分别为其所在的棱的中点,能得出 平面 的图形的序号是 ． 15．如图,已知空间四边形 ABCD,E,F,G,H 分别是其四边上的点且共面,AC∥平面 EFGH,AC=m,BD=n,当 EFGH 是菱形时, =　　　　. 2 3 2π ABCD A B C D    AB∥ AE EB 13 16．如图，棱长为 2 的正方体 中，M 是棱 AA1 的中点，过 C，M，D1 作正方体的截面， 则截面的面积是________. 17．如图，三棱柱 的侧棱 ⊥底面 ， ，E 是棱 的中点，F 是 AB 的 中点， . （1）求证：CF∥平面 ； （2）求三棱锥 的高． 18．如图,四边形 与 均为平行四边形， 分别是 的中点. 1 1 1 1ABCD A B C D 1 1 1ABC A B C 1AA ABC 90ACB   1CC 11 2AC BC AA  , 1AB E 1C AB E ABCD ADEF , ,M N G , ,AB AD EF 14 (1)求证: 平面 ; (2)求证:平面 平面 . 19．如图所示,斜三棱柱 ABC-A1B1C1 中,点 D,D1 分别为 AC,A1C1 上的点. (1)当 等于何值时,BC1∥平面 AB1D1? (2)若平面 BC1D∥平面 AB1D1,求 的值. 20．如图,四边形 中, = = = 分别在 上, ,现将四边 形 沿 折起,使 . BE∥ DMF BDE∥ MNG 1 1 1 1 A D D C AD DC 15 (1)若 ,在折叠后的线段 上是否存在一点 ,使得 平面 ?若存在,求出 的值;若不存 在,说明理由; (2)求三棱锥 的体积的最大值,并求出此时点 到平面 的距离. 1．（2016 浙江理科）已知互相垂直的平面 交于直线 l.若直线 m，n 满足 则 A．m∥l B．m∥n C．n⊥l D．m⊥n 2．（2016 新课标全国Ⅱ理科）α，β 是两个平面，m，n 是两条直线，有下列四个命题： ①如果 m⊥n，m⊥α，n∥β，那么 α⊥β. ②如果 m⊥α，n∥α，那么 m⊥n. ③如果 α∥β，m α，那么 m∥β. ④如果 m∥n，α∥β，那么 m 与 α 所成的角和 n 与 β 所成的角相等. 其中正确的命题有 .(填写所有正确命题的编号） 3．（2018 江苏节选）在平行六面体 中， ． 求证： ．  , ,m n ∥ ⊥ ，  1 1 1 1ABCD A B C D 1 1 1 1,AA AB AB B C  1 1AB A B C平面∥ 16 4．(2017 新课标全国Ⅱ理科节选)如图，四棱锥 P−ABCD 中，侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底面 ABCD， E 是 PD 的中点． （1）证明：直线 平面 PAB. o1 , 90 ,2AB BC AD BAD ABC      CE∥ 17 5．（2017 北京理科节选）如图，在四棱锥 P−ABCD 中，底面 ABCD 为正方形，平面 PAD⊥平面 ABCD， 点 M 在线段 PB 上，PD//平面 MAC，PA=PD= ，AB=4． （1）求证：M 为 PB 的中点. 6．（2016 山东理科节选）在如图所示的圆台中，AC 是下底面圆 O 的直径，EF 是上底面圆 O 的直径，FB 是圆台的一条母线. （1）已知 G,H 分别为 EC，FB 的中点，求证：GH∥平面 ABC. 7 ．（ 2016 新 课 标 全 国 Ⅲ 理 科 节 选 ） 如 图 ， 四 棱 锥 P−ABCD 中 ， PA ⊥ 底 面 ABCD ， AD∥ BC ， AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M 为线段 AD 上一点，AM=2MD，N 为 PC 的中点. 6 ' 18 （1）证明 MN∥平面 PAB. 8．（2016 四川理科节选）如图，在四棱锥 中，AD∥BC， ADC= PAB=90°，BC=CD= AD.E 为棱 AD 的中点，异面直线 PA 与 CD 所成的角为 90°． （1）在平面 PAB 内找一点 M，使得直线 平面 ，并说明理由. –P ABCD   1 2 ∥CM PBE 19 1．【答案】C 2．【解析】（1）取 PB 中点 M,连接 AM,MN. ∵MN 是△BCP 的中位线,∴MN∥BC,且 MN= BC. ∴三棱锥 N−ACD 的体积是 . #网 3．【解析】（1）由题设知，BB1DD1， ∴四边形是平行四边形， ∴. 又 BD⊄平面，⊂平面， ∴BD∥平面. 20 ∵BC， ∴四边形是平行四边形， ∴. 又⊄平面，⊂平面， 【名师点睛】求锥体的体积要充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求 解，注意求体积的一些特殊方法——割补法、等体积法． ①割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决． ②等体积法：应用等体积法的前提是几何体的体积通过已知条件可以得到，利用等体积法可以用来求解 几何体的高，特别是在求三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三棱锥的高，而通过直接计 算得到高的数值． 1．【答案】A 【解析】若，，由线面平行的判定定理可得，若，，则与可以是异面直线，所以“”是“”的充分而不必要条 件，故选 A. 2．【答案】D 【解析】若两个平面 α,β 相交,设交线是 l,则有 α 内的直线 m 与 l 平行,得到 m 与平面 β 平行,从而可得 A 是不正确的;而 B 中两条直线可能是平行于交线 l 的直线,所以也不能判定 α 与 β 平行;C 中的无数条直线 也可能是一组平行于交线 l 的直线,因此也不能判定 α 与 β 平行.由平面与平面平行的判定定理可得 D 项 是正确的. 3．【答案】D 【解析】在中，因为，所以，又平面，平面，所以平面，选 D． 4．【答案】C 【解析】如果两个平面平行，则位于这两个平面内的直线可能平行，可能异面． 8．【答案】A 【解析】如图所示,延长 D1F 交直线 DC 于点 P,连接 PE 并延长,交 DA 的延长线于点 R,连接 RD1,交 AA1 于 Q,则 QD1 是平面与平面的交线,在平面内,与直线 QD1 平行的直线有无数条,由直线与平面平行的判定 定理可知,这无数条直线与平面都平行,故答案为 A． 21 9．【答案】A 【解析】因为平面 α∥平面，平面平面，平面平面，所以.又，所以四边形是平行四边形，所以，所以. 10．【答案】D 【解析】如图所示，∵E，F 分别是棱的中点,∴EF∥AC，则平面即平面 EFCA 与平面相交于,即直线 m；由 CF∥OE，可得 CF∥平面 OD1E，故平面与平面相交于 n 时，必有 n∥CF，即 m//n,则直线的夹 角为 0. 11．【答案】A 【解析】因为 AC,所以平面.取中点 N,因为,所以平面，从而平面平面,即动点的轨迹为线段 HF,因此长度 为 4，选 A． 12．【答案】平行 13．【答案】M 在线段 FH 上移动 【解析】当 M 在线段 FH 上移动时,有 MH//DD'.而 HN//BD,∴平面 MNH//平面 B'BDD'. 又 MN⊂平面 MNH,∴MN//平面 B'BDD'. 14．【答案】①④ 【解析】对于①,该正方体的对角面平面得出平面; 对于②,直线与平面不平行; 对于③,直线与平面不平行; 对于④,直线与平面内的直线平行. 15．【答案】 【解析】∵AC∥平面 EFGH,AC⊂平面 ABC,平面 ABC∩平面 EFGH=EF, ∴AC∥EF. ∴.① 由四边形 EFGH 是菱形知 EH∥FG,EH⊄平面 BCD,FG⊂平面 BCD, ∴EH∥平面 BCD． 而 EH⊂平面 ABD,平面 ABD∩平面 BCD=BD, ∴EH∥BD,∴.② 由①②得. 又 EF=EH,AC=m,BD=n,所以. 学# 22 16．【答案】 17．【解析】（1）如图，取的中点 G，连接 EG，FG． （2）∵三棱柱的侧棱⊥底面 ABC，， ∴⊥平面 ABC． ∵AC⊂平面 ABC， ∴， ∵， ∴， ∵平面平面， ∴AC⊥平面， ∵平面， ∴， 18．【解析】(1)连接,则必过与的交点, 连接,则为的中位线, 所以, #网 又平面平面， 所以平面. (2)因为分别为平行四边形的边的中点, 所以, 又平面平面, 所以平面. 又为中点, 所以为的中位线,所以, 又平面平面, 所以平面, 23 又与为平面内的两条相交直线, 所以平面平面. 【名师点睛】在立体几何中，常见的平行关系有线线平行、线面平行和面面平行，这三种平行关系不 是孤立的，而是相互联系，并且可以相互转化的．在解决问题的过程中，要灵活运用平行关系的判定 定理. （1）应用判定定理证明线面平行的步骤： 上面的第一步“找”是证题的关键，其常用方法有：利用三角形、中位线的性质；利用平行四边形的性质； 利用平行线分线段成比例定理． （2）利用判定定理证明两个平面平行的一般步骤: 第一步：在一个平面内找出两条相交直线； 第二步：证明这两条相交直线分别平行于另一个平面； 第三步：利用平面与平面平行的判定定理得出结论． 19．【解析】(1)如图所示,取 D1 为线段 A1C1 的中点,此时=1. (2)由平面 BC1D∥平面 AB1D1,且平面 A1BC1∩平面 BC1D=BC1,平面 A1BC1∩平面 AB1D1=D1O,得 BC1∥ D1O, ∴. 又平面 AB1D1∩平面 ACC1A1=AD1,平面 BDC1∩平面 ACC1A1=DC1, ∴AD1∥DC1, ∴AD=D1C1,DC=A1D1, ∴=1. 20．【解析】(1)线段上存在一点,使得平面,此时. 在中,由余弦定理得===, 学@ ∴=, ==, 设点到平面的距离为, 由于,即=, ∴=, 24 即点到平面的距离为. 1．【答案】C 【解析】由题意知，．故选 C． 【思路点睛】解决这类空间点、线、面的位置关系问题，也可借助长方体（或正方体），能形象直观地看 出空间点、线、面的位置关系． 2．【答案】②③④ 【名师点睛】求解本题时应注意在空间中考虑线面位置关系. 3．【解析】在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中，AB∥A1B1． 因为 AB 平面 A1B1C，A1B1 平面 A1B1C， 所以 AB∥平面 A1B1C． 4．【解析】（1）取的中点，连接，． 因为是的中点， 所以∥，， 由得∥， 又， 所以，即四边形是平行四边形， 所以∥． 又平面，平面， 故平面． 5．【解析】（1）如图，设交点为，连接. 因为平面，平面平面， 所以. 因为四边形是正方形， 所以为的中点， 所以为的中点. 6．【解析】（1）设的中点为,连接, 25 7．【解析】（1）由已知得. 取的中点，连接，由为中点知，． 又，故，四边形为平行四边形，于是. 因为平面，平面， 所以平面． 8．【解析】（1）在梯形 ABCD 中，AB 与 CD 不平行. 如图，延长 AB，DC，相交于点 M（M∈平面 PAB），点 M 即为所求的一个点.