高考数学复习 17-18版 第4章 第16课 导数的概念及运算

高考数学复习 17-18版 第4章 第16课 导数的概念及运算

第四章 导数及其应用 第 16 课 导数的概念及运算 [最新考纲] 内容 要求 A B C 导数的运算 √ 1．导数与导函数的概念 (1)设函数 y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，若Δx 无限趋近于 0 时 ， 比值Δy Δx ＝fx0＋Δx－fx0 Δx 无限趋近于一个常数 A，则称 f(x)在 x＝x0 处可导，并称 该常数 A 为函数 f(x)在 x＝x0 处的导数(derivative)，记作 f′(x0)． (2)若 f(x)对于区间(a，b)内任一点都可导，则 f(x)在各点的导数也随着自变量 x 的变化而变化，因而也是自变量 x 的函数，该函数称为 f(x)的导函数，记作 f′(x)． 2．导数的几何意义 函数 f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)的几何意义是曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的 切线斜率．相应地，切线方程为 y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． 3．基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)＝xn(n∈Q＋) f′(x)＝n·xn－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cos_x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin_x f(x)＝ax f′(x)＝axln_a(a＞0) f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax f′(x)＝ 1 xln a f(x)＝ln x f′(x)＝1 x 4.导数的运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； (3) fx gx ′＝f′xgx－fxg′x g2x (g(x)≠0)． 1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)f′(x0)与(f(x0))′表示的意义相同．( ) (2)求 f′(x0)时，可先求 f(x0)再求 f′(x0)．( ) (3)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点．( ) (4)若 f(a)＝a3＋2ax－x2，则 f′(a)＝3a2＋2x.( ) [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√ 2．(教材改编)有一机器人的运动方程为 s(t)＝t2＋3 t(t 是时间，s 是位移)，则 该机器人在时刻 t＝2 时的瞬时速度为________． 13 4 [由题意知，机器人的速度方程为 v(t)＝s′(t)＝2t－3 t2 ，故当 t＝2 时，机 器人的瞬时速度为 v(2)＝2×2－ 3 22 ＝13 4 .] 3．(2016·天津高考)已知函数 f(x)＝(2x＋1)ex，f′(x)为 f(x)的导函数，则 f′(0) 的值为________． 3 [因为 f(x)＝(2x＋1)ex， 所以 f′(x)＝2ex＋(2x＋1)ex＝(2x＋3)ex， 所以 f′(0)＝3e0＝3.] 4．曲线 y＝－5ex＋3 在点(0，－2)处的切线方程为________． 5x＋y＋2＝0 [∵y′＝－5ex，∴所求曲线的切线斜率 k＝y′|x＝0 ＝－5e0＝ －5，∴切线方程为 y－(－2)＝－5(x－0)，即 5x＋y＋2＝0.] 5．(2015·全国卷Ⅰ)已知函数 f(x)＝ax3＋x＋1 的图象在点(1，f(1))处的切线 过点(2,7)，则 a＝________. 1 [∵f′(x)＝3ax2＋1， ∴f′(1)＝3a＋1. 又 f(1)＝a＋2， ∴切线方程为 y－(a＋2)＝(3a＋1)(x－1)． ∵切线过点(2,7)，∴7－(a＋2)＝3a＋1，解得 a＝1.] 导数的计算 求下列函数的导数： (1)y＝exln x； (2)y＝x x2＋1 x ＋1 x3 ； (3)y＝x－sinx 2cosx 2 ； (4)y＝cos x ex . [解] (1)y′＝(ex)′ln x＋ex(ln x)′＝exln x＋ex·1 x ＝ex ln x＋1 x . (2)∵y＝x3＋1＋1 x2 ，∴y′＝3x2－2 x3. (3)∵y＝x－1 2sin x，∴y′＝1－1 2cos x. (4)y′＝ cos x ex ′＝cos x′ex－cos xex′ ex2 ＝－sin x＋cos x ex . [规律方法] 1.熟记基本初等函数的导数公式及运算法则是导数计算的前 提，求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这 样可以减少运算量提高运算速度，减少差错． 2．如函数为根式形式，可先化为分数指数幂，再求导． [变式训练] (1)f(x)＝x(2 017＋ln x)，若 f′(x0)＝2 018，则 x0 等于________. 【导学号：62172089】 (2)(2015·天津高考)已知函数 f(x)＝axln x，x∈(0，＋∞)，其中 a 为实数，f′(x) 为 f(x)的导函数．若 f′(1)＝3，则 a 的值为________． (1)1 (2)3 [(1)f′(x)＝2 017＋ln x＋x×1 x ＝2 018＋ln x，故由 f′(x0)＝2 018，得 2 018＋ln x0＝2 018，则 ln x0＝0，解得 x0＝1. (2)f′(x)＝a ln x＋x·1 x ＝a(1＋ln x)． 由于 f′(1)＝a(1＋ln 1)＝a，又 f′(1)＝3，所以 a＝3.] 导数的几何意义 ☞角度 1 求切线方程 已知曲线 y＝1 3x3＋4 3. (1)求曲线在点 P(2,4)处的切线方程； (2)求曲线过点 P(2,4)的切线方程． [思路点拨] (1)点 P(2,4)是切点，先利用导数求切线斜率，再利用点斜式写 出切线方程； (2)点 P(2,4)不一定是切点，先设切点坐标为 x0，1 3x30＋4 3 ，由此求出切线方 程，再把点 P(2,4)代入切线方程求 x0. [解] (1)根据已知得点 P(2,4)是切点且 y′＝x2， ∴在点 P(2,4)处的切线的斜率为 y′|x＝2 ＝4， ∴曲线在点 P(2,4)处的切线方程为 y－4＝4(x－2)， 即 4x－y－4＝0. (2)设曲线 y＝1 3x3＋4 3 与过点 P(2,4)的切线相切于点 A x0，1 3x30＋4 3 ， 则切线的斜率为 y′|x＝x0 ＝x20， ∴切线方程为 y－ 1 3x30＋4 3 ＝x20(x－x0)， 即 y＝x20·x－2 3x30＋4 3. ∵点 P(2,4)在切线上， ∴4＝2x20－2 3x30＋4 3 ， 即 x30－3x20＋4＝0， ∴x30＋x20－4x20＋4＝0， ∴x20(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0， ∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得 x0＝－1 或 x0＝2， 故所求的切线方程为 x－y＋2＝0 或 4x－y－4＝0. ☞角度 2 求切点坐标 若曲线 y＝xln x 上点 P 处的切线平行于直线 2x－y＋1＝0，则点 P 的坐标是________． (e，e) [由题意得 y′＝ln x＋x·1 x ＝1＋ln x，直线 2x－y＋1＝0 的斜率为 2. 设 P(m，n)，则 1＋ln m＝2，解得 m＝e，所以 n＝eln e＝e，即点 P 的坐标为(e， e)．] ☞角度 3 求参数的值 (1)已知直线 y＝1 2x＋b 与曲线 y＝－1 2x＋ln x 相切，则 b 的值为 ________. 【导学号：62172090】 (2)已知曲线 y＝x＋1 x－1 在点(3,2)处的切线与直线 ax＋y＋1＝0 垂直，则 a＝ ________. (1)－1 (2)－2 [(1)设切点坐标为(x0，y0)， y′＝－1 2 ＋1 x ， 则 y′|x＝x0＝－1 2 ＋1 x0 ，由－1 2 ＋1 x0 ＝1 2 得 x0＝1，切点坐标为 1，－1 2 ，又切 点 1，－1 2 在直线 y＝1 2x＋b 上，故－1 2 ＝1 2 ＋b，得 b＝－1. (2)由 y′＝ －2 x－12 得曲线在点(3,2)处的切线斜率为－1 2 ，又切线与直线 ax＋y ＋1＝0 垂直，则 a＝－2.] [规律方法] 1.导数 f′(x0)的几何意义就是函数 y＝f(x)在点 P(x0，y0)处的切 线的斜率，切点既在曲线上，又在切线上，切线有可能和曲线还有其他的公共点． 2．曲线在点 P 处的切线是以点 P 为切点，曲线过点 P 的切线则点 P 不一定 是切点，此时应先设出切点坐标． 易错警示：当曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线垂直于 x 轴时，函数在该 点处的导数不存在，切线方程是 x＝x0. [思想与方法] 1．f′(x0)是函数 f(x)在 x＝x0 处的导数值；(f(x0))′是函数值 f(x0)的导数，而 函数值 f(x0)是一个常数，其导数一定为 0，即(f(x0))′＝0. 2．对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则．在实施化简时， 必须注意变换的等价性． [易错与防范] 1．利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混 淆． 2．曲线 y＝f(x)“在点 P(x0，y0)处的切线”与“过点 P(x0，y0)的切线”的区 别：前者 P(x0，y0)为切点，而后者 P(x0，y0)不一定为切点． 3．曲线的切线与二次曲线的切线的区别：曲线的切线与曲线的公共点的个 数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点． 课时分层训练(十六) A 组 基础达标 (建议用时：30 分钟) 1．函数 f(x)＝(x＋2a)(x－a)2 的导数为________． 3(x2－a2) [∵f(x)＝(x＋2a)(x－a)2＝x3－3a2x＋2a3，∴f′(x)＝3(x2－a2)．] 2．已知函数 f(x)的导函数为 f′(x)，且满足 f(x)＝2xf′(1)＋ln x，则 f′(1) 等于________． －1 [由 f(x)＝2xf′(1)＋ln x，得 f′(x)＝2f′(1)＋1 x ， ∴f′(1)＝2f′(1)＋1，则 f′(1)＝－1.] 3．曲线 y＝sin x＋ex 在点(0,1)处的切线方程是________． 2x－y＋1＝0 [y′＝cos x＋ex，故切线斜率为 k＝2，切线方程为 y＝2x＋1， 即 2x－y＋1＝0.] 4．(2017·苏州模拟)已知曲线 y＝x2 4 －3ln x 的一条切线的斜率为－1 2 ，则切点 的横坐标为________． 2 [因为 y＝x2 4 －3ln x，所以 y′＝x 2 －3 x.再由导数的几何意义，有x 2 －3 x ＝－1 2 ， 解得 x＝2 或 x＝－3(舍去)．] 5．已知 f(x)＝x3－2x2＋x＋6，则 f(x)在点 P(－1,2)处的切线与坐标轴围成的 三角形的面积等于________． 25 4 [∵f(x)＝x3－2x2＋x＋6， ∴f′(x)＝3x2－4x＋1，∴f′(－1)＝8， 故切线方程为 y－2＝8(x＋1)，即 8x－y＋10＝0， 令 x＝0，得 y＝10，令 y＝0，得 x＝－5 4 ， ∴所求面积 S＝1 2 ×5 4 ×10＝25 4 .] 6．曲线 f(x)＝x3－x＋3 在点 P(1,3)处的切线方程是________． 2x－y＋1＝0 [由题意得 f′(x)＝3x2－1，则 f′(1)＝3×12－1＝2，即函数 f(x)的 图象在点 P(1,3)处的切线的斜率为 2，则切线方程为 y－3＝2(x－1)，即 2x－y＋1 ＝0.] 7．若曲线 y＝ax2－ln x 在点(1，a)处的切线平行于 x 轴，则 a＝________. 【导学号：62172091】 1 2 [因为 y′＝2ax－1 x ，所以 y′|x＝1＝2a－1.因为曲线在点(1，a)处的切线平 行于 x 轴，故其斜率为 0，故 2a－1＝0，a＝1 2.] 8．如图 161，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y＝ 3x，y＝0，x＝t(t>0)围 成的△OAB 的面积为 S(t)，则 S(t)在 t＝2 时的瞬时变化率是________． 图 161 2 3 [当 x＝t 时，y＝ 3t， ∴S(t)＝1 2t× 3t＝ 3 2 t2. ∴S′(t)＝ 3t，∴S′(2)＝2 3.] 9．如图 162，y＝f(x)是可导函数，直线 l：y＝kx＋2 是曲线 y＝f(x)在 x＝3 处的切线，令 g(x)＝xf(x)，其中 g′(x)是 g(x)的导函数，则 g′(3)＝________. 图 162 0 [由题图可知曲线 y＝f(x)在 x＝3 处切线的斜率等于－1 3 ，即 f′(3)＝－1 3. 又因为 g(x)＝xf(x)， 所以 g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，g′(3)＝f(3)＋3f′(3)， 由题图可知 f(3)＝1，所以 g′(3)＝1＋3× －1 3 ＝0.] 10．(2017·扬州期中)若 x 轴是曲线 f(x)＝ln x－kx＋3 的一条切线，则 k＝ ________. 【导学号：62172092】 e2 [由题意可知 f′(x)＝1 x －k＝0 有解，即 x＝1 k. ∴f 1 k ＝ln 1 k －1＋3＝0，即 k＝e2.] 11．(2017·苏州模拟)已知函数 f(x)＝x－1＋1 ex ，若直线：y＝kx－1 与曲线 y ＝f(x)相切，则 k＝________. 1－e [设切点坐标为(x0，y0)，则由题意可知 f′(x0)＝k. 又 f′(x)＝1－1 ex ，故 1－ 1 ex0 ＝k. 又 y0＝x0－1＋ 1 ex0 ＝kx0－1， ∴x0－1＋1－k＝kx0－1， ∴(k－1)(x0＋1)＝0，∴k＝1 或 x0＝－1， 当 k＝1 时，由 k＝1－ 1 ex0 ，可得 1 ex0 ＝0(舍去)， 当 x0＝－1 时，由 k＝1－ 1 ex0 ，可得 k＝1－e.] 12．(2017·南通三模)已知两曲线 f(x)＝cos x，g(x)＝ 3sin x，x∈ 0，π 2 相交 于点 A.若两曲线在点 A 处的切线与 x 轴分别相交于 B，C 两点，则线段 BC 的长 为________. 【导学号：62172093】 4 3 3 [由 f(x)＝g(x)可知 tan x＝ 3 3 ，又 x∈ 0，π 2 ，所以 A π 6 ， 3 2 . 又 f′(x)＝－sin x， ∴f′ π 6 ＝－1 2 ， ∴在点 A 处的切线 l1：y－ 3 2 ＝－1 2 x－π 6 . 令 y＝0，得 x＝ 3＋π 6 ，即 B 3＋π 6 ，0 . 又 g′(x)＝ 3cos x，∴g′ π 6 ＝3 2. ∴在点 A 处的切线 l2：y－ 3 2 ＝3 2 x－π 6 . 令 y＝0，得 x＝π 6 － 3 3 ，即 C π 6 － 3 3 ，0 ， ∴BC＝ 3＋π 6 － π 6 － 3 3 ＝4 3 3 .] B 组 能力提升 (建议用时：15 分钟) 1．(2017·无锡期末)过曲线 y＝x－1 x(x>0)上一点 P(x0，y0)处的切线分别与 x 轴、y 轴交于点 A，B，O 是坐标原点，若△OAB 的面积为1 3 ，则 x0＝________. 5 [∵y′＝1＋1 x2 ，∴y′|x＝x0＝1＋1 x20 ， ∴AB：y－y0＝ 1＋1 x20 (x－x0)． 又 y0＝x0－1 x0 ，∴y－x0＋1 x0 ＝ 1＋1 x20 (x－x0) 令 x＝0 得 y＝－2 x0 ； 令 y＝0 得 x＝ 2x0 1＋x20 ， ∴S△OAB＝1 2·2 x0 · 2x0 1＋x20 ＝1 3 ，解得 x＝ 5(负值舍去)．] 2．(2017·南通调研一)在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 与曲线 y＝x2(x>0) 和 y＝x3(x>0)均相切，切点分别为 A(x1，y1)和 B(x2，y2)，则x1 x2 的值是________． 4 3 [由 y＝x2 得 y′＝2x，切线方程为 y－x21＝2x1(x－x1)， 即 y＝2x1x－x21. 由 y＝x3 得 y′＝3x2，切线方程为 y－x32＝3x22(x－x2)，即 y＝3x22x－2x32， 由 2x1＝3x22， x21＝2x32， 得x1 x2 ＝4 3.] 3．(2016·山东高考改编)若函数 y＝f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象 在这两点处的切线互相垂直，则称 y＝f(x)具有 T 性质，下列函数中具有 T 性质 的是________．(填序号) ①y＝sin x；②y＝ln x；③y＝ex；④y＝x3. ① [若 y＝f(x)的图象上存在两点(x1，f(x1))，(x2，f(x2))，使得函数图象在这 两点处的切线互相垂直，则 f′(x1)·f′(x2)＝－1. 对于①：y′＝cos x，若有 cos x1·cos x2＝－1，则当 x1＝2kπ，x2＝2kπ＋π(k ∈Z)时，结论成立； 对于②：y′＝1 x ，若有1 x1 ·1 x2 ＝－1，即 x1x2＝－1，∵x>0，∴不存在 x1，x2， 使得 x1x2＝－1； 对于③：y′＝ex，若有 ex1·ex2＝－1，即 ex1＋x2＝－1.显然不存在这样的 x1， x2； 对于④：y′＝3x2，若有 3x21·3x22＝－1，即 9x21x22＝－1，显然不存在这样的 x1，x2.] 4．(2017·启东中学高三第一次月考)若曲线 y＝aln x 与曲线 y＝ 1 2ex2 在它们的 公共点 P(s，t)处具有公共切线，则t s ＝________. e 2e [对曲线 y＝aln x 求导可得 y′＝a x ，对曲线 y＝ 1 2ex2 求导可得 y′＝x e ， 因为它们在公共点 P(s，t)处具有公共切线，所以a s ＝s e ，即 s2＝ea，又 t＝aln s＝ 1 2es2， 即 2ealn s＝s2，将 s2＝ea 代入，所以 a＝1，所以 t＝1 2 ，s＝ e，即t s ＝ e 2e.] 5．若函数 f(x)＝ln x＋ax 存在与直线 2x－y＝0 平行的切线，则实数 a 的取 值范围是________． a|a<2 且 a≠2－1 e [∵f′(x)＝1 x ＋a(x>0)，故由题意可知方程1 x ＋a＝2 在(0， ＋∞)上有解． ∴a＝2－1 x<2. 又 y＝2x 与曲线 f(x)＝ln x＋ax 相切， 设切点为(x0，y0)，则 1 x0 ＋a＝2， y0＝2x0， y0＝ln x0＋ax0， 解得 x0＝e，a＝2－1 e. 综上可知，实数 a 的取值范围为 a|a<2 且 a≠2－1 e .] 6．(2017·盐城期中)设函数 f(x)＝|ex－e2a|，若 f(x)在区间(－1,3－a)内的图象 上存在两点，在这两点处的切线相互垂直，则实数 a 的取值范围是________． －1 2 ，1 2 [当 x≥2a 时，f(x)＝ex－e2a，此时 f(x)是增函数； 当 x<2a 时，f(x)＝－ex＋e2a，此时 f(x)是减函数； 设两个切点分别为 M(x1，f(x1))，N(x2，f(x2))， 其中 x12a. ∴2a<1，解得 a<1 2 ， 综上可知，－1 2

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