【数学】2020届一轮复习苏教版存在性与恒成立问题学案

【数学】2020届一轮复习苏教版存在性与恒成立问题学案

存在性与恒成立问题 一、考情分析 函数内容作为高中数学知识体系的核心,也是历年高考的一个热点.在新课标下的高考越来越注重对学生的 综合素质的考察,恒成立与存在性问题便是一个考察学生综合素质的很好途径,它主要涉及到一次函数、二 次函数、三角函数、指数函数和对数函数等常见函数的图象和性质及不等式等知识,渗透着换元、化归、数 形结合、函数与方程等思想方法,在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用,故备受高考命题 者的青睐,成为高考能力型试题的首选. 二、经验分享 (1) 设 , （ 1 ） 上 恒 成 立 ；（ 2 ） 上恒成立 . (2) 对于一次函数 有： (3)根据方程有解求参数范围,若参数能够分离出来,可把求参数范围转化为求函数值域． (4) 利用分离参数法来确定不等式  , 0f x   ,（ Dx  ,  为实参数）恒成立中参数  的取值范围的基 本步骤: ①将参数与变量分离,即化为 （或 ）恒成立的形式； ②求  f x 在 x D 上的最大（或最小）值； 【牛刀小试】【江苏省淮安市淮海中学 2019 届高三上学期测试】函数 ，当 时， 恒成立，则实数 的取值范围是____. 【解析】 的定义域为 ，且 ， 为奇函数，且 在 上单调递增， 由 得， ， ， ， ① 时， ， ② 时， ， 的最小值为 1， ， 实数 的取值范围是 ，故答案为 . (二)分离参数法 【例 2】已知函数 的图象在点 ex  （ e 为自然对数的底数）处的切线的斜率为3． (1)求实数 a 的值； (2)若 2( )f x kx 对任意 0x  成立,求实数 k 的取值范围. 【分析】（1）由 结合条件函数 的图象在点 ex  处的切线的斜率为3, 可知 '(e) 3f  ,可建立关于 a 的方程： ,从而解得 1a  ；（2）要使 2( )f x kx 对任意 0x  恒 成立,只需 即可,而由（1）可知 ,∴问题即等价于求函数 的 最大值,可以通过导数研究函数 ( )g x 的单调性,从而求得其最值： ,令 '( ) 0g x  ,解得 1x  ,当 0 1x  时, '( ) 0g x  ,∴ ( )g x 在 (0,1) 上是增函数；当 1x  时, '( ) 0g x  ,∴ ( )g x 在 (1, ) 上是减函数,因此 ( )g x 在 1x  处取得最大值 (1) 1g  ,∴ 1k  即为所求. 【点评】在函数存在性与恒成立问题中求含参数范围过程中,当其中的参数（或关于参数的代数式）能够与 其它变量完全分离出来并,且分离后不等式其中一边的函数（或代数式）的最值或范围可求时,常用分离参 数法.此类问题可把要求的参变量分离出来,单独放在不等式的一侧,将另一侧看成新函数,于是将问题转化 成新函数的最值问题. 【牛刀小试】【2017 河北省武邑上学期第三次调研考试】已知定义在 R 上的奇函数  f x 满足:当 0x  时,   3f x x ,若不等式 对任意实数t 恒成立,则实数 m 的取值范围是 . 【答案】 , 2  (五)存在性之常用模型及方法 【例 5】设函数 , a R 且 1a  .曲线  y f x 在点   1, 1f 处的切线的斜率 为0 . （1）求b 的值； （2）若存在  1,x  ,使得 ,求 a 的取值范围. 【分析】（1）根据条件曲线  y f x 在点   1, 1f 处的切线的斜率为 0 ,可以将其转化为关于 a ,b 的方程, 进而求得b 的值： , ；（2）根据题意分析 可得若存在 [1, )x  ,使得不等式 成立,只需 即可,因此可通过探求 ( )f x 的 单调性进而求得 ( )f x 的最小值,进而得到关于 a 的不等式即可,而由（1）可知 , 则 ,因此需对 a 的取值范围进行分类讨论并判断 ( )f x 的单调性,从而可以解 得 a 的取值范围是 . 【解析】（1） , 由曲线  y f x 在点   1, 1f 处的切线的斜率为 0 ,得  1 0f   , ②当 1 12 a  时, 11 a a  , x 1,1 a a      1 a a  ,1 a a      f x  0   f x  极小值  , 不合题意,无解,10 分 ③当 1a  时,显然有 ( ) 0f x  , 01 a a  ,∴不等式 恒成立,符合题意, 综上, a 的取值范围是 . 6．【徐州市第三中学 2017～2018 学年度高三第一学期月考】已知函数 ,若存在 唯一的整数 x ,使得 成立,则实数 a 的取值范围为__________． 【答案】 0,2  3,8 7．【盐城中学 2018 届高三上第一次阶段性考试】若存在 x∈R,使得 3 4xa ﹣ ≥ 2 2x x （a＞0 且 a≠1）成立, 则实数 a 的取值范围是_____． 【答案】 2a  或 90 2a  且 1.a  . 【解析】 , ∴（3x﹣4） , 当 3x﹣4=0 即 4x 3  时, 故舍去 当 3x﹣4  0 即 4x 3  时, ,令 t=3x﹣4＞0, ,所以 2log a ≥1．所以 a≥2． 当 3x﹣4  0 即 4x 3  时,令 t=3x﹣4  0, 2 1 9log a  ，所以 a 9 2 综上,a≥2 或 0＜ a 9 2 且 a≠1． 14．【2016 届山东师大附中高三上学期二模】已知函数 （a 为常数,e=2．718…）, 且函数 处的切线和 处的切线互相平行． （1）求常数 a 的值； （2）若存在 x 使不等式 成立,求实数 m 的取值范围． 【答案】（1） 1a  ；（2） ( ,0) ． 【解析】 试题分析：本题主要考查导数的运算、利用导数求曲线的切线、利用导数判断函数的单调性、利用导数求 函数的极值和最值等基础知识,考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力．第一问,先利 用导数求出函数 ( )y f x 在 0x  处的切线的斜率 0 1 1k e  ,再求出函数函数 ( )y g x 在 x a 处的切线 的斜率 2 1k a  , 根据题意列出等式,解出 a 的值；第二问,先将 转化为 , 构 造函数 , 利用导数判断函数的单调性,求出函数的最值,从而得到 m 的取值范围． （2） 可化为 , 令 ,则 , 因为 0x  ,所以 , , 故 ( ) 0h x  , 所以 ( )h x 在 (0, ) 上是减函数,因此 , 所以,实数 m 的取值范围是 ( ,0) ； 16. 【江苏省南师大附中 2019 届高三年级第一学期期中】已知函数 ，直线 是曲线 的一条切线． （1）求实数 a 的值； （2）若对任意的 x (0， )，都有 ，求整数 k 的最大值． 【解析】 （2） 令 F(x)＝f(x)－k(x－1)， 则根据题意，等价于 F(x)＞0 对任意的正数 x 恒成立. F ′(x)＝lnx＋2－k， 令 F ′(x)＝0，则 x＝ek－2 . 当 0＜x＜ek－2 ，则 F ′(x)＜0，F(x)在（0，ek－2）上单减； 当 x＞ek－2 ，则 F ′(x)＞0，F(x)在（ek－2，＋∞）上单增. 所以有 F(x) ＝F(ek－2) ＞0，即 ek－2－k－1＜0. 当 k＝3，容易验证，ek－2－k－1＜0； 下证：当 k≥4，ek－2－k－1＞0 成立.