高考数学专题复习：课时达标检测（十三） 函数模型及应用

高考数学专题复习：课时达标检测（十三） 函数模型及应用

课时达标检测（十三） 函数模型及应用 ‎[练基础小题——强化运算能力]‎ ‎1．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是(　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 解析：选C　出发时距学校最远，先排除A，中途堵塞停留，距离没变，再排除D，堵塞停留后比原来骑得快，因此排除B.‎ ‎2．某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况.‎ 加油时间 加油量(升)‎ 加油时的累计里程(千米)‎ ‎2015年5月1日 ‎12‎ ‎35 000‎ ‎2015年5月15日 ‎48‎ ‎35 600‎ 注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程．‎ 在这段时间内，该车每‎100千米平均耗油量为(　　)‎ A．‎6升 B．‎8升 C．‎10升 D．‎‎12升 解析：选B　因为每次都把油箱加满，第二次加了‎48升油，说明这段时间总耗油量为‎48升，而行驶的路程为35 600－35 000＝600(千米)，故每‎100千米平均耗油量为48÷6＝8(升)．‎ ‎3．已知某矩形广场的面积为4万平方米，则其周长至少为(　　)‎ A．‎800米 B．‎900米 C．1 ‎000米 D．1 ‎‎200米 解析：选A　设这个广场的长为x米，则宽为米，所以其周长为l＝2≥800，当且仅当x＝，即x＝200时取等号．‎ ‎4．(2016·安阳一模)某类产品按工艺共分10个档次，最低档次产品每件利润为8元．每提高一个档次，每件利润增加2元．用同样工时，可以生产最低档次产品60件，每提高一个档次将少生产3件产品，则每天获得利润最大时生产产品的档次是(　　)‎ A．7 B．‎8 ‎‎ C．9 D．10‎ 解析：选C　由题意，当生产第k档次的产品时，每天可获得利润为y＝[8＋2(k ‎－1)][60－3(k－1)]＝－6k2＋108k＋378(1≤k≤10，k∈N)，配方可得y＝－6(k－9)2＋864，所以当k＝9时，获得利润最大．选C.‎ ‎5．拟定甲、乙两地通话m分钟的电话费(单位：元)由f(m)＝1.06(0.5[m]＋1)给出，其中m>0，[m]是不超过m的最大整数(如[3]＝3，[3.7]＝3，[3.1]＝3)，则甲、乙两地通话6.5分钟的电话费为________元．‎ 解析：∵m＝6.5，∴[m]＝6，则f(6.5)＝1.06×(0.5×6＋1)＝4.24.‎ 答案：4.24‎ ‎[练常考题点——检验高考能力]‎ 一、选择题 ‎1．物价上涨是当前的主要话题，特别是菜价，我国某部门为尽快实现稳定菜价，提出四种绿色运输方案．据预测，这四种方案均能在规定的时间T内完成预测的运输任务Q0，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是(　　)‎ 解析：选B　选项B中，Q的值随t的变化越来越快，即运输效率在逐步提高．‎ ‎2．某家具的标价为132元，若降价以九折出售(即优惠10%)，仍可获利10%(相对进货价)，则该家具的进货价是(　　)‎ A．118元 B．105元 ‎ C．106元 D．108元 解析：选D　设进货价为a元，由题意知132×(1－10%)－a＝10%·a，解得a＝108.‎ ‎3．(2017·四川德阳诊断)将甲桶中的a L水缓慢注入空桶乙中，t min后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y＝aent.假设过5 min后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m min甲桶中的水只有L，则m的值为(　　)‎ A．5 B．‎8 C．9 D．10‎ 解析：选A　∵5 min后甲桶和乙桶的水量相等，‎ ‎∴函数y＝f(t)＝aent满足f(5)＝ae5n＝a，‎ 可得n＝ln，‎ 所以f(t)＝a·，‎ 设k min后甲桶中的水只有L，‎ 则f(k)＝a·＝，‎ 所以＝，‎ 解得k＝10，所以m＝k－5＝5(min)．故选A.‎ ‎4.某电信公司推出两种手机收费方式：A种方式是月租20元，B种方式是月租0元．一个月的本地网内通话时间t(分钟)与电话费S(元)的函数关系如图所示，当通话150分钟时，这两种方式电话费相差(　　)‎ A．10元 B．20元 C．30元 D.元 解析：选A　依题意可设SA(t)＝20＋kt，SB(t)＝mt.又SA(100)＝SB(100)，∴100k＋20＝‎100m，得k－m＝－0.2，于是SA(150)－SB(150)＝20＋150k－‎150m＝20＋150(k－m)＝20＋150×(－0.2)＝－10，即通话150分钟时，两种方式电话费相差10元，故选A.‎ ‎5．(2016·四川高考)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(　　)‎ ‎(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11, lg 2≈0.30)‎ A．2018年 B．2019年 C．2020年 D．2021年 解析：选B　设2015年后的第n年，该公司全年投入的研发资金开始超过200万元，由130(1＋12%)n＞200，得1.12n＞，两边取常用对数，得n＞≈＝，∴n≥4，∴从2019年开始，该公司全年投入的研发资金开始超过200万元．‎ ‎6．某汽车销售公司在A，B两地销售同一种品牌的汽车，在A地的销售利润(单位：万元)为y1＝4.1x－0.1x2，在B地的销售利润(单位：万元)为y2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是(　　)‎ A．10.5万元 B．11万元 C．43万元 D．43.025万元 解析：选C　设公司在A地销售该品牌的汽车x辆，则在B地销售该品牌的汽车(16－x)辆，所以可得利润y＝4.1x－0.1x2＋2(16－x)＝－0.1x2＋2.1x＋32＝－0.1x－2＋0.1× ‎＋32.因为x∈[0,16]且x∈N，所以当x＝10或11时，总利润取得最大值43万元．‎ 二、填空题 ‎7．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为________m.‎ 解析：设矩形花园的宽为y m，则＝，即y＝40－x，矩形花园的面积S＝x(40－x)＝－x2＋40x＝－(x－20)2＋400，当x＝‎20 m时，面积最大．‎ 答案：20‎ ‎8．“好酒也怕巷子深”，许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的．已知某品牌商品靠广告销售的收入R与广告费A之间满足关系R＝a(a为常数)，广告效应为D＝a－A.那么精明的商人为了取得最大广告效应，投入的广告费应为________．(用常数a表示)‎ 解析：令t＝(t≥0)，则A＝t2，∴D＝at－t2＝－t－a2＋a2.∴当t＝a，即A＝a2时，D取得最大值．‎ 答案：a2‎ ‎9．(2017·湖北八校联考)某人根据经验绘制了2015年春节前后，从‎12月21日至‎1月8日自己种植的西红柿的销售量y(千克)随时间x(天)变化的函数图象，如图所示，则此人在‎12月26日大约卖出了西红柿________千克．‎ 解析：前10天满足一次函数关系，设为y＝kx＋b，将点(1,10)和点(10,30)代入函数解析式得解得k＝，b＝，所以y＝x＋，则当x＝6时，y＝.‎ 答案： ‎10．已知某房地产公司计划出租70套相同的公寓房．当每套公寓房月租金定为3 000元时，这70套公寓房能全部租出去；当月租金每增加50元时(设月租金均为50元的整数倍)，就会多一套房子不能出租．设已出租的每套房子每月需要公司花费100元的日常维修等费用(设没有出租的房子不需要花这些费用)，则要使公司获得最大利润，每套房月租金应定为________元．‎ 解析：由题意，设利润为y元，每套房月租金定为3 000＋50x元(0≤x≤70，x∈N)．则 y＝(3 000＋50x)(70－x)－100(70－x)＝(2 900＋50x)(70－x)＝50(58＋x)(70－x)≤502＝204 800，当且仅当58＋x＝70－x，即x＝6时，等号成立，故当每套房月租金定为3 000＋50×6＝3 300元时，可使公司获得最大利润．‎ 答案：3 300‎ 三、解答题 ‎11.如图所示，已知边长为‎8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中AE＝‎4米，CD＝‎6米．为合理利用这块钢板，在五边形ABCDE内截取一个矩形BNPM，使点P在边DE上．‎ ‎(1)设MP＝x米，PN＝y米，将y表示成x的函数，求该函数的解析式及定义域；‎ ‎(2)求矩形BNPM面积的最大值．‎ 解：(1)作PQ⊥AF于Q，‎ 所以PQ＝(8－y)米，EQ＝(x－4)米．‎ 又△EPQ∽△EDF，‎ 所以＝，即＝.‎ 所以y＝－x＋10，‎ 定义域为{x|4≤x≤8}．‎ ‎(2)设矩形BNPM的面积为S平方米，‎ 则S(x)＝xy＝x＝－(x－10)2＋50，‎ S(x)是关于x的二次函数，且其图象开口向下，对称轴为x＝10，‎ 所以当x∈[4,8]时，S(x)单调递增．‎ 所以当x＝8时，矩形BNPM的面积取得最大值，为‎48平方米．‎ ‎12．在扶贫活动中，为了尽快脱贫(无债务)致富，企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以5.8万元的优惠价格转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型企业乙，并约定从该店经营的利润中，首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支3 600元后，逐步偿还转让费(不计 息)．在甲提供的资料中：①这种消费品的进价为每件14元；②该店月销量Q(百件)与销量价格P(元)的关系如图所示；③每月需各种开支2 000元．‎ ‎(1)当商品的价格为每件多少元时，月利润扣除职工最低生活费的余额最大？并求最大余额；‎ ‎(2)企业乙只依靠该店，最早可望在几年后脱贫？‎ 解：设该店月利润余额为L元，‎ 则由题设得L＝Q(P－14)×100－3 600－2 000，①‎ 由销量图易得Q＝ 代入①式得 L＝ ‎(1)当14≤P≤20时，Lmax＝450元，此时P＝19.5元；‎ 当20

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