人教A版数学必修二3-1-1倾斜角与斜率

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第三章 直线与方程 本章教材分析 直线与方程是平面解析几何初步的第一章,用坐标法研究平面上最简单的图形——直线. 本章首先在平面直角坐标系中,介绍直线的倾斜角、斜率等概念;然后建立直线的方程: 点斜式、斜截式、两点式、截距式等;通过直线的方程,研究直线间的位置关系:平行和垂直, 以及两条直线的交点坐标、点到直线的距离公式等. 解析几何研究问题的主要方法是坐标法,它是解析几何中最基本的研究方法.坐标法的基 本特点是,首先用代数语言(坐标及其方程)描述几何元素及其关系,将几何问题代数化;解决代 数问题,得到结果;分析代数结果的几何含义,最终解决几何问题. 本章自始至终贯穿数形结合的思想.在图形的研究过程中,注意代数方法的使用;在代数 方法的使用过程中,加强与图形的联系. 直线是最基本、最简单的几何图形，它既能为进一步学习做好知识上的必要准备，又能 为今后灵活地运用解析几何的基本思想和方法打好坚实的基础.只有学好本章才能为第四章 的圆与方程做好准备和铺垫.教学中一定要注重由浅及深的学习规律，多采用变式教学，同 时渗透常用的数学思想方法（数形结合、分类讨论、类比、推广、特殊化、化归等）,体现 由特殊到一般的研究方法，化难为易、化抽象为具体，深入浅出的引导学生自己发现规律， 大胆质疑、积极思考、合作探究、激发他们学习的兴趣，教师合理诱导并且及时鼓励，使同 学们能愉快的、轻松的学习，并且提高他们应用所学知识解决问题（尤其是实际问题）的能 力，真正体现出“在用中学，在学中用，为用而学，学而能用”，这一点也正符合新课标的要 求和精神. 本章教学时间约 9 课时，具体分配如下（仅供参考）： 3.1.1 倾斜角与斜率 约 1 课时 3.1.2 两直线平行与垂直的判定 约 1 课时 3.2.1 直线的点斜式方程 约 1 课时 3.2.2 直线的两点式方程 约 1 课时 3.2.3 直线的一般式方程 约 1 课时 3.3.1 两条直线的交点坐标 约 1 课时 3.3.2 两点间的距离 约 1 课时 3.3.3 及 3.3.4 点到直线的距离及两条平行线间的距离 约 1 课时 本章复习 约 1 课时 §3.1 直线的倾斜角与斜率 §3.1.1 倾斜角与斜率 一、教材分析 直线是最基本、最简单的几何图形，它既能为进一步学习作好知识上的必要准备，又能 为今后灵活地运用解析几何的基本思想和方法打好坚实的基础.事实上，只有透彻理解并熟 练掌握直线的倾斜角和斜率这两个基本概念，学生才能对直线及其位置进行定量的研究.对 直线的倾斜角和斜率，必须要求学生理解它们的准确涵义和作用，掌握它们的导出，并在运 用上形成相应的技能和熟练的技巧. 本小节从一个具体的一次函数与它的图象入手，引入直线的倾斜角概念，注重了由浅及 深的学习规律，并体现了由特殊到一般的研究方法.引导学生认识到之所以引入直线在平面 直角坐标系中的倾斜角和斜率概念，是进一步研究直线方程的需要. 二、教学目标 1．知识与技能 （1）正确理解直线的倾斜角和斜率的概念. （2）理解直线倾斜角的唯一性. （3）理解直线斜率的存在性. （4）斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式. 2．过程与方法 引导帮助学生将直线的位置问题（几何问题）转化为倾斜角问题，进而转化为倾斜角的 正切即斜率问题（代数问题）进行解决，使学生不断体会“数形结合”的思想方法. 3．情感、态度与价值观 （1）通过直线倾斜角的概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观 察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力. （2）通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合的思想， 培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神. 三、教学重点与难点 教学重点:直线的倾斜角和斜率概念以及过两点的直线的斜率公式. 教学难点:斜率公式的推导. 四、课时安排 1 课时 五、教学设计 （一）导入新课 思路 1.如图 1 所示，在直角坐标系中，过点 P 的一条直线绕 P 点旋转，不管旋转多少 周，它对 x 轴的相对位置有几种情形？教师引入课题：直线的倾斜角和斜率. 图 1 思路 2.我们知道,经过两点有且只有(确定)一条直线.那么,经过一点 P 的直线 l 的位置能 确定吗?这些直线有什么联系和区别呢?教师引入课题：倾斜角与斜率. （二）推进新课、新知探究、提出问题 ①怎样描述直线的倾斜程度呢？ ②图 2 中标出的直线的倾斜角α对不对？如果不对，违背了定义中的哪一条？ 图 2 ③直线的倾斜角能不能是 0°？能不能是锐角？能不能是直角？能不能是钝角？能不能 是平角？能否大于平角？ ④日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量？ ⑤正切函数的定义域是什么？ ⑥任何直线都有斜率么？ ⑦我们知道两点确定一条直线，那么已知直线上两点坐标，如何才能求出它的倾斜角和 斜率呢？如：已知 A(2，3)、B(－1，4)，则直线 AB 的斜率是多少? 活动:①与交角有关.当直线 l 与 x 轴相交时,取 x 轴作为基准,x 轴正向与直线 l 向上方向 之间所成的角α叫做直线 l 的倾斜角．．．. 可见：平面上的任一直线都有唯一的一个倾斜角，并且倾斜角定了，直线的方向也就定 了. ②考虑正方向. ③动手在坐标系中作多条直线，可知倾斜角的取值范围是 0°≤α＜180°.在此范围内，坐 标平面上的任何一条直线都有唯一的倾斜角，而每一个倾斜角都能确定一条直线的方向.倾 斜角直观地表示了直线对 x 轴正方向的倾斜程度. 规定：当直线和 x 轴平行或重合时，直线倾斜角为 0°，所以倾斜角的范围是 0°≤α＜180°. ④联想小时候玩的滑梯，结合坡度比给出斜率定义，直线斜率的概念. 倾斜角不是 90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用 k 表示，即 k=tanα. ⑤教师介绍正切函数的相关知识. ⑥说明：直线与斜率之间的对应不是映射，因为垂直于 x 轴的直线没有斜率. （倾斜角是 90°的直线没有斜率） ⑦已知直线 l 上的两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，且直线 l 与 x 轴不垂直，如何求直线 l 的斜率？教学时可与教材上的方法一样推出. 讨论结果:①用倾斜角. ②都不对.与定义中的 x 轴正方向、直线向上方向相违背. ③直线的倾斜角能是 0°，能是锐角，能是直角，能是钝角，不能是平角，不能大于平 角. ④有，常用的有坡度比. ⑤90°的正切值不存在. ⑥倾斜角是 90°的直线没有斜率. ⑦过两点 P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的直线的斜率公式 k= 12 12 xx yy   . （三）应用示例 思路 1 例 1 已知 A(3,2),B(-4,1),C(0,-1),求直线 AB,BC,CA 的斜率,并判断它们的倾斜角是钝角还是 锐角. 活动:引导学生明确已知两点坐标,由斜率公式代入即可求得 k 的值; 而当 k=tanα＜0 时,倾斜角α是钝角; 而当 k=tanα＞0 时,倾斜角α是锐角; 而当 k=tanα=0 时,倾斜角α是 0°. 解:直线 AB 的斜率 k1= 7 1 ＞0,所以它的倾斜角α是锐角; 直线 BC 的斜率 k2=-0.5＜0,所以它的倾斜角α是钝角; 直线 CA 的斜率 k3=1＞0,所以它的倾斜角α是锐角. 变式训练 已知 A(1,3 3 ),B(0,2 3 ),求直线 AB 的斜率及倾斜角. 解:kAB= 301 3233   , ∵直线倾斜角的取值范围是 0°—180°, ∴直线 AB 的倾斜角为 60°. 例 2 在平面直角坐标系中,画出经过原点且斜率分别为 1,-1,2 及-3 的直线 a,b,c,l. 活动:要画出经过原点的直线 a,只要再找出 a 上的另外一点 M.而 M 的坐标可以根据直线 a 的斜率确定. 解:设直线 a 上的另外一点 M 的坐标为(x,y),根据斜率公式有：1= 0 0   x y ,所以 x=y. 可令 x=1,则 y=1,于是点 M 的坐标为(1,1).此时过原点和点 M(1,1),可作直线 a. 同理,可作直线 b,c,l. 变式训练 1.已知直线的倾斜角，求直线的斜率： (1)α=0°；（2）α=60°；(3)α=90°. 活动:指导学生根据定义直接求解. 解：(1)∵tan0°=0， ∴倾斜角为 0°的直线斜率为 0. (2)∵tan60°= 3 ，∴倾斜角为 60°的直线斜率为 3 . (3)∵tan90°不存在，∴倾斜角为 90°的直线斜率不存在. 点评：通过此题训练，意在使学生熟悉特殊角的斜率. 2.关于直线的倾斜角和斜率，下列哪些说法是正确的( ) A.任一条直线都有倾斜角，也都有斜率 B.直线的倾斜角越大，它的斜率就越大 C.平行于 x 轴的直线的倾斜角是 0 或π；两直线的倾斜角相等，它们的斜率也相等 D.直线斜率的范围是(－∞，＋∞) 答案：D 思路 2 例 1 求经过点 A(-2,0)，B(-5,3)的直线的斜率和倾斜角. 解：kAB= )2(5 03   =1，即 tanα=-1， 又∵0°≤α＜180°， ∴α=135°. ∴该直线的斜率是-1，倾斜角是 135°. 点评：此题要求学生会通过斜率公式求斜率，并根据斜率求直线的倾斜角. 变式训练 求过下列两点的直线的斜率 k 及倾斜角α. （1）P1(-2,3)，P2(-2,8)； （2）P1(5,-2)，P2(-2,-2). 解：（1）∵P1P2 与 x 轴垂直，∴直线斜率不存在，倾斜角α=90°. （2）k=tanα= 52 )2(2   =0，∴直线斜率为 0，倾斜角α=0°. 例 2 已知三点 A、B、C，且直线 AB、AC 的斜率相同，求证:这三点在同一条直线上. 证明：由直线的斜率相同，可知直线 AB 的倾斜角与 AC 的倾斜角相等，而两直线过公 共点 A， 所以直线 AB 与 AC 重合，因此 A、B、C 三点共线. 点评：此题反映了斜率公式的应用，即若有共同点的两直线斜率相同，则可以判断三点 共线. 变式训练 1.若三点 A(2,3)，B(3,2)，C( 2 1 ,m)共线，求实数 m 的值. 解：kAB= 23 32   =-1，kAC= 22 1 3  m ， ∵A、B、C 三点共线，∴kAB=kAC.∴ 22 1 3  m =-1.∴m= 2 9 . 2.若三点 A(2,2),B(a,0),C(0,b)(ab≠0)共线，则 a 1 + b 1 的值等于_____________. 答案： 2 1 例 3 已知三角形的顶点 A(0,5)，B(1,-2)，C(-6,m)，BC 的中点为 D，当 AD 斜率为 1 时， 求 m 的值及|AD|的长. 分析：应用斜率公式、中点坐标公式、两点间距离公式. 解：D 点的坐标为(- 2 5 , 2 2m )， ∴kAD= 02 5 52 2  m =1.∴m=7.∴D 点坐标为(- 2 5 , 2 5 ). ∴|AD|= 2 25)2 55()2 5( 22  . 变式训练 过点 P(－1，－1)的直线 l 与 x 轴和 y 轴分别交于 A、B 两点，若 P 恰为线段 A 的中心， 求直线 l 的斜率和倾斜角. 答案：k=-1,倾斜角为 4 3 . （四）知能训练 课本本节练习 1、２、３、４. （五）拓展提升 已知点 A(-2,3)，B(3,2)，过点 P(0,-2)的直线 l 与线段 AB 有公共点，求直线 l 的斜率 k 的取 值范围. 分析：利用数形结合同时注意直线斜率不存在的特殊情形. 答案：(-∞, 3 4 )∪(- 2 5 ,+∞). （六）课堂小结 通过本节学习，要求大家： （1）掌握已知直线的倾斜角求斜率; （2）直线倾斜角的概念及直线倾斜角的范围； （3）直线斜率的概念； （4）已知直线的倾斜角（或斜率），求直线的斜率（或倾斜角）的方法. （七）作业 习题 3.1 A 组 3、4、5.