2018-2019学年湖北省孝感市高一下学期期末数学试题（解析版）

2018-2019学年湖北省孝感市高一下学期期末数学试题（解析版）

‎2018-2019学年湖北省孝感市高一下学期期末数学试题 一、单选题 ‎1．下列说法中正确的是(   )‎ A．棱柱的侧面可以是三角形 B．正方体和长方体都是特殊的四棱柱 C．所有的几何体的表面都能展成平面图形 D．棱柱的各条棱都相等 ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：棱柱的侧面是平行四边形，不可能是三角形，所以A不正确；球的表面就不能展成平面图形，所以C不正确；棱柱的侧棱与底面边长不一定相等，所以D不正确.‎ ‎【考点】本小题主要考查空间几何体的性质.‎ 点评：解决此类问题的主要依据是空间几何体的性质，需要学生有较强的空间想象能力.‎ ‎2．在空间直角坐标系中，点P（3，4，5）关于平面的对称点的坐标为( )‎ A．（−3，4，5） B．（−3，−4，5）‎ C．（3，−4，−5） D．（−3，4，−5）‎ ‎【答案】A ‎【解析】由关于平面对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标和竖坐标相等，即可得解.‎ ‎【详解】‎ 关于平面对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标和竖坐标相等，所以点P（3，4，5）关于平面的对称点的坐标为（−3，4，5）．故选A．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了空间点的对称点的坐标求法，属于基础题.‎ ‎3．把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A，B，C，D四点为顶点的三棱锥体积最大时，二面角的大小为（ ）‎ A．30° B．45° C．60° D．90°‎ ‎【答案】D ‎【解析】当平面ACD垂直于平面BCD时体积最大，得到答案.‎ ‎【详解】‎ 取中点，连接 ‎ ‎ ‎ 当平面ACD垂直于平面BCD时等号成立.‎ 此时二面角为90°‎ 故答案选D ‎【点睛】‎ 本题考查了三棱锥体积的最大值，确定高的值是解题的关键.‎ ‎4．方程表示的曲线是（ ）‎ A．一个圆 B．两个圆 C．半个圆 D．两个半圆 ‎【答案】D ‎【解析】原方程即 即 或 故原方程表示两个半圆．‎ ‎5．已知不同的两条直线m，n与不重合的两平面，，下列说法正确的是（ ）‎ A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 ‎【答案】C ‎【解析】依次判断每个选项的正误得到答案.‎ ‎【详解】‎ 若，，则或 A错误.‎ 若，，则或，B错误 若，，则，正确 若，，则或，D错误 故答案选C ‎【点睛】‎ 本题考查了线面关系，找出反例是解题的关键.‎ ‎6．已知数列2008，2009，1，-2008，-2009…这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2019项之和等于（ ）‎ A．1 B．2010 C．4018 D．4017‎ ‎【答案】C ‎【解析】计算数列的前几项，观察数列是一个周期为6的数列，计算得到答案.‎ ‎【详解】‎ 从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和 计算数列前几项得：‎ ‎2008，2009，1，-2008，-2009，-1,2008,2009,1，-2008…‎ 观察知：数列是一个周期为6的数列 每个周期和为0‎ 故答案为C ‎【点睛】‎ 本题考查了数列的前N项和，观察数列的周期是解题的关键.‎ ‎7．已知函数的零点是和（均为锐角），则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】将函数零点转化的解，利用韦达定理和差公式得到，得到答案.‎ ‎【详解】‎ 的零点是方程的解 即 均为锐角 ‎ ‎ 故答案为B ‎【点睛】‎ 本题考查了函数零点，韦达定理，和差公式，意在考查学生的综合应用能力.‎ ‎8．设集合，，若存在实数t，使得，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】得到圆心距与半径和差关系得到答案.‎ ‎【详解】‎ 圆心距 ‎ 存在实数t，使得 ‎ ‎ 故答案选C ‎【点睛】‎ 本题考查了两圆的位置关系，意在考查学生的计算能力.‎ ‎9．如图所示，在正方体中，侧面对角线，上分别有一点E，F，且，则直线EF与平面ABCD所成的角的大小为（ ）‎ A．0° B．60° C．45° D．30°‎ ‎【答案】A ‎【解析】证明一条直线与一个平面平行，除了可以根据直线与平面平行的判定定理以外，通常还可以通过平面与平面平行进行转化，比如过E作EG∥AB交BB1于点G，连接GF，根据三角形相似比可知：平面EFG∥平面ABCD．而EF在平面EFG中，故可以证得：EF∥平面ABCD．‎ ‎【详解】‎ 解：过E作EG∥AB交BB1于点G，连接GF，则，‎ ‎∵B1E＝C1F，B1A＝C1B，∴．‎ ‎∴FG∥B1C1∥BC．‎ 又∵EG∩FG＝G，AB∩BC＝B，‎ ‎∴平面EFG∥平面ABCD．而EF在平面EFG中，‎ ‎∴EF∥平面ABCD．‎ 故答案为：A ‎【点睛】‎ 本题主要考查空间直线和平面平行的判定，根据面面平行的性质是解决本题的关键．‎ ‎10．平面直角坐标系xOy中，角的顶点在原点，始边在x轴非负半轴，终边与单位圆交于点，将其终边绕O点逆时针旋转后与单位园交于点B，则B 的横坐标为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】，B的横坐标为，计算得到答案.‎ ‎【详解】‎ 有题意知：‎ B的横坐标为： ‎ 故答案选B ‎【点睛】‎ 本题考查了三角函数的计算，意在考查学生的计算能力.‎ ‎11．如图所示，在四边形ABCD中，，，.将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体，使平面平面BCD，则下列结论中正确的结论个数是（ ）‎ ‎ ‎ ‎①；‎ ‎②；‎ ‎③与平面A'BD所成的角为30°；‎ ‎④四面体的体积为 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 ‎【答案】B ‎【解析】根据题意，依次判断每个选项的正误得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ 平面平面且 平面 取的中点 ‎∵ ∴．‎ 又平面平面BCD，平面平面 ，‎ 平面．‎ ‎∴不垂直于．‎ 假设 ，‎ ‎∵为在平面 内的射影，∴，矛盾，‎ 故A错误；‎ ‎，平面平面，‎ 平面，在平面内的射影为．‎ ‎，‎ ‎ ，故B正确，‎ 为直线与平面所成的角，‎ ‎，故C错误；‎ ‎ ，故D错误．‎ 故答案选B ‎【点睛】‎ 本题考查了线线垂直，线面夹角，体积的计算，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.‎ ‎12．已知，两条不同直线与的交点在直线上，则的值为（ ）‎ A．2 B．1 C．0 D．-1‎ ‎【答案】C ‎【解析】联立方程求交点，根据交点在在直线 上，得到三角关系式，化简得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎ ‎ 交点在直线上 观察分母 和不是恒相等 故 故答案选C ‎【点睛】‎ 本题考查了直线方程，三角函数运算，意在考查学生的计算能力.‎ 二、填空题 ‎13．圆和圆交于A，B两点，则弦AB的垂直平分线的方程是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】弦AB的垂直平分线即两圆心连线.‎ ‎【详解】‎ 弦AB的垂直平分线即两圆心连线 方程为 ‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了弦的垂直平分线，转化为过圆心的直线可以简化运算.‎ ‎14．数列满足，（且），则数列的通项公式为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】利用累加法和裂项求和得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎ ‎ 当时满足 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了数列的累加法，裂项求和法，意在考查学生对于数列公式和方法的灵活运用.‎ ‎15．直线和将单位圆分成长度相等的四段弧，则________.‎ ‎【答案】0‎ ‎【解析】将单位圆分成长度相等的四段弧，每段弧对应的圆周角为，计算得到答案.‎ ‎【详解】‎ 如图所示：‎ 将单位圆分成长度相等的四段弧，每段弧对应的圆周角为 ‎ ‎ 或 故答案为0‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了直线和圆相交问题，判断每段弧对应的圆周角为是解题的关键.‎ ‎16．将边长为2的正沿边上的高折成直二面角，则三棱锥的外接球的表面积为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】【详解】‎ 解：根据题意可知三棱锥B﹣ACD的三条侧棱BD、DC、DA两两互相垂直，‎ 所以它的外接球就是它扩展为长方体的外接球，‎ ‎∵长方体的对角线的长为：，‎ ‎∴球的直径是，半径为，‎ ‎∴三棱锥B﹣ACD的外接球的表面积为：4π5π．‎ 故答案为：5π ‎ ‎【考点】外接球.‎ 三、解答题 ‎17．设直线的方程为．‎ ‎（1）若在两坐标轴上的截距相等，求的方程；‎ ‎（2）若不经过第二象限，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1），；（2）‎ ‎【解析】（1）分别求出横截距与纵截距，令其相等即可解出a 的值，代入方程即可得到直线方程；‎ ‎（2）由于不过第二象限所以斜率大于等于0，纵截距小于等于0，由题意列不等式组即可求得参数范围.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）令方程横截距与纵截距相等：，解得：或0，‎ 代入直线方程即可求得方程：，；‎ ‎（2）由l的方程为y＝－(a＋1)x＋a－2，欲使l不经过第二象限，‎ 当且仅当解得a≤－1，故所求的a的取值范围为(－∞，－1]．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线方程的系数与直线的位置关系，纵截距决定直线与y轴的交点，斜率决定直线的倾斜程度，解题时注意斜率与截距等于0的特殊情况，需要分别讨论，避免漏解.‎ ‎18．已知A、B两地的距离是100km，按交通法规定，A、B两地之间的公路车速x应限制在60~120km/h，假设汽油的价格是7元/L，汽车的耗油率为，司机每小时的工资是70元（设汽车为匀速行驶），那么最经济的车速是多少？如果不考虑其他费用，这次行车的总费用是多少？‎ ‎【答案】80,280‎ ‎【解析】将总费用表示出来，再利用均值不等式得到答案.‎ ‎【详解】‎ 设总费用为 则 ‎ 当时等号成立，满足条件 故最经济的车速是，总费用为280‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数表达式，均值不等式，意在考查学生解决问题的能力.‎ ‎19．在中，，且的边a，b，c所对的角分别为A，B，C.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若，试求周长的最大值.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）利用三角公式化简得到答案.‎ ‎（2）利用余弦定理得到，再利用均值不等式得到，得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）‎ 原式 ‎ ‎（2），‎ ‎ ‎ 时等号成立.‎ 周长的最大值为 ‎【点睛】‎ 本题考查了三角恒等变换，余弦定理，均值不等式，周长的最大值，意在考查学生解决问题的能力.‎ ‎20．如图，已知是正三角形，EA，CD都垂直于平面ABC，且，，F是BE的中点，‎ 求证：（1）平面ABC；‎ ‎（2）平面EDB.‎ ‎（3）求几何体的体积.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）见解析（3）‎ ‎【解析】（1）如图：证明得到答案.‎ ‎（2）证明得到答案.‎ ‎（3）几何体转化为，利用体积公式得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）∵F分别是BE的中点，取BA的中点M，‎ ‎∴FM∥EA，FMEA＝1‎ ‎∵EA、CD都垂直于平面ABC，∴CD∥EA，‎ ‎∴CD∥FM，又CD＝FM ‎∴四边形FMCD是平行四边形，∴FD∥MC，‎ FD⊄平面ABC，MC⊂平面ABC ‎∴FD∥平面ABC．‎ ‎（2）因M是AB的中点，△ABC是正三角形，所以CM⊥AB 又 EA垂直于平面ABC∴CM⊥AE，‎ 又 AE∩AB＝A，所以CM⊥面EAB，∵AF⊂面EAB ‎∴CM⊥AF，又CM∥FD，从而FD⊥AF，‎ 因F是BE的中点，EA＝AB所以AF⊥EB．‎ EB，FD是平面EDB内两条相交直线，所以AF⊥平面EDB．‎ ‎（3）几何体的体积等于 为中点，连接 ‎ 平面 ‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了线面平行，线面垂直，等体积法，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.‎ ‎21．已知：以点为圆心的圆与x轴交于点O，A，与y轴交于点O，B，其中0为原点。‎ ‎（1）求证：的面积为定值；‎ ‎（2）设直线与圆C交于点M，N，若，求圆C的方程.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）或 ‎【解析】（1）先计算半径，得到圆方程，再计算AB坐标，计算的面积得到答案.‎ ‎（2）根据计算得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎（1），过原点 ‎ ‎ 取 ‎ 取 ‎ ‎ 为定值.‎ ‎（2）设直线与圆C交于点M，N，若 设中点为，连接 圆心在上 ‎ 圆C的方程为：‎ 或 ‎【点睛】‎ 本题考查了三角形面积，直线和圆的位置关系，意在考查学生的计算能力.‎ ‎22．已知等比数列的前n项和为，，且.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若数列为递增数列，数列满足，求数列的前n项和.‎ ‎（3）在条件（2）下，若不等式对任意正整数n都成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）当时： ；当时：‎ ‎（2）（3）‎ ‎【解析】（1）直接利用等比数列公式得到答案.‎ ‎（2）利用错位相减法得到答案.‎ ‎（3）将不等式转化为，根据双勾函数求数列的最大值得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）‎ 当时： ‎ 当时：‎ ‎（2）数列为递增数列，，‎ 两式相加，化简得到 ‎ ‎ ‎（3）‎ 设 ‎ 原式 （为奇数）‎ 根据双勾函数知：或时有最大值.‎ 时，原式 时，原式 ‎ 故 ‎【点睛】‎ 本题考查了等比数列的通项公式，错位相减法求前N项和，恒成立问题，将恒成立问题转化为利用双勾函数求数列的最大值是解题的关键，此题综合性强，计算量大，意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用.‎