2021高考数学新高考版一轮习题：专题7 第53练 空间点、线、面的位置关系 Word版含解析

2021高考数学新高考版一轮习题：专题7 第53练 空间点、线、面的位置关系 Word版含解析

‎1．若平面α和直线a，b满足a∩α＝A，b⊂α，则a与b的位置关系一定是(　　)‎ A．相交 B．平行 C．异面 D．相交或异面 ‎2．(2019·淄博质检)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线B1C与直线A1C1所成角是(　　)‎ A．45° B．60° C．90° D．120°‎ ‎3．(2020·福州质检)已知E，F，G，H是空间内四个点，条件p：E，F，G，H四点不共面，条件q：直线EF和GH不相交．则p是q的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则(　　)‎ A．A1E⊥DC1 B．A1E⊥BD C．A1E⊥BC1 D．A1E⊥AC ‎5．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与棱AA1异面的棱有(　　)‎ A．8条 B．6条 C．4条 D．2条 ‎6．(2019·湖南五校联考)设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：‎ ‎①若m∥α，n∥α，则m∥n；②若α∥β，β∥γ，m⊥α则m⊥γ；‎ ‎③若m⊥α，n∥α，则m⊥n；④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β.‎ 其中正确命题的序号是(　　)‎ A．①② B．②③ C．③④ D．①④‎ ‎7.如图是棱长为a的正方体的平面展开图，则在这个正方体中，直线EF与MN所成角的余弦值为(　　)‎ A．0 B. C. D. ‎8．(多选)如图，在四面体ABCD中，点P，Q，M，N分别是棱AB，BC，CD，AD的中点，‎ 截面PQMN是正方形，则下列结论正确的为(　　)‎ A．AC⊥BD B．AC∥截面PQMN C．AC＝CD D．异面直线PM与BD所成的角为45°‎ ‎9．(2020·湖南桃江县联考)如图所示，正方形BCDE的边长为a，已知AB＝BC，将Rt△ABE沿BE边折起，折起后A点在平面BCDE上的射影为D点，则翻折后的几何体A－BCDE中AB与DE所成角的正切值为______．‎ ‎10．点P在正方体ABCD－A1B1C1D1的侧面BCC1B1及其边界上运动，并保持AP⊥BD1，若正方体边长为2，则PB的取值范围是________．‎ ‎11．(2019·广东实验中学期末)如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是边BC上的高，PA⊥平面ABC，则图中直角三角形的个数是(　　)‎ A．5 B．6‎ C．8 D．10‎ ‎12．如图，在透明塑料制成的长方体ABCD－A1B1C1D1容器内灌进一些水，将容器底面一边BC固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个说法：‎ ‎①水的部分始终呈棱柱状；‎ ‎②水面四边形EFGH的面积不改变；‎ ‎③棱A1D1始终与水面EFGH平行；‎ ‎④当E∈AA1时，AE＋BF是定值．‎ 其中说法正确的是(　　)‎ A．①②③ B．①③ C．①②③④ D．①③④‎ ‎13．(2019·唐山模拟)在△ABC中，∠ACB＝，AC＝BC，现将△ABC绕BC所在直线旋转至△PBC，设二面角P－BC－A的大小为θ，PB与平面ABC所成角为α，PC与平面PAB所成角为β，若0<θ<π，则(　　)‎ A．α>θ B．β<θ C．0<α≤ D.<β< ‎14．平面四边形ABCD中，AD＝AB＝，CD＝CB＝，且AD⊥AB，现将△ABD沿对角线BD翻折成△A′BD，则在△A′BD折起至转到平面BCD的过程中，直线A′C与平面BCD所成最大角的正切值为(　　)‎ A．2 B. C. D. ‎15．(2020·泉州质检)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，有以下结论：‎ ‎①BD∥平面CB1D1；②AD⊥平面CB1D1；③AC1⊥BD；④异面直线AD与CB1所成的角为60°.‎ 则其中结论正确的是________．‎ ‎16．在Rt△ABC中，已知BC＝a，AC＝b，D是斜边AB上任意一点(如图1)，沿直线CD将△ABC折成直二面角B－CD－A(如图2)．若折叠后A，B两点间的距离为d，则d的最小值为________．‎ 答案精析 ‎1．D　2.B　3.A　4.C　5.C　6.B　7.B　8.ABD　9.　10.[，2]　11.C　12.D ‎13．C　[如图，‎ ‎△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC，将△ABC绕BC所在直线旋转至△PBC，则PC⊥BC，且AC∩PC＝C，‎ 可得BC⊥平面PAC，‎ ‎∴二面角P－BC－A的大小θ＝∠ACP，‎ PB是平面ABC的一条斜线，则PC与平面ABC垂直时，PB与平面ABC所成角最大，则α的取值范围为，故C正确；‎ 此时α<θ，故A错误；‎ 当PC与平面ABC垂直时，三棱锥C－PAB满足CA⊥CB，CA⊥CP，CB⊥CP，CA＝CB＝CP，‎ 则PA＝PB＝AB，设AC＝BC＝1，则PA＝PB＝AB＝，C在平面PAB的射影为△PAB的中心，‎ 求得OP＝，即PC与平面PAB所成角β的余弦值 cos β＝＝>，则β<，故D错误；‎ 当θ无限接近0时，β无限接近，β>θ，故B错误．‎ 综上，正确的选项是C.故选C.]‎ ‎14．D　[取BD的中点O，连接A′O，CO，‎ ‎∵A′B＝A′D，‎ BC＝CD，‎ ‎∴A′O⊥BD，‎ CO⊥BD，‎ 又∵A′O∩CO＝O，‎ ‎∴BD⊥平面A′OC，‎ 从而平面BCD⊥平面A′OC，‎ 因此A′在平面BCD的射影在直线OC上，‎ 即∠A′CO为直线A′C与平面BCD所成角，‎ ‎∵AD＝AB＝，CD＝CB＝，且AD⊥AB，‎ ‎∴A′O＝1，OC＝2.‎ ‎∴sin∠A′CO＝sin∠OA′C ‎＝sin∠OA′C≤，‎ 即∠A′CO最大值为，因此直线A′C与平面BCD所成最大角的正切值为tan ＝，故选D.]‎ ‎15．①③‎ 解析　①∵BD∥B1D1，B1D1⊂平面CB1D1，BD⊄平面CB1D1，∴BD∥平面CB1D1，故本结论是正确的；‎ ‎②在正方形ABCD中，AB⊥AD，显然AD，BD不垂直，而BD∥B1D1，∴AD，B1D1不互相垂直，要是AD⊥平面CB1D1，则必有AD，B1D1互相垂直，显然是不可能的，故本结论是错误的；‎ ‎③∵CC1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴CC1⊥BD，在正方形ABCD中，AC⊥BD，CC1，AC⊂平面CC1A，CC1∩AC＝C，∴BD⊥平面CC1A，而C1A⊂平面CC1A，故AC1⊥BD，因此本结论是正确的；‎ ‎④∵AD∥BC，∴异面直线AD与CB1所成的角为∠BCB1，在正方形BCC1B1中，∠BCB1＝45°，故本结论是错误的，因此正确结论的序号是①③.‎ ‎16. 解析　设∠ACD＝θ，0<θ<，‎ 则∠BCD＝－θ，‎ 过A作AG⊥CD于G，过B作BH⊥CD交CD的延长线于H，‎ 由已知条件可得AG⊥平面BCD，‎ 所以AG⊥BG，AG⊥CH，‎ 所以AG＝bsin θ，BH＝acos θ，‎ CG＝bcos θ，CH＝asin θ，‎ 所以HG＝CH－CG＝asin θ－bcos θ，‎ 则d＝AB＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝.‎ 可知当θ＝，即当CD为Rt△ABC的角平分线时，d取得最小值.‎