2021高考数学新高考版一轮习题:专题3 第29练 高考大题突破练——导数与函数零点 Word版含解析

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2021高考数学新高考版一轮习题:专题3 第29练 高考大题突破练——导数与函数零点 Word版含解析

‎1.(2020·广州模拟)已知函数f (x)=ln x-ax(a∈R).‎ ‎(1)若函数f (x)在x=x0处的切线方程为x+y+1=0,求a的值;‎ ‎(2)若函数f (x)无零点,求a的取值范围.‎ ‎2.已知函数f (x)=(2x2-4ax)ln x,a∈R.‎ ‎(1)当a=0时,求函数f (x)的单调区间;‎ ‎(2)当a>1时,若函数g(x)=f (x)+x2在x∈[1,+∞)上有两个不同的零点,求a的取值范围.‎ ‎3.(2019·天津检测)已知函数f (x)=.‎ ‎(1)若f (a)=2,求实数a的值;‎ ‎(2)判断f (x)的奇偶性并证明;‎ ‎(3)设函数g(x)=-kx2+1(k∈R),若g(x)在(0,+∞)上没有零点,求k的取值范围.‎ ‎4.(2019·黑龙江大庆实验中学期末)已知函数f (x)=2sin x-xcos x-x,f′(x)为f (x)的导数.‎ ‎(1)求曲线y=f (x)在点A(0,f (0))处的切线方程;‎ ‎(2)证明:f′(x)在区间(0,π)上存在唯一零点;‎ ‎(3)设g(x)=x2-2x+a(a∈R),若对任意x1∈[0,π],均存在x2∈[1,2],使得f (x1)>g(x2),求实数a的取值范围.‎ 答案精析 ‎1.解 (1)函数f (x)=ln x-ax的导数为f′(x)=-a,‎ 由f (x)在x=x0处的切线方程为x+y+1=0,‎ 可得-a=-1,-1-x0=ln x0-ax0,‎ 解得a=2,x0=1.‎ ‎(2)函数f (x)=ln x-ax的导数为f′(x)=-a,‎ 当a≤0,由x>0可得f′(x)>0,‎ 即f (x)在(0,+∞)上递增时,f (1)=-a>0,x→0,f (x)→-∞,‎ ‎∴f (x)有且只有一个零点;‎ 当a>0时,由x>,f (x)递减,0,‎ 综上可得a>时,函数f (x)无零点.‎ ‎2.解 (1)函数f (x)的定义域为(0,+∞),‎ 当a=0时,f (x)=2x2ln x,‎ f′(x)=4xln x+2x=2x(2ln x+1),‎ 令f′(x)>0,即2ln x+1>0,‎ 解得x> ,‎ 令f′(x)<0,即2ln x+1<0,‎ 解得00,‎ 当x∈(1,a)时,g′(x)<0,‎ 当x∈(a,+∞)时,g′(x)>0,‎ ‎∴函数g(x)在(1,a)上单调递减,‎ 在(a,+∞)上单调递增,‎ ‎∵g(1)=1>0,g(2a)=4a2>0,‎ ‎∴要使函数g(x)在x∈[1,+∞)上有两个不同的零点,‎ 只需g(x)min=g(a)=a2(1-2ln a)<0,解得a>,‎ ‎∴a的取值范围为(,+∞).‎ ‎3.解 (1)因为f (a)==2,即ea=3,所以a=ln 3.‎ ‎(2)函数f (x)为奇函数.证明如下:‎ 由ex-1≠0,解得x≠0,所以函数f (x)的定义域关于原点对称,‎ 又因为f (-x)== ‎=-=-f (x),‎ 所以f (x)为奇函数.‎ ‎(3)由题意可知,g(x)=ex-kx2,‎ 函数g(x)在(0,+∞)上没有零点等价于方程k=在(0,+∞)上无实数解,‎ 设h(x)=(x>0),则h′(x)=(x>0),‎ 所以h(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,‎ 所以h(x)在x=2处取得极小值,也是最小值,‎ 所以当x>0时,h(x)≥h(2)=,‎ 所以k的取值范围为.‎ ‎4.(1)解 f′(x)=cos x+xsin x-1,所以f′(0)=0,即切线的斜率k=0,且f (0)=0,从而曲线y=f (x)在点A(0,f (0))处的切线方程为y=0.‎ ‎(2)证明 设g(x)=f′(x),‎ 则g(x)=cos x+xsin x-1,g′(x)=xcos x.‎ 当x∈时,g′(x)>0;‎ 当x∈时,g′(x)<0,‎ 所以g(x)在上单调递增,‎ 在上单调递减.‎ 又g(0)=0,g>0,g(π)=-2,‎ 故g(x)在(0,π)上存在唯一零点.‎ 所以f′(x)在(0,π)上存在唯一零点.‎ ‎(3)解 由已知,转化为f (x)min>g(x)min, 且g(x)=x2-2x+a(a∈R)的对称轴x=1∈[1,2],‎ 所以g(x)min=g(1)=a-1 .‎ 由(2)知,f′(x)在(0,π)只有一个零点,设为x0,且当x∈(0,x0)时,f′(x)>0;‎ 当x∈(x0,π)时,f′(x)<0,‎ 所以f (x)在(0,x0)上单调递增,在(x0,π)上单调递减.‎ 又f (0)=0,f (π)=0,‎ 所以当x∈[0,π]时,f (x)min=0.‎ 所以a-1<0,即a<1,因此,a的取值范围是(-∞,1).‎
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