高考数学一轮复习第八章数列8-4数列的求和练习理北师大版

高考数学一轮复习第八章数列8-4数列的求和练习理北师大版

‎8.4 数列的求和 核心考点·精准研析 考点一　分组转化法或并项法求和 ‎ ‎1.数列{an}的通项公式是an=(-1)n(2n-1),则该数列的前100项之和为 (　　)‎ A.-200 B.-100 C.200 D.100‎ ‎2.数列{1+2n-1}的前n项和为 (　　)‎ A.2n B.2n-1+1 C.n-1+2n D.n+2+2n ‎3.已知函数f(n)=且an=f(n)+f(n+1),则a1+a2+a3+…+a100等于 (　　)‎ A.0 B.100 C.-100 D.10 200‎ ‎4.已知数列{an}的通项公式是an=n2sin,则a1+a2+a3+…+a2 021等于 ‎ ‎(　　)‎ A.- B.‎ C. D.-‎ ‎5.已知正项数列{an}满足-6=an+1an.若a1=2,则数列{an}的前n项和Sn=________. ‎ ‎【解析】1.选D.由题意知S100=(-1+3)+(-5+7)+…+(-197+199)=2×50=100.‎ ‎2.选C.由题意得an=1+2n-1,‎ 所以Sn=n+=n+2n-1.‎ ‎3.选B.由题意,得a1+a2+a3+…+a100‎ ‎=12-22-22+32+32-42-42+52+…+992-1002-1002+1012‎ ‎=-(1+2)+(3+2)-(4+3)+…-(99+100)+(101+100)‎ ‎=-(1+2+…+99+100)+(2+3+…+100+101)‎ ‎=-50×101+50×103=100.‎ - 9 -‎ ‎4.选A.an=n2sin,‎ 所以a1+a2+a3+…+a2 021‎ ‎=-12+22-32+42-…-2 0192+2 0202-2 0212‎ ‎=(22-12)+(42-32)+…+(2 0202-2 0192)-2 0212‎ ‎=(1+2+3+4+…+2 019+2 020)-2 0212‎ ‎=-2 0212=.‎ ‎5.因为-6=an+1an,‎ 因此(an+1-3an)(an+1+2an)=0.‎ 又因为an>0,所以an+1=3an.‎ 又a1=2,所以{an}是首项为2,公比为3的等比数列.‎ 所以Sn==3n-1.‎ 答案:3n-1‎ 将T3变为:在数列{an}中a1=2,a2=2,an+2-an=1+(-1)n,n∈N*,则S60的值为 ‎(　　)‎ A.990 B.1 000 C.1 100 D.99‎ ‎【解析】选A.n为奇数时,an+2-an=0,an=2;n为偶数时,an+2-an=2,an=n.故S60=2×30+(2+4+…+60)=990.‎ ‎1.分组法求和的常见类型 ‎(1)若an=bn±cn,且{bn},{cn}为等差或等比数列,可采用分组法求{an}的前n项和.‎ ‎(2)通项公式为an=的数列,其中数列{bn},{cn}是等比或等差数列,可采用分组法求和.‎ ‎2.并项求和法 一个数列的前n项和中,可两两结合求解,则称之为并项求和.形如an=(-1)nf(n)类型,可采用两项合并求解.‎ - 9 -‎ 例如Sn=1002-992+982-972+…+22-12‎ ‎=(100+99)+(98+97)+…+(2+1)=5 050.‎ ‎【秒杀绝招】‎ 排除法解T2,把n=1代入排除D选项,把n=2代入排除A、B选项.‎ 考点二　错位相减法 ‎ ‎【典例】已知数列{an}的前n项和Sn=3n2+8n,{bn}是等差数列,且an=bn+bn+1. ‎ ‎ (1)求数列{bn}的通项公式.‎ ‎(2)令cn=,求数列{cn}的前n项和Tn.‎ ‎【解题导思】‎ 序号 题目拆解 ‎(1)‎ ‎①{an}的前n项和Sn=3n2+8n 知Sn求an ‎②{bn}是等差数列,且an=bn+bn+1‎ 求数列{bn}的通项公式 ‎(2)‎ ‎①cn=‎ 把an,bn代入cn=中,得cn的表达式 ‎②求数列{cn}的前n项和Tn 求得cn=3(n+1)·2n+1,根据Tn的特征利用乘公比错位相减法求和 ‎【解析】(1)由题意知,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=6n+5,当n=1时,a1=S1=11,满足上式,所以an=6n+5.设数列{bn}的公差为d,由 即 可解得所以bn=3n+1.‎ ‎(2)由(1)知cn==3(n+1)·2n+1.‎ 又Tn=c1+c2+…+cn,‎ 得Tn=3×[2×22+3×23+…+(n+1)×2n+1],‎ - 9 -‎ ‎2Tn=3×[2×23+3×24+…+(n+1)×2n+2],‎ 两式作差,得-Tn=3×[2×22+23+24+…+-(n+1)×]‎ ‎=3×‎ ‎=-3n·2n+2,所以Tn=3n·2n+2.‎ ‎【答题模板微课】‎ 本例题(2)的模板化过程:‎ 建模板:‎ ‎“由(1)知cn==3(n+1)·2n+1.”…………写通项 ‎“故Tn=3×[2×22+3×23+…+(n+1)×2n+1],” …………写前n项和 ‎“2Tn=3×[2×23+3×24+…+(n+1)×2n+2],” …………乘公比 ‎“两式作差,得-Tn=3×[2×22+23+24+…+2n+1-(n+1)×2n+2]=‎ ‎3×‎ ‎=-3n·2n+2,” …………错位相减 ‎“所以Tn=3n·2n+2.” …………整理出结果 套模板:‎ 已知an=2n-1,bn=2n+1,cn=an·bn,求数列{cn}的前n项和Tn.‎ ‎【解析】由题知cn=an·bn=(2n+1)2n-1, …………写通项 故Tn=3×20+5×21+7×22+…+(2n+1)×2n-1, …………写前n项和 ‎2Tn=3×21+5×22+7×23+…+(2n+1)×2n, …………乘公比 上述两式相减得,-Tn=3+22+23+…+2n-(2n+1)× …………错位相减 ‎=3+-(2n+1)×2n=(1-2n)×2n-1,‎ 得Tn=(2n-1)×2n+1. …………整理出结果 所以数列{cn}的前n项和为(2n-1)×2n+1.‎ - 9 -‎ 利用错位相减法的一般类型及思路 ‎(1)适用的数列类型:{anbn},其中数列{an}是公差为d的等差数列,{bn}是公比为q≠1的等比数列.‎ ‎(2)思路:设Sn=a1b1+a2b2+…+anbn(*),‎ 则qSn=a1b2+a2b3+…+an-1bn+anbn+1(**),‎ ‎(*)-(**)得:(1-q)Sn=a1b1+d(b2+b3+…+bn)-anbn+1,就转化成了根据公式可求的和.‎ ‎【易错提醒】在应用错位相减法求和时,若等比数列的公比为参数,应分公比等于1和不等于1两种情况求解.同时要注意等比数列的项数是多少.‎ 已知等比数列{an}中,a1+a2=8,a2+a3=24,Sn为数列{an}的前n项和.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式.‎ ‎(2)若bn=an·log3(Sn+1),求数列{bn}的前n项和Tn.‎ ‎【解析】(1)设等比数列{an}的公比为q,‎ 则q===3.‎ 故a1+a2=a1+3a1=8,解得a1=2.‎ 所以an=a1qn-1=2×3n-1.‎ ‎(2)由(1)知Sn=3n-1,‎ 所以bn=an·log3(Sn+1)=2×3n-1×log33n=2n×3n-1,‎ 所以Tn=b1+b2+b3+…+bn=2×30+4×31+6×32+…+2(n-1)×3n-2+2n×3n-1,①‎ ‎3Tn=2×31+4×32+6×33+…+2(n-1)×3n-1+2n×3n,②‎ ‎①-②得-2Tn=2×30+2×31+2×32+2×33+…+2×3n-1-2n×3n=3n(1-2n)-1.‎ 所以Tn=.‎ 考点三　裂项相消法求和 ‎ 命 题 精 ‎1.考什么:(1)裂项相消求通项公式、裂项相消求前n项和.(2)考查数学运算、逻辑推理的核心素养 ‎2.怎么考:裂项相消法常以解答题的形式出现,‎ - 9 -‎ 解 读 考查等差数列、等比数列、构造数列以及数学运算等问题.‎ ‎3.新趋势:裂项相消法求和作为考查等差、等比数列知识的综合题型,因其考查数学知识、数学方法、数学素养等较多成为高考命题的热点.‎ 学 霸 好 方 法 ‎ 1.裂项相消法求和的实质和解题关键 裂项相消法求和的实质是将数列中的通项分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的,其解题的关键就是准确裂项和消项.‎ ‎(1)裂项原则:一般是前边裂几项,后边就裂几项,直到发现被消去项的规律为止.‎ ‎(2)消项规律:消项后前边剩几项,后边就剩几项,前边剩第几项,后边就剩倒数第几项.‎ ‎2.交汇问题 数列与方程交汇求项数、与不等式交汇证明恒成立问题 裂项相消直接求和 ‎【典例】(2017·全国卷Ⅱ)等差数列{an}的前n项和为Sn,a3=3,S4=10,则=__________. ‎ ‎【解析】设等差数列的首项为a1,公差为d,所以 解得 所以an=n,Sn=,‎ 那么==2,‎ 那么=2‎ ‎=2=.‎ 答案:‎ - 9 -‎ 通项公式an具有怎样的特征可用裂项相消法求其前n项和?‎ 提示:如果一个数列的通项为分式,若分式的分母为两个因式的积,且这两个因式的差为定值时,可利用裂项相消法求和.‎ 与裂项相消求和有关的综合问题 ‎【典例】已知函数y=loga(x-1)+3(a>0,a≠1)的图像所过定点的横、纵坐标分别是等差数列{an}的第二项与第三项,若bn=,数列{bn}的前n项和为Tn,则T10= (　　)‎ A. B. C.1 D.‎ ‎【解析】选B.对数函数y=logax的图像过定点(1,0),所以函数y=loga(x-1)+3的图像过定点(2,3),‎ 则a2=2,a3=3,故an=n,‎ 所以bn===-,‎ 所以T10=1-+-+…+-=1-=.‎ 使用裂项法求和时,要特别注意哪些问题?‎ 提示:利用裂项相消法求和的注意事项 ‎(1)使用裂项法求和时,要注意正负项相消时消去了哪些项,保留了哪些项,切不可漏写未被消去的项,未被消去的项有前后对称的特点,实质上造成正负相消是此法的根源与目的.‎ ‎(2)将通项裂项后,有时需要调整前面的系数,使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等.如:若{an}是等差数列,则=,=.‎ - 9 -‎ 设等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=9,a2为整数,且Sn≤S5,则数列的前9项和为________. ‎ ‎【解析】由Sn≤S5得即 得-≤d≤-,又a2为整数,‎ 所以d=-2,an=a1+(n-1)d=11-2n,‎ ‎=,所以数列的前n项和Tn=‎ ‎=,‎ 所以T9=-×=-.‎ 答案:-‎ ‎1.若数列{an}的通项公式为an=22n+1,令bn=(-1)n-1,则数列{bn}的前n项和Tn=________. ‎ ‎【解析】由log2an=2n+1知,‎ bn=(-1)n-1=(-1)n-1,‎ - 9 -‎ 所以bn=(-1)n-1,‎ 当n为偶数时Tn=-+…+-=-,‎ 当n为奇数时,‎ Tn=-+…-+=+,‎ 所以Tn=-(-1)n.‎ 答案:-(-1)n ‎2.已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,且Sn满足n(n+1)+‎ ‎(n2+n-1)Sn-1=0(n∈N*),则S1+S2+…+S2 021=________.  ‎ ‎【解析】因为n(n+1)+(n2+n-1)Sn-1=0(n∈N*),所以(Sn+1)[n(n+1)Sn-1]=0.‎ 所以n(n+1)Sn-1=0,所以Sn==-.‎ 所以S1+S2+…+S2 021=++…+=1-=.‎ 答案: ‎ - 9 -‎