甘肃省天水市第一中学2020届高三上学期考试数学（文）试题

甘肃省天水市第一中学2020届高三上学期考试数学（文）试题

天水一中2020届2019—2020学年度第一学期第二次考试数学文科试题 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，集合，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先解得集合，，再根据补集的定义求解即可.‎ ‎【详解】解：，，，故选A．‎ ‎【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，指数不等式的解法以及补集的运算，属于基础题.‎ ‎2.下列说法错误的是（ ）‎ A. 命题“若，则”的逆否命题是“若，则”‎ B. “”是“”的充分不必要条件 C. 若为假命题，则、均为假命题 D. 命题：“，使得”，则非：“，”‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由命题的逆否命题为将条件、结论互换,再同时进行否定,可得A正确；‎ 由“”的充要条件为“”,可得B正确；‎ 由“且”命题的真假可得C错误；由特称命题的否定为全称命题可得D正确，得解.‎ ‎【详解】解:对于选项A,命题的逆否命题为将条件、结论互换,再同时进行否定,‎ 可得命题“若，则”的逆否命题是“若，则”,即A正确；‎ 对于选项B, “”的充要条件为“”,又“”是“”的充分不必要条件,即B正确；‎ 对于选项C, 为假命题，则、至少有1个为假命题,即C错误；‎ 对于选项D,由特称命题的否定为全称命题可得命题：“，使得”，则非：“，”,即D正确,‎ 故选.‎ ‎【点睛】本题考查了四种命题的关系、充分必要条件及特称命题与全称命题，重点考查了简单的逻辑推理，属基础题.‎ ‎3.已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，对于下列四个命题：‎ ‎①，，， ②，‎ ‎③，， ④，‎ 其中正确命题的个数有（ ）‎ A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎①，，，，则与可能相交，①错；②，，则可能在平面内，②错；③，，，则与可能异面，③错；④，，则与可能异面，④错，故所有命题均不正确，故选．‎ ‎【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定与性质、面面平行判定与性质，属于中档题. 空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，常采用画图（尤其是画长方体）、现实实物判断法（如墙角、桌面等）、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价.‎ ‎4.若，则的值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用二倍角公式求出的值，再利用诱导公式求出的值．‎ ‎【详解】解：，‎ ‎，‎ ‎．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查了余弦二倍角公式与诱导公式的应用问题，属于基础题．‎ ‎5.已知等差数列的前项为，且，，则使得取最小值时的为（ ）．‎ A. 1 B. ‎6 ‎C. 7 D. 6或7‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：由等差数列的性质，可得，又，所以，所以数列的通项公式为，令，解得，所以数列的前六项为负数，从第七项开始为正数，所以使得取最小值时的为 ‎，故选B．‎ 考点：等差数列的性质.‎ ‎6.若直线被圆截得弦长为4，则的最小值是（ ）‎ A. 9 B. ‎4 ‎C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 圆方程配方后求出圆心坐标和半径，知圆心在已知直线上，代入圆心坐标得满足的关系，用“‎1”‎的代换结合基本不等式求得的最小值．‎ ‎【详解】圆标准方程为，圆心为，半径为，‎ 直线被圆截得弦长4，则圆心在直线上，∴，，‎ 又，‎ ‎∴，当且仅当，即时等号成立．‎ ‎∴的最小值是9．‎ 故选A．‎ ‎【点睛】本题考查用基本不等式求最值，解题时需根据直线与圆的位置关系求得的关系，然后用“‎1”‎的代换法把凑配出可用基本不等式的形式，从而可求得最值．‎ ‎7.已知一个简单几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由三视图知，该几何体有四分之一圆锥与三棱锥构成，故体积为，故选A.‎ ‎8.函数的图象大致为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 当时，函数，由函数的单调性，排除；当时，函数，此时，代入特殊值验证，排除，只有正确.‎ ‎【详解】当时，函数，‎ 由函数在上递减，‎ 可得在上递减，排除；‎ 当时，函数，此时，‎ 而选项的最小值为2 ，故可排除，只有正确，故选B.‎ ‎【点睛】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.‎ ‎9.满足约束条件若取得最大值的最优解不唯一，则实数的值为（ ）‎ A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析:由得，，作出可行域如下图所示，当或时，即或 时，取得最大值的最优解不唯一，故选B.‎ 考点：线性规划.‎ ‎10.已知函数，，若对任意，总存在，使得成立，则实数的取值范围为　　‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别求出在的值域，以及在的值域，令在的最大值不小于在的最大值，得到的关系式，解出即可.‎ ‎【详解】对于函数，当时，，‎ 由，可得， 当时，，‎ 由，可得，‎ 对任意，， 对于函数， ， ， ， 对于，使得， ‎ 对任意，总存在，使得成立， ，解得，‎ 实数的取值范围为，故选B．‎ ‎【点睛】本题主要考查函数的最值、全称量词与存在量词的应用.属于难题.解决这类问题的关键是理解题意、正确把问题转化为最值和解不等式问题，全称量词与存在量词的应用共分四种情况：（1） 只需；（2） ，只需 ；（3）， 只需 ；（4），， .‎ ‎11.已知是平面上一个定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，则点的轨迹一定通过的（ ）‎ A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据可得，从而，其中，从而可判断点的轨迹通过的重心.‎ ‎【详解】因为，故，‎ 如图：‎ 设边上的高为，则，所以.‎ 取的中点为，则，‎ 所以，故的轨迹为射线（除点），‎ 故的轨迹一定通过的重心，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查向量的线性运算，注意根据向量的形式进行合理的转化，如题设中可转化为边的高，又如表示与的平分线共线的向量.本题属于中档题.‎ ‎12.定义上的减函数，其导函数满足，则下列结论正确的是（ ）‎ A 当且仅当 B. 当且仅当，‎ C. 对于 D. 对于,‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ f（x）是定义在R上的减函数，f′（x）＜0，（f′（x）≠0）．则，化为f（x）+f′（x）x＞f′（x），可得[（x﹣1）f（x）]′＞0，因此函数y＝（x﹣1）f（x）在R上单调递增，对x分类讨论即可得出．‎ ‎【详解】解：∵f（x）是定义在R上的减函数，f′（x）＜0，（f′（x）≠0）．‎ ‎∴，化为f（x）+f′（x）x＞f′（x），‎ ‎∴f（x）+f′（x）（x﹣1）＞0，‎ ‎∴[（x﹣1）f（x）]′＞0，‎ ‎∴函数y＝（x﹣1）f（x）在R上单调递增，‎ 而x＝1时，y＝0，则x＜1时，y＜0，‎ 当x∈（1，+∞）时，x﹣1＞0，故f（x）＞0，‎ 又f（x）是定义在R上的减函数，‎ ‎∴x≤1时，f（x）＞0也成立，‎ ‎∴f（x）＞0对任意x∈R成立．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、不等式的性质与解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.若命题“p：,”是假命题,则实数a的取值范围是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 若命题“p：∀x∈R，ax2+2x+1＞‎0”‎是假命题，则a＝0，或a＜0，或，进而得到实数a的取值范围．‎ ‎【详解】若命题“p：∀x∈R，ax2+2x+1＞‎0”‎是假命题，‎ 则∃x∈R，ax2+2x+1≤0，‎ 当a＝0时，y＝2x+1为一次函数，满足条件；‎ 当a＜0时，y＝ax2+2x+1是开口朝下的二次函数，满足条件；‎ 当a＞0时，y＝ax2+2x+1是开口朝上的二次函数，‎ 则函数图象与x轴有交点，即△＝4﹣‎4a≥0，‎ 解得：0＜a≤1‎ 综上可得：实数a的取值范围是：‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了二次函数的图象和性质，难度中档．‎ ‎14.等差数列，的前项和分别为，，且，则______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等差数列的性质可得，结合题中条件，即可求出结果.‎ ‎【详解】因为等差数列，的前n项和分别为，，‎ 由等差数列的性质，可得，‎ 又，‎ 所以.‎ 故答案为 ‎【点睛】本题主要考查等差数列性质，以及等差数列的前项和，熟记等差数列的性质与前项和公式，即可得出结果.‎ ‎15.已知为单位向量且夹角为 ，设，，在方向上的投影为______ ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 可知这样即可求出 及值，从而得出在方向上的投影的值．‎ ‎【详解】由题可知 ‎ ‎ 故，在方向上的投影为 即答案为.‎ ‎【点睛】考查单位向量及投影的定义，数量积的运算及计算公式．‎ ‎16.如图，在正三角形中，分别为各边的中点，分别为的中点，将沿折成正四面体，则四面体中异面直线与所成的角的余弦值为 ．‎ ‎【答案】．‎ ‎【解析】‎ 折成的四面体是正四面体，画出立体图形，根据中点找平行线，把所求的异面直线所成角转化为一个三角形的内角．如图所示，‎ 联结HE，取HE的中点K，联结GK，PK，则GK∥DH，故∠PGK即为所求的异面直线所成角或其补角．设这个正四面体的棱长为2，在△PGK中，PG＝，GK＝，PK＝＝，故cos∠PGK＝＝，即异面直线PG与DH 所成的角的余弦值是.‎ 三、解答题：共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.等比数列的各项均为正数，，，成等差数列，且满足．‎ Ⅰ求数列的通项公式；‎ Ⅱ设，，求数列的前n项和．‎ ‎【答案】（Ⅰ）an=（n∈N*）（Ⅱ）1-‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ Ⅰ根据条件列关于公比与首项的方程组，解得结果代入等比数列通项公式即可，Ⅱ先化简，再根据裂项相消法求结果.‎ ‎【详解】解：（Ⅰ）设公比为，则因为，，成等差数列， ‎ 所以2=+，即 因为，所以 ‎（Ⅱ）bn=‎ ‎=‎ ‎=-，n∈N*，‎ ‎∴数列{bn}的前n项和Sn=++…+‎ ‎=1-，n∈N*．‎ ‎【点睛】本题考查等比数列通项公式以及裂项相消法求和，考查基本分析求解能力，属中档题.‎ ‎18.已知函数．‎ ‎（1）求函数的单调区间.‎ ‎（2）若把向右平移个单位得到函数，求在区间上的最小值和最大值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）增区间是：减区间是：；（Ⅱ）-2，1.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和与差的正弦公式将函数化为，利用正弦函数的单调性解不等式，可得到函数的递增区间；（Ⅱ）若把向右平移个单位得到函数的解析式，求得的范围，结合正弦函数的单调性可得结果.‎ ‎【详解】（Ⅰ） ‎ ‎ ‎ ‎ ，‎ ‎ 由 得，‎ 增区间是：，‎ 由 得 减区间是：‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可得 把向右平移个单位得到函数，‎ ‎，‎ 因为，‎ 所以，‎ ‎，‎ 故所在区间上的最大值为1，‎ 最小值为.‎ ‎【点睛】本题主要考查辅助角公式的应用以及正弦函数的单调性、值域，属于中档题.形如，的函数求值域，分两步：（1）求出的范围；（2）由的范围结合正弦函数的单调性求出，从而可求出函数的值域.‎ ‎19.中，角的对边分别是，已知．‎ ‎（1）求的大小；‎ ‎（2）若，求周长最大值．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由正弦定理化角为边可得，再结合余弦定理可得，再求C即可；‎ ‎（2）由正弦定理化边为角可得，再由辅助角公式可得 ‎，再由利用三角函数值域的求法即可得解.‎ ‎【详解】解：（1）中，角，，的对边分别是，，，.‎ 由已知，得，‎ 即，，‎ 由，.‎ ‎（2），，‎ ‎，.‎ 设的周长为，则 ‎，，‎ 故周长的最大值为.‎ ‎【点睛】本题考查了正弦定理及辅助角公式，主要考查了三角函数的值域，重点考查了三角函数的有界性及运算能力，属中档题.‎ ‎20.在三棱锥中，是边长为的正三角形，平面平面，，M、N分别为、的中点.‎ ‎​‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）求三棱锥的体积.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）取 中点，连接，，证明平面，由线面垂直的性质可得；‎ ‎（2）由，即可求得三棱锥的体积．‎ ‎【详解】解：（1）证明：取中点D，连接，.‎ 因为，，所以且，‎ 因为，平面，平面，所以平面.‎ 又平面，所以；‎ ‎（2）解：因为平面，平面，所以平面平面，‎ 过N作于E，则平面，‎ 因为平面平面，，平面平面，平面，所以平面，‎ 又因为平面，所以，‎ 由于，所以 所以，‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题考查线面垂直，考查三棱锥体积的计算，解题的关键是掌握线面垂直的判定与性质，属于中档题．‎ ‎21.已知函数为R上的偶函数，为R上的奇函数，且.‎ ‎（1）求，的解析式；‎ ‎（2）若函数（）在R上只有一个零点，求实数a的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用函数的奇偶性列出方程组求解即可得到函数的解析式．‎ ‎（2）利用函数只有一个零点，通过换元法，对讨论，结合二次函数的性质求解即可．‎ ‎【详解】（1）因为①，且函数为上的偶函数，为上的奇函数，‎ ‎∴，‎ ‎∴②‎ 由①②得，，，‎ ‎（2）由.‎ 得：，‎ ‎，‎ 令，则，即方程（*）只有一个大于0的根，‎ ‎①当时，，满足条件；‎ ‎②当方程（*）有一正一负两根时，满足条件，则，∴，‎ ‎③当方程（*）有两个相等的且为正的实根时，‎ 则，∴，（舍）时，，‎ 综上：或.‎ ‎【点睛】本题考查函数的零点的求法，分类讨论思想的应用，函数的奇偶性的应用，考查计算能力，属于中档题．‎ ‎22.已知函数．‎ ‎（1）讨论函数的单调性；‎ ‎（2）若函数在定义域内恒有，求实数的取值范围；‎ ‎【答案】(1)见解析(2) ［0，2］‎ ‎【解析】‎ 分析：第一问对函数求导，结合函数的定义域，对的范围进行讨论，确定出函数在哪个区间上单调增，在哪个区间上单调减，最后确定出结果；第二问函数f(x)在定义域内恒有f(x)≤0，转化为函数的最大值小于等于零即可，最后转化为求函数最值问题来解决.‎ 详解：（1）‎ 当上递减； ‎ 当时，令，得（负根舍去）.‎ 当得，;令，得，‎ ‎∴上递增，在（上递减 ‎(2) 当,符合题意.‎ ‎ 当时，‎ ‎ ∴‎ ‎ 当时，在（）上递减，‎ ‎ 且的图象在（）上只有一个交点，设此交点为（），‎ ‎ 则当x∈时，，故当时，不满足 ‎ 综上，a的取值范围［0，2］‎ 点睛：该题属于应用导数研究函数的性质的综合题，考查了含有参数的函数的单调性的讨论问题，需要对参数的范围进行讨论，第二问恒成立问题转化为最值问题来处理即可得结果.‎