2021届高考数学一轮总复习课时作业49直线的交点与距离公式含解析苏教版

2021届高考数学一轮总复习课时作业49直线的交点与距离公式含解析苏教版

课时作业49　直线的交点与距离公式 一、选择题 ‎1．直线2x＋y＋m＝0和x＋2y＋n＝0的位置关系是(　C　)‎ A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．不能确定 解析：直线2x＋y＋m＝0的斜率k1＝－2，直线x＋2y＋n＝0的斜率为k2＝－，则k1≠k2，且k1k2≠－1.‎ ‎2．已知两直线l1：2x－y＋3＝0，l2：mx＋2y＋1＝0平行，则m的值是(　A　)‎ A．－4 B．－1‎ C．1 D．4‎ 解析：由两直线l1：2x－y＋3＝0，l2：mx＋2y＋1＝0平行可得，＝2且3≠－，解得m＝－4，故选A．‎ ‎3．如果直线l与直线3x－4y＋5＝0关于x轴对称，那么直线l的方程为(　B　)‎ A．3x＋4y－5＝0 B．3x＋4y＋5＝0‎ C．－3x＋4y－5＝0 D．－3x＋4y＋5＝0‎ 解析：因为直线l与直线3x－4y＋5＝0关于x轴对称，所以直线l的斜率与直线3x－4y＋5＝0的斜率相反，所以可设直线l的方程为3x＋4y＋b＝0，又因为两直线在x轴上的截距相等，所以b＝5，所以直线l的方程为3x＋4y＋5＝0，故选B．‎ ‎4．过两直线l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交点和原点的直线方程为(　D　)‎ A．19x－9y＝0 B．9x＋19y＝0‎ C．19x－3y＝0 D．3x＋19y＝0‎ 解析：法1：由得 则所求直线方程为：y＝x＝－x，即3x＋19y＝0.‎ 法2：设直线方程为x－3y＋4＋λ(2x＋y＋5)＝0，‎ 即(1＋2λ)x－(3－λ)y＋4＋5λ＝0，又直线过点(0,0)，‎ 所以(1＋2λ)·0－(3－λ)·0＋4＋5λ＝0，‎ 解得λ＝－，故所求直线方程为3x＋19y＝0.‎ ‎5．(2020·安庆模拟)若直线l1：x＋3y＋m＝0(m>0)与直线l2：2x＋6y－3＝0的距离为，则m＝(　B　)‎ 5‎ A．7 B． C．14 D．17‎ 解析：直线l1：x＋3y＋m＝0(m>0)，即2x＋6y＋‎2m＝0，因为它与直线l2：2x＋6y－3＝0的距离为所以＝，求得m＝.‎ ‎6．从点(2,3)射出的光线沿与向量a＝(8,4)平行的直线射到y轴上，则反射光线所在的直线方程为(　A　)‎ A．x＋2y－4＝0 B．2x＋y－1＝0‎ C．x＋6y－16＝0 D．6x＋y－8＝0‎ 解析：由直线与向量a＝(8,4)平行知，过点(2,3)的直线的斜率k＝，所以直线的方程为y－3＝(x－2)，其与y轴的交点坐标为(0,2)，又点(2,3)关于y轴的对称点为(－2,3)，所以反射光线过点(－2,3)与(0,2)，由两点式知A正确．‎ ‎7．一只虫子从点(0,0)出发，先爬行到直线l：x－y＋1＝0上的P点，再从P点出发爬行到点A(1,1)，则虫子爬行的最短路程是(　B　)‎ A． B．2‎ C．3 D．4‎ 解析：点(0,0)关于直线l：x－y＋1＝0的对称点为(－1,1)，则最短路程为＝2.‎ ‎8．已知A(3，－1)，B(5，－2)，点P在直线l：x＋y＝0上，若使|PA|＋|PB|取最小值，则点P的坐标是(　C　)‎ A．(1，－1) B．(－1,1)‎ C． D．(－2,2)‎ 解析：‎ 如图所示，点A(3，－1)关于直线l：x＋y＝0的对称点为C(1，－3)，直线BC的方程为＝，即x－4y－13＝0，与x＋y＝0联立可得直线BC与直线l的交点坐标为 5‎ ‎.|PA|＋|PB|＝|PC|＋|PB|，由图可知，当点P的坐标为时，|PB|＋|PC|取得最小值，即|PA|＋|PB|取得最小值，故选C．‎ 二、填空题 ‎9．若直线l1：y＝kx＋2－k与直线l2关于直线y＝x－1对称，则直线l2恒过定点(3,0)．‎ 解析：∵直线l1：y＝kx＋2－k与直线l2关于直线y＝x－1对称，∴直线l2的方程为x－1＝k(y＋1)＋2－k，即x－ky－3＝0，显然直线l2经过定点(3,0)．‎ ‎10．已知直线l1经过点A(m,1)，B(－3,4)，直线l2经过点C(1，m)，D(－1，m＋1)，当直线l1平行于l2时，m＝3.‎ 解析：由直线l2经过点C(1，m)，D(－1，m＋1)，可得l2的斜率为＝－.因为直线l1平行于l2，所以直线l1的斜率也是－，即＝－，解得m＝3.‎ ‎11．已知A(2,0)，l：x＋y－3＝0，若一条光线从点A出发，经过l反射到y轴结束，则这条光线经过的最短路程是3.‎ 解析：设点A关于直线l的对称点为B(m，n)，则 解得即B(3,1)．‎ 因为点B到y轴的距离就是这条光线经过的最短路程，所以最短路程是3.‎ ‎12．(2020·泰州中学质检)在平面直角坐标系xOy中，直线l：(2k－1)x＋ky＋1＝0，则当实数k变化时，原点O到直线l的距离的最大值为.‎ 解析：(2k－1)x＋ky＋1＝0可化为(1－x)＋k(2x＋y)＝0，由解得x＝1，y＝－2，即直线l过定点P(1，－2)．由于直线(2k－1)x＋ky＋1＝0经过定点P(1，－2)，又|OP|＝＝，所以原点到直线l的距离的最大值为.‎ 三、解答题 ‎13．已知两条直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a，b的值．‎ ‎(1)l1⊥l2，且l1过点(－3，－1)；‎ ‎(2)l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．‎ 解：(1)由已知可得l2的斜率存在，‎ ‎∴k2＝1－A．若k2＝0，则1－a＝0，a＝1.‎ ‎∵l1⊥l2，直线l1的斜率k1必不存在，∴b＝0.‎ 又∵l1过点(－3，－1)，∴－‎3a＋4＝0，即a＝(矛盾)，‎ ‎∴此种情况不存在，∴k2≠0，即k1，k2都存在．‎ ‎∵k2＝1－a，k1＝，l1⊥l2，‎ ‎∴k1k2＝－1，即(1－a)＝－1.　①‎ 又∵l1过点(－3，－1)，∴－‎3a＋b＋4＝0.　②‎ 5‎ 由①②联立，解得a＝2，b＝2.‎ ‎(2)∵l2的斜率存在，l1∥l2，‎ ‎∴直线l1的斜率存在，k1＝k2，即＝1－A．　③‎ 又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，且l1∥l2，‎ ‎∴l1，l2在y轴上的截距互为相反数，即＝B．　④‎ 联立③④，解得或 ‎∴a＝2，b＝－2或a＝，b＝2.‎ ‎14．已知方程(2＋λ)x－(1＋λ)y－2(3＋2λ)＝0与点P(－2,2)．‎ ‎(1)证明：对任意的实数λ，该方程都表示直线，且这些直线都经过同一定点，并求出这一定点的坐标；‎ ‎(2)证明：该方程表示的直线与点P的距离d小于4.‎ 解：(1)显然2＋λ与－(1＋λ)不可能同时为零，故对任意的实数λ，该方程都表示直线．‎ ‎∵方程可变形为2x－y－6＋λ(x－y－4)＝0，‎ ‎∴解得 故直线经过的定点为M(2，－2)．‎ ‎(2)证明：过P作直线的垂线段PQ，‎ 由垂线段小于斜线段知|PQ|≤|PM|，‎ 当且仅当Q与M重合时，|PQ|＝|PM|，‎ 此时对应的直线方程是y＋2＝x－2，即x－y－4＝0.‎ 但直线系方程唯独不能表示直线x－y－4＝0，‎ ‎∴M与Q不可能重合，而|PM|＝4，‎ ‎∴|PQ|<4，故所证成立．‎ ‎15．已知平面上一点M(5,0)，若直线上存在点P，使|PM|＝4，则称该直线为“切割型直线”．下列直线中是“切割型直线”的是②③.(填上所有正确答案的序号)‎ ‎①y＝x＋1；②y＝2；③y＝x；④y＝2x＋1.‎ 解析：根据题意，可通过求各直线上的点到点M的最小距离，即点M到直线的距离d来分析．对于①，d＝＝3>4，故直线上不存在点到点M的距离等于4，所以该直线不是“切割型直线”；对于②，d＝2<4，所以在直线上可以找到两个不同的点，使之到点M的距离等于4，所以该直线是“切割型直线”；对于③，d＝＝4，所以直线上存在一点，使之到点M的距离等于4，所以该直线是“切割型直线”；对于④，d＝ 5‎ ‎＝>4，故直线上不存在点到点M的距离等于4，所以该直线不是“切割型直线”．‎ ‎16．(2020·成都市诊断性检测)在平面直角坐标系xOy中，定义两点A(x1，y1)，B(x2，y2)间的折线距离为d(A，B)＝x1－x2||＋|y1－y2|.已知点O(0,0)，C(x，y)，d(O，C)＝1，则的取值范围是[，1]．‎ 解析：根据定义有：d(O，C)＝|0－x|＋|0－y|＝1，‎ 即|x|＋|y|＝1，该方程等价于 或 或或 画出图形如图所示，‎ ＝表示点(x，y)与点(0,0)的距离，所以∈[，1]．‎ 5‎