2013版高考数学二轮复习专题训练：推理与证明

2013版高考数学二轮复习专题训练：推理与证明

‎2013版高考数学二轮复习专题训练：推理与证明 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．‎ 第Ⅰ卷(选择题　共60分)‎ 一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1．用反证法证明命题“，如果可被5整除，那么，至少有1个能被5整除．则假设的内容是( )‎ A．，都能被5整除 B．，都不能被5整除 ‎ C．不能被5整除 D．，有1个不能被5整除 ‎ ‎【答案】B ‎2．设为正整数,,经计算得 观察上述结果,可推测出一般结论( )‎ A． B． C． D．以上都不对 ‎【答案】B ‎3．用反证法证明命题“若，则全为‎0”‎其反设正确的是( )‎ A．至少有一个不为0 B． 至少有一个为0 ‎ C． 全不为0 D． 中只有一个为0‎ ‎【答案】A ‎4．给出下面四个类比结论：‎ ‎①实数若则或；类比向量若，则或 ‎②实数有类比向量有 ‎③向量，有；类比复数，有 ‎④实数有，则；类比复数，有，则 其中类比结论正确的命题个数为( )‎ A．0 B．‎1 ‎C．2 D．3‎ ‎【答案】B ‎5．若定义在正整数有序对集合上的二元函数满足：①，② ③，则的值是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎6．用反证法证明命题：“若整数系数一元二次方程有有理根，那么 中至少有一个是偶数”时，应假设( )‎ A．中至多一个是偶数 B． 中至少一个是奇数 ‎ C． 中全是奇数 D． 中恰有一个偶数 ‎【答案】C ‎7．由…若a>b>0,m>0,则与之间大小关系为( )‎ A．相等 B．前者大 C．后者大 D．不确定 ‎【答案】B ‎8．下面几种推理过程是演绎推理的是( )‎ A．两条直线平行，同旁内角互补，如果和是两条平行直线的同旁内角，则．‎ B．由平面三角形的性质，推测空间四面体性质．‎ C．某校高三共有10个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班都超过50人．‎ D．在数列中，，由此归纳出的通项公式．‎ ‎【答案】A ‎9．在求证“数列，，不可能为等比数列”时最好采用( )‎ A．分析法 B．综合法 C．反证法 D．直接法 ‎【答案】C ‎10．下列哪个平面图形与空间的平行六面体作为类比对象比较合适( )‎ A．三角形 B．梯形 C．平行四边形 D．矩形 ‎【答案】C ‎11．给出下列四个推导过程：‎ ‎①∵a，b∈Ｒ＋，　　∴（b／a）+（a／b）≥2=2; ‎ ‎　　②∵x，y∈Ｒ＋，　　∴lgx+lgy≥2;‎ ‎　③∵a∈R，a≠0，　　∴（4／a）+a≥2=4;‎ ‎　④∵x，y∈R，xy＜0，‎ ‎　　∴（x／y）+（y／x）=-［（-（x／y））+（-（y／x））］≤-2=-2.‎ 其中正确的是( )‎ A．①② B．②③ C．③④ D．①④‎ ‎【答案】D ‎12．在证明命题“对于任意角，”的过程：“”中应用了( )‎ A．分析法 B．综合法 C．分析法和综合法综合使用 D．间接证法 ‎【答案】Ｂ 第Ⅱ卷(非选择题　共90分)‎ 二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)‎ ‎13．观察下列式子：，， ，由此可归纳出的一般结论是 ．‎ ‎【答案】‎ ‎14．三段论推理的规则为____________‎ ‎①如果p,p真，则q真;②如果则;③如果a//b,b//c, 则a//c ④如果 ‎【答案】②‎ ‎15．若a、b是正常数，a≠b，x、y∈(0，＋∞)，则＋≥，当且仅当＝时上式取等号．利用以上结论，可以得到函数f(x)＝＋的最小值为____________．‎ ‎【答案】35‎ ‎16．同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案，则按此规律第23个图案中需用黑色瓷砖 ‎ 块.‎ ‎【答案】100‎ 三、解答题 (本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)‎ ‎17．如图，已知矩形所在平面，分别是的中点．‎ 求证：（1）平面；（2）．‎ ‎【答案】（1）取的中点，连结．‎ 分别为的中点．‎ 为的中位线，‎ ‎，，而为矩形，‎ ‎，且．‎ ‎，且．‎ 为平行四边形，，而平面，平面，‎ 平面．‎ ‎(2）矩形所在平面，‎ ‎，而，与是平面内的两条直交直线，‎ 平面，而平面，‎ ‎．‎ 又，．‎ ‎18．若都是正实数，且 求证：与中至少有一个成立. ‎ ‎【答案】假设和都不成立，则有和同时成立，‎ 因为且，‎ 所以且 两式相加，得.‎ 所以，这与已知条件矛盾.‎ 因此和中至少有一个成立.‎ ‎19．有一种密英文的明文(真实文)按字母分解,其中英文的a,b,c,…,z的26个字母(不分大小写),依次对应1,2,3,…,26这26个自然数,见如下表格:‎ 给出如下变换公式:‎ 将明文转换成密文,如8→+13=17,即h变成q；如5→=3，即e变成c.‎ ‎①按上述规定，将明文good译成的密文是什么？‎ ‎②按上述规定，若将某明文译成的密文是shxc，那么原来的明文是什么？‎ ‎【答案】①g→7→=4→d; o→15→=8→h; d→o;‎ 则明文good的密文为dhho ‎②逆变换公式为 则有s→19→2×19-26=12→l； h→8→2×8-1=15→o；‎ x→24→2×24-26=22→v； c→3→2×3-1=5→e 故密文shxc的明文为love ‎ ‎20．已知是整数，是偶数，求证：也是偶数．‎ ‎【答案】（反证法）假设不是偶数，即是奇数．‎ 设，则．‎ 是偶数，‎ 是奇数，这与已知是偶数矛盾．‎ 由上述矛盾可知，一定是偶数．‎ ‎21．用三段论方法证明：．‎ ‎【答案】因为，所以（此处省略了大前提），‎ 所以（两次省略了大前提，小前提），‎ 同理，，，‎ 三式相加得．‎ ‎(省略了大前提，小前提）‎ ‎22．设 f(x)＝x2＋a. 记f1(x)＝f(x)，fn(x)＝f(fn－1(x))，n＝1，2，3，…，‎ M＝{a∈R|对所有正整数n，≤2}．证明，M＝[－2，]．‎ ‎【答案】⑴ 如果a＜－2，则＝|a|＞2，aM．‎ ‎⑵ 如果－2≤a≤，由题意，f1(0)＝a，fn(0)＝(fn－1(0))2＋a，n＝2，3，……．则 ‎① 当0≤a≤时，≤，("n≥1).‎ ‎ 事实上，当n＝1时，＝|a|≤，设n＝k－1时成立(k≥2为某整数），‎ 则对n＝k，≤＋a≤()2＋＝．‎ ‎② 当－2≤a＜0时，≤|a|，("n≥1)．‎ 事实上，当n＝1时，≤|a|，设n＝k－1时成立(k≥2为某整数)，则对n＝k，有 ‎－|a|＝a≤＋a≤a2＋a 注意到当－2≤a＜0时，总有a2≤－‎2a，即a2＋a≤－a＝|a|．从而有≤|a|．由归纳法，推出[－2，]ÍM．‎ ‎⑶ 当a＞时，记an＝fn(0)，‎ 则对于任意n≥1，an＞a＞且an＋1＝fn＋1(0)＝f(fn(0))＝f(an)＝a＋a．‎ 对于任意n≥1，an＋1－an＝a－an＋a＝(an－)2＋a－≥a－．则an＋1－an≥a－．‎ 所以，an＋1－a＝an＋1－a1≥n(a－)．当n＞时，an＋1＞n(a－)＋a＞2－a＋a＝2，‎ 即fn＋1(0)＞2．因此aM．综合⑴，⑵，⑶，我们有M＝[－2，]‎