高考数学二轮复习教案：第二编 专题一 第1讲
第二编
讲专题
专题一 函数与导数
第1讲 函数的图象与性质
「考情研析」 1.对函数图象的考查主要有两个方面：一是识图，二是用图，即利用函数的图象，通过数形结合的思想解决有关函数性质的问题． 2.求函数零点所在的区间、零点的个数及参数的取值范围是高考的常见题型，主要以选填的形式出现.
核心知识回顾
1.函数的单调性
单调性的定义的等价形式：设x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，
那么(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0⇔＞0⇔f(x)在[a，b]上是增函数；
(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0⇔＜0⇔f(x)在[a，b]上是减函数．
2．函数的奇偶性、周期性
(1)奇偶性是函数在其定义域上的整体性质，对于定义域内的任意x(定义域关于原点对称)，都有f(－x)＝－f(x)成立，则f(x)为奇函数(都有f(－x)＝f(x)成立，则f(x)为偶函数)．
(2)周期性是函数在其定义域上的整体性质，一般地，对于函数f(x)，如果对于定义域内的任意一个x的值，若f(x＋T)＝f(x)(T≠0)，则f(x)是周期函数，T是它的一个周期．
3．关于函数的周期性、对称性的结论
(1)函数的周期性
①若函数f(x)满足f(x＋a)＝f(x－a)，则f(x)为周期函数，2a是它的一个周期．
②设f(x)是R上的偶函数，且图象关于直线x＝a(a≠0)对称，则f(x)是周期函数，2a是它的一个周期．
③设f(x)是R上的奇函数，且图象关于直线x＝a(a≠0)对称，则f(x
)是周期函数，4a是它的一个周期．
(2)函数图象的对称性
①若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(a－x)，
即f(x)＝f(2a－x)，则f(x)的图象关于直线x＝a对称．
②若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝－f(a－x)，
即f(x)＝－f(2a－x)，
则f(x)的图象关于点(a,0)对称．
③若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，
则函数f(x)的图象关于直线x＝对称．
4．函数与方程
(1)零点定义：x0为函数f(x)的零点⇔f(x0)＝0⇔(x0,0)为f(x)的图象与x轴的交点．
(2)确定函数零点的三种常用方法
①解方程判定法：解方程f(x)＝0.
②零点定理法：根据连续函数y＝f(x)满足f(a)f(b)＜0，判定函数在区间(a，b)内存在零点．
③数形结合法：尤其是方程两端对应的函数类型不同时多用此法求解.
热点考向探究
考向1 函数的性质
例1 (1)定义在R上的函数f(x)在区间(－∞，2)上是增函数，且函数f(x＋2)的图象关于直线x＝0对称，则( )
A．f(1)＞f(3)＞f(－1) B．f(1)＞f(－1)＞f(3)
C．f(3)＝f(1)＞f(－1) D．f(0)＞f(3)＞f(－1)
答案 C
解析 ∵f(x＋2)的图象关于y轴对称，∴y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，∴f(2＋x)＝f(2－x)，∴f(3)＝f(1)，而函数f(x)在区间(－∞，2)上是增函数，∴f(－1)＜f(0)＜f(1)＝f(3)．
(2)(2019·鞍山一中高三三模)奇函数f(x) 的定义域为R，若f(x＋1)为偶函数，且f(－1)＝－1，则f(2018)＋f(2019)＝( )
A．－2 B．－1
C．0 D．1
答案 B
解析 由题意，奇函数f(x)的定义域为R，若f(x＋1)为偶函数，则f(－x＋1)＝f(x＋1)，即f(x＋2)＝－f(x)，则f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，即f(x)是周期为4的周期函数，f(2018)＝f(504×4＋2)＝f(2)＝－f(0)＝0，f(2019)＝f(504×5－1)＝f(－1)＝－1，则f(2018)＋f(2019)＝0－1＝－1，故选B.
(3)(2019·永州市高三摸底考试)已知函数f(x)＝ex－e－x－2x(x∈R)，则不等式f(1＋x)＋f(1－x2)≥0的解集是( )
A．[－1,2]
B．[－2,1]
C．(－∞，－1]∪[2，＋∞)
D．(－∞，－2]∪[1，＋∞)
答案 A
解析 因为函数f(x)＝ex－e－x－2x(x∈R)，所以f(－x)＝e－x－ex＋2x＝－f(x)，因此函数f(x)为奇函数，所以f(1＋x)＋f(1－x2)≥0化为f(1＋x)≥f(x2－1)，又f′(x)＝ex＋e－x－2≥0在R上恒成立，因此函数f(x)＝ex－e－x－2x在R上为增函数，所以1＋x≥x2－1，即x2－x－2≤0，解得－1≤x≤2.故选A.
(1)函数奇偶性的判断主要是根据定义，涉及奇偶性与单调性相结合的问题应明确奇、偶函数的单调性特征，将所研究的问题转化为同一个单调区间，涉及偶函数的单调性应注意f(x)＝f(－x)＝f(|x|)的应用．
(2)含参数奇、偶函数问题，应根据奇偶函数的定义列出关于参数的方程，而对原点处有定义的奇函数，可直接用f(0)＝0列式求参数．
1．(2019·永州市高三第三次模拟)已知f(x)满足∀x∈R，f(x＋2)＝f(x)，且x∈[1,3)时，f(x)＝log2x＋1，则f(2019)的值为( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
答案 C
解析 因为f(x)满足∀x∈R，f(x＋2)＝f(x)，所以函数f(x)的最小正周期为2，又x∈[1,3)时，f(x)＝log2x＋1，因此f(2019)＝f(1)＝log21＋1＝1.故选C.
2．奇函数f(x)满足f(x－2)＝－f(x)，且x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2，则f(2018)＋f(2019)＋f(2020)的值为________．
答案 －1
解析 函数f(x)是奇函数，则f(0)＝0，由f(x)＝2x－x2，x∈[0,2]知f(1)＝1，f(2)＝0，又f(x－2)＝－f(x)，所以f(x)＝－f(x－2)＝－[－f(x－4)]＝f(x－4)，所以f(x
)的周期为4，所以f(2018)＋f(2019)＋f(2020)＝f(2)＋f(3)＋f(0)＝f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－1.
3．已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－4x.那么，不等式f(x＋2)<5的解集是________．
答案 (－7,3)
解析 ∵f(x)是偶函数，∴f(x)＝f(|x|)．又x≥0时，f(x)＝x2－4x，∴不等式f(x＋2)<5⇒f(|x＋2|)<5⇒|x＋2|2－4|x＋2|<5⇒(|x＋2|－5)(|x＋2|＋1)<0⇒|x＋2|－5<0⇒|x＋2|<5⇒－5
b，c>d.若f(x)＝2019＋(x－a)(x－b)的零点为c，d，则下列不等式正确的是( )
A．a>c>d>b B．a>d>c>b
C．c>d>a>b D．c>a>b>d
答案 A
解析 由题意，设g(x)＝(x－a)(x－b)，则f(x)＝2019＋g(x)，所以g(x)＝0的两个根是a，b，由题意知，f(x)＝0的两根c，d，也就是g(x)＝－2019的两根，画出g(x)(开口向上)以及直线y＝－2019的大致图象，则两函数图象的交点的横坐标就是c，d，g(x)与x轴的交点的横坐标就是a，b，又a＞b，c＞d，则c，d在a，b内，由图得，a>c>d>b，故选A.
(2)函数y＝lg x－x在(0，＋∞)上的零点个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
答案 C
解析 画出函数y＝lg x与y＝x的图象，如图，易知两函数图象在(0，＋∞)上有3个交点，即函数y＝lg x－sinx在(0，＋∞)上有3个零点，故选C.
(3)(2019·天津九校联考)已知函数f(x)＝且函数y＝f(x)－2x恰有三个不同的零点，则实数a的取值范围是( )
A．[－4，＋∞) B．[－8，＋∞)
C．[－4,0] D．(0，＋∞)
答案 A
解析 方程f(x)－2x＝0⇔f(x)＝2x⇔f(x)－a＝2x－a，所以函数y＝f(x)－2x恰有三个不同的零点等价于y＝f(x)－a与y＝2x－a有三个不同的交点．记g(x)＝f(x)－a＝画出函数简图如下，
画出函数y＝2x如图中过原点的虚线l，平移l要保证图象有三个交点，向上最多平移到l′位置，向下平移一直会有三个交点，所以－a≤4，即a≥－4，故选A.
判断函数零点的方法
(1)解方程法，即解方程f(x)＝0，方程有几个解，函数f(x)就有几个零点．
(2)图象法，画出函数f(x)的图象，图象与x轴的交点个数即为函数f(x)的零点个数．
(3)数形结合法，即把函数等价转化为两个函数，通过判断两个函数图象交点的个数得出函数零点的个数．
(4)利用零点存在性定理判断．
1．(2019·广西桂林市高三综合能力检测)
下列函数中是奇函数且有零点的是( )
A．f(x)＝x＋|x| B．f(x)＝x－1＋x
C．f(x)＝＋tanx D．f(x)＝sin
答案 C
解析 因为f(x)＝x＋|x|，所以f(－x)＝－x＋|x|，而－f(x)＝－x－|x|，所以不是奇函数，排除A；因为f(x)＝x－1＋x，所以f(－x)＝－x－1－x＝－f(x)，所以函数f(x) 是奇函数，但令f(x)＝0，可知方程无解，即f(x) 没有零点，排除B；因为f(x)＝sin＝cosx，所以f(－x)＝cosx＝f(x)，即f(x)为偶函数，排除D；因为f(x)＝＋tanx，所以f(－x)＝－－tanx＝－f(x)，所以f(x)是奇函数，又由正切函数的图象和反比例函数的图象易知，y＝－与y＝tanx必然有交点，因此函数f(x)＝＋tanx必有零点．故选C.
2．(2019·马鞍山市一模)若函数f(x)＝ln (x－1)＋－ax(a>0)恰有一个零点，则实数a的值为( )
A. B．2
C． D．e
答案 A
解析 函数f(x)的定义域为(1，＋∞)，若函数f(x)＝ln (x－1)＋－ax(a>0)恰有一个零点，等价为f(x)
＝ln (x－1)＋－ax＝0恰有一个根，即ln (x－1)＋＝ax恰有一个根，即函数y＝ln (x－1)＋和y＝ax的图象恰有一个交点，即当a>0时，y＝ax是函数y＝ln (x－1)＋的切线．设g(x)＝ln (x－1)＋，切点为(m，n)，则ln (m－1)＋＝n，因为g′(x)＝－＝>0，切线斜率k＝g′(m)＝－＝a，则切线方程为y－n＝(x－m)，因为切线过原点，所以－m＋ln (m－1)＋
＝0，即ln (m－1)＋－＝0，所以m＝2，此时a＝－＝－＝1－＝，故选A.
3．已知函数f(x)＝|x|＋－(a＞0)没有零点，则实数a的取值范围是________．
答案 (0,1)∪(2，＋∞)
解析 函数f(x)＝|x|＋－(a＞0)没有零点，即方程|x|＋－＝0没有实根，转化为函数y＝与函数y＝－|x|的图象没有交点，画出图象如图所示，找到两个临界位置，易得实数a的取值范围是(0,1)∪(2，＋∞)．
真题押题
『真题模拟』
1．(2019·温州高三检测)函数f(x)＝ex＋x－2的零点所在的区间是( )
A．(0，) B．(，1)
C．(1,2) D．(2,3)
答案 B
解析 ∵f′(x)＝ex＋＞0，∴f(x)在R上单调递增，又f＝－＜－＜0，f(1)＝e－＞0，∴函数f(x)的零点在区间(，1)上．
2．(2019·新疆维吾尔族自治区第二次检测)已知函数f(x)＝－，g(x)＝2cosπx，当x∈(－3,2)时，方程f(x)＝g(x)的所有实根之和为( )
A．－2 B．－1
C．0 D．2
答案 A
解析 作出函数f(x)，g(x)的大致图象如图所示．
由反比例函数及三角函数的性质可知，函数f(x)，g(x)的图象都关于点P对称，所以它们图象的交点关于点P对称．由图可知，x1＋x4＝－1，x2＋x3＝－1，所有实根之和为x1＋x2＋x3＋x4＝－2.故选A.
3．(2019·全国卷Ⅰ)函数f(x)＝在[－π，π]的图象大致为( )
答案 D
解析 ∵f(－x)＝＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，排除A.又f＝＝>1，f(π)＝>0，排除B，C.故选D.
4．(2019·上海市交大附中高三一模)已知定义域为R的函数f(x)＝
则此函数图象上关于原点对称的点有( )
A．7对 B．8对
C．9对 D．以上都不对
答案 B
解析 当x＝0时，f(x)＝－，此时关于原点对称的点为，此点不在函数f(x)上．当x<0时，函数y＝x－关于原点对称的函数为－y＝－x－，即y＝x＋(x>0)，若函数图象上存在关于原点对称的点，则问题转化为求当x>0时，f(x)＝3与y＝x＋(x>0)的交点个数．作出函数f(x)在x>0时的图象如图，由图象，知函数y＝3，x∈[2k－2,2k]，k∈N*的图象分别关于x＝1，x＝3，x＝5，x＝7，x＝9对称，且函数的最大值为f(2k－1)＝3，当y＝x＋＝3时，得x＝，即x＝7，故当x>0时，f(x)＝
3与y＝x＋(x>0)的交点个数有8个，即函数图象上关于原点对称的点有8对，故选B.
『金版押题』
5．函数f(x)＝x2＋ln |x|的大致图象是( )
答案 A
解析 解法一：∵f(x)＝x2＋ln |x|，∴f(－x)＝(－x)2＋ln |－x|＝f(x)．∴f(x)是偶函数，其图象关于y轴对称，排除B，C.当x∈(0，＋∞)时，函数f(x)＝x2＋ln x，则f′(x)＝2x＋＞0，即函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，故选A.
解法二：∵f(x)＝x2＋ln |x|，∴f(－x)＝(－x)2＋ln |－x|＝f(x)．∴f(x)是偶函数，其图象关于y轴对称，排除B，C.又当x无限接近于0时，x2→0，ln |x|→－∞
.因此排除D，故选A.
6．设f(x)是定义在R上的偶函数，对任意的x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，且当x∈[－2,0]时，f(x)＝x－1，若关于x的方程f(x)－loga(x＋2)＝0(a>1)在区间(－2,6]内恰有三个不同实根，则实数a的取值范围是( )
A．(，) B．(，2)
C．(，2] D．(，2]
答案 B
解析 因为f(x)为偶函数，故f(2－x)＝f(x－2)，所以f(x＋2)＝f(x－2)，故f(x)是周期函数且周期为4，因x∈[－2,0]时，f(x)＝x－1，故f(x)在(－2,6]上的图象如图所示，因为f(x)－loga(x＋2)＝0在区间(－2,6]内恰有三个不同实根，所以f(x)的图象与y＝loga(x＋2)的图象有3个不同的交点，故即
解得431＝3,2＝log240，排除A，D，故选B.
8．若a＞b＞1,0＜c＜1，则( )
A．ac＜bc B．abc＜bac
C．alogbc＜blogac D．logac＜logbc
答案 C
解析 考虑幂函数y＝xc，因为c＞0，所以y＝xc为增函数，又a＞b＞1，所以ac＞bc，A错误．abc＜bac⇔()c＜，又y＝()x是减函数，所以B错误．由对数函数的性质可知D错误，选C.
9．已知函数f(x)＝x2＋，则y＝f(x)的图象大致为( )
答案 B
解析 函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，因为f(－x)＝(－x)2＋＝x2＋＝f(x)，所以该函数为偶函数，故可排除A，当x→＋∞时，函数f(x)→＋∞，故可排除C，D，故选B.
10．(2019·江西省吉安一中、九江一中、新余一中等八所重点中学高三联考)已知定义在R上的奇函数f(x)满足x>0时，f(x)＝x－ln x＋ln ，则函数g(x)＝f(x)－sinx(e为自然对数的底数)的零点个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．5
答案 C
解析 当x>0时，f′(x)＝－，故函数f(x)在上单调递减，在上单调递增，在x＝处有最小值为f＝1，此时g＝f－sin＝1－1＝0.根据f(x)的单调性和|sinx|≤1可知，当x>0时，x＝是g(x)的唯一零点．由于f(x)是定义在R上的奇函数，则f(0)＝0，故g(0)＝f(0)－sin0＝0，所以x＝0是函数g(x)的零点．由于f(x)和sinx都是奇函数，故f＝－f＝－1，sin＝－1，且根据奇函数图象的对称性可知，f(x)在上单调递增，在上单调递减，当x＝－时，f(x)在(－∞，0)上取得最大值，故x＝－是g(x)在区间(－∞，0)上的唯一零点．综上所述，g(x)的零点个数是3，故选C.
11．已知f(x)＝则方程f[f(x)]＝3的根的个数是( )
A．6 B．5
C．4 D．3
答案 B
解析 令f(x)＝t，则方程f[f(x)]＝3即为f(t)＝3，解得t＝e－3或e3，作出函数f(x)的图象，由图象可知方程f(x)＝e－3有3个解，f(x)＝e3有2个解，则方程f[f(x)]＝3有5个实根，故选B.
12．(2019·武邑中学高三上学期第二次调研)函数f(x)＝若方程f(x)＝－x＋a有且只有两个不等的实数根，则实数a的取值范围为( )
A．(－∞，0) B．[0,1)
C．(－∞，1) D．[0，＋∞)
答案 C
解析 函数f(x)＝的图象如图所示，作出直线l：y＝a－x，向左平移直线l观察可得函数y＝f(x)的图象与函数y＝－x＋a的图象有两个交点，即方程f(x)＝－x＋a有且只有两个不相等的实数根，即有a<1，故选C.
二、填空题
13．已知定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，且f(1)＝0，则不等式f(x－2)≥0的解集是________．
答案 {x|x≥3或x≤1}
解析 因为偶函数f(x)在[0，＋∞)上为增函数，f(1)＝0，所以不等式f(x－2)≥0等价为f(|x－2|)≥f(1)，即|x－2|≥1，解得x≥3或x≤1，故不等式的解集为{x|x≥3或x≤1}．
14．(2019·张家口模拟)已知f(x)＝
且函数y＝f(x)＋ax恰有3个不同的零点，则实数a的取值范围是________．
答案 －，－∪，＋∞
解析 当x<0时，f(x)＝(x＋1)2－，把函数f(x)在[－1,0)上的图象向右平移一个单位，即得函数y＝f(x)在[0,1)上的图象，继续右移可得函数f(x)在[0，＋∞)上的图象．如果函数y＝f(x)＋ax恰有3个不同的零点，即函数y＝f(x)，y＝－ax的图象有三个不同的公共点，实数a应满足－a<－，即a>，或≤－a<，即－
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