高考数学二轮复习教案:第二编 专题一 第1讲

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高考数学二轮复习教案:第二编 专题一 第1讲

‎ 第二编 讲专题 专题一 函数与导数 第1讲 函数的图象与性质 ‎「考情研析」  1.对函数图象的考查主要有两个方面:一是识图,二是用图,即利用函数的图象,通过数形结合的思想解决有关函数性质的问题. 2.求函数零点所在的区间、零点的个数及参数的取值范围是高考的常见题型,主要以选填的形式出现.‎ 核心知识回顾 ‎1.函数的单调性 单调性的定义的等价形式:设x1,x2∈[a,b](x1≠x2),‎ 那么(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0⇔>0⇔f(x)在[a,b]上是增函数;‎ ‎(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0⇔<0⇔f(x)在[a,b]上是减函数.‎ ‎2.函数的奇偶性、周期性 ‎(1)奇偶性是函数在其定义域上的整体性质,对于定义域内的任意x(定义域关于原点对称),都有f(-x)=-f(x)成立,则f(x)为奇函数(都有f(-x)=f(x)成立,则f(x)为偶函数).‎ ‎(2)周期性是函数在其定义域上的整体性质,一般地,对于函数f(x),如果对于定义域内的任意一个x的值,若f(x+T)=f(x)(T≠0),则f(x)是周期函数,T是它的一个周期.‎ ‎3.关于函数的周期性、对称性的结论 ‎(1)函数的周期性 ‎①若函数f(x)满足f(x+a)=f(x-a),则f(x)为周期函数,2a是它的一个周期.‎ ‎②设f(x)是R上的偶函数,且图象关于直线x=a(a≠0)对称,则f(x)是周期函数,2a是它的一个周期.‎ ‎③设f(x)是R上的奇函数,且图象关于直线x=a(a≠0)对称,则f(x ‎)是周期函数,4a是它的一个周期.‎ ‎(2)函数图象的对称性 ‎①若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(a-x),‎ 即f(x)=f(2a-x),则f(x)的图象关于直线x=a对称.‎ ‎②若函数y=f(x)满足f(a+x)=-f(a-x),‎ 即f(x)=-f(2a-x),‎ 则f(x)的图象关于点(a,0)对称.‎ ‎③若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b-x),‎ 则函数f(x)的图象关于直线x=对称.‎ ‎4.函数与方程 ‎(1)零点定义:x0为函数f(x)的零点⇔f(x0)=0⇔(x0,0)为f(x)的图象与x轴的交点.‎ ‎(2)确定函数零点的三种常用方法 ‎①解方程判定法:解方程f(x)=0.‎ ‎②零点定理法:根据连续函数y=f(x)满足f(a)f(b)<0,判定函数在区间(a,b)内存在零点.‎ ‎③数形结合法:尤其是方程两端对应的函数类型不同时多用此法求解.‎ 热点考向探究 考向1 函数的性质 例1 (1)定义在R上的函数f(x)在区间(-∞,2)上是增函数,且函数f(x+2)的图象关于直线x=0对称,则(  )‎ A.f(1)>f(3)>f(-1) B.f(1)>f(-1)>f(3)‎ C.f(3)=f(1)>f(-1) D.f(0)>f(3)>f(-1)‎ 答案 C 解析 ∵f(x+2)的图象关于y轴对称,∴y=f(x)的图象关于直线x=2对称,∴f(2+x)=f(2-x),∴f(3)=f(1),而函数f(x)在区间(-∞,2)上是增函数,∴f(-1)<f(0)<f(1)=f(3).‎ ‎(2)(2019·鞍山一中高三三模)奇函数f(x) 的定义域为R,若f(x+1)为偶函数,且f(-1)=-1,则f(2018)+f(2019)=(  )‎ A.-2 B.-1‎ C.0 D.1‎ 答案 B 解析 由题意,奇函数f(x)的定义域为R,若f(x+1)为偶函数,则f(-x+1)=f(x+1),即f(x+2)=-f(x),则f(x+4)=-f(x+2)=f(x),即f(x)是周期为4的周期函数,f(2018)=f(504×4+2)=f(2)=-f(0)=0,f(2019)=f(504×5-1)=f(-1)=-1,则f(2018)+f(2019)=0-1=-1,故选B.‎ ‎(3)(2019·永州市高三摸底考试)已知函数f(x)=ex-e-x-2x(x∈R),则不等式f(1+x)+f(1-x2)≥0的解集是(  )‎ A.[-1,2]‎ B.[-2,1]‎ C.(-∞,-1]∪[2,+∞)‎ D.(-∞,-2]∪[1,+∞)‎ 答案 A 解析 因为函数f(x)=ex-e-x-2x(x∈R),所以f(-x)=e-x-ex+2x=-f(x),因此函数f(x)为奇函数,所以f(1+x)+f(1-x2)≥0化为f(1+x)≥f(x2-1),又f′(x)=ex+e-x-2≥0在R上恒成立,因此函数f(x)=ex-e-x-2x在R上为增函数,所以1+x≥x2-1,即x2-x-2≤0,解得-1≤x≤2.故选A.‎ ‎(1)函数奇偶性的判断主要是根据定义,涉及奇偶性与单调性相结合的问题应明确奇、偶函数的单调性特征,将所研究的问题转化为同一个单调区间,涉及偶函数的单调性应注意f(x)=f(-x)=f(|x|)的应用.‎ ‎(2)含参数奇、偶函数问题,应根据奇偶函数的定义列出关于参数的方程,而对原点处有定义的奇函数,可直接用f(0)=0列式求参数.‎ ‎1.(2019·永州市高三第三次模拟)已知f(x)满足∀x∈R,f(x+2)=f(x),且x∈[1,3)时,f(x)=log2x+1,则f(2019)的值为(  )‎ A.-1 B.0‎ C.1 D.2‎ 答案 C 解析 因为f(x)满足∀x∈R,f(x+2)=f(x),所以函数f(x)的最小正周期为2,又x∈[1,3)时,f(x)=log2x+1,因此f(2019)=f(1)=log21+1=1.故选C.‎ ‎2.奇函数f(x)满足f(x-2)=-f(x),且x∈[0,2]时,f(x)=2x-x2,则f(2018)+f(2019)+f(2020)的值为________.‎ 答案 -1‎ 解析 函数f(x)是奇函数,则f(0)=0,由f(x)=2x-x2,x∈[0,2]知f(1)=1,f(2)=0,又f(x-2)=-f(x),所以f(x)=-f(x-2)=-[-f(x-4)]=f(x-4),所以f(x ‎)的周期为4,所以f(2018)+f(2019)+f(2020)=f(2)+f(3)+f(0)=f(3)=f(-1)=-f(1)=-1.‎ ‎3.已知f(x)是定义域为R的偶函数,当x≥0时,f(x)=x2-4x.那么,不等式f(x+2)<5的解集是________.‎ 答案 (-7,3)‎ 解析 ∵f(x)是偶函数,∴f(x)=f(|x|).又x≥0时,f(x)=x2-4x,∴不等式f(x+2)<5⇒f(|x+2|)<5⇒|x+2|2-4|x+2|<5⇒(|x+2|-5)(|x+2|+1)<0⇒|x+2|-5<0⇒|x+2|<5⇒-5b,c>d.若f(x)=2019+(x-a)(x-b)的零点为c,d,则下列不等式正确的是(  )‎ A.a>c>d>b B.a>d>c>b C.c>d>a>b D.c>a>b>d 答案 A 解析 由题意,设g(x)=(x-a)(x-b),则f(x)=2019+g(x),所以g(x)=0的两个根是a,b,由题意知,f(x)=0的两根c,d,也就是g(x)=-2019的两根,画出g(x)(开口向上)以及直线y=-2019的大致图象,则两函数图象的交点的横坐标就是c,d,g(x)与x轴的交点的横坐标就是a,b,又a>b,c>d,则c,d在a,b内,由图得,a>c>d>b,故选A.‎ ‎(2)函数y=lg x-x在(0,+∞)上的零点个数为(  )‎ A.1 B.2‎ C.3 D.4‎ 答案 C 解析 画出函数y=lg x与y=x的图象,如图,易知两函数图象在(0,+∞)上有3个交点,即函数y=lg x-sinx在(0,+∞)上有3个零点,故选C.‎ ‎(3)(2019·天津九校联考)已知函数f(x)=且函数y=f(x)-2x恰有三个不同的零点,则实数a的取值范围是(  )‎ A.[-4,+∞) B.[-8,+∞)‎ C.[-4,0] D.(0,+∞)‎ 答案 A 解析 方程f(x)-2x=0⇔f(x)=2x⇔f(x)-a=2x-a,所以函数y=f(x)-2x恰有三个不同的零点等价于y=f(x)-a与y=2x-a有三个不同的交点.记g(x)=f(x)-a=画出函数简图如下,‎ 画出函数y=2x如图中过原点的虚线l,平移l要保证图象有三个交点,向上最多平移到l′位置,向下平移一直会有三个交点,所以-a≤4,即a≥-4,故选A.‎ 判断函数零点的方法 ‎(1)解方程法,即解方程f(x)=0,方程有几个解,函数f(x)就有几个零点.‎ ‎(2)图象法,画出函数f(x)的图象,图象与x轴的交点个数即为函数f(x)的零点个数.‎ ‎(3)数形结合法,即把函数等价转化为两个函数,通过判断两个函数图象交点的个数得出函数零点的个数.‎ ‎(4)利用零点存在性定理判断.‎ ‎1.(2019·广西桂林市高三综合能力检测)‎ 下列函数中是奇函数且有零点的是(  )‎ A.f(x)=x+|x| B.f(x)=x-1+x C.f(x)=+tanx D.f(x)=sin 答案 C 解析 因为f(x)=x+|x|,所以f(-x)=-x+|x|,而-f(x)=-x-|x|,所以不是奇函数,排除A;因为f(x)=x-1+x,所以f(-x)=-x-1-x=-f(x),所以函数f(x) 是奇函数,但令f(x)=0,可知方程无解,即f(x) 没有零点,排除B;因为f(x)=sin=cosx,所以f(-x)=cosx=f(x),即f(x)为偶函数,排除D;因为f(x)=+tanx,所以f(-x)=--tanx=-f(x),所以f(x)是奇函数,又由正切函数的图象和反比例函数的图象易知,y=-与y=tanx必然有交点,因此函数f(x)=+tanx必有零点.故选C.‎ ‎2.(2019·马鞍山市一模)若函数f(x)=ln (x-1)+-ax(a>0)恰有一个零点,则实数a的值为(  )‎ A. B.2‎ C. D.e 答案 A 解析 函数f(x)的定义域为(1,+∞),若函数f(x)=ln (x-1)+-ax(a>0)恰有一个零点,等价为f(x)‎ ‎=ln (x-1)+-ax=0恰有一个根,即ln (x-1)+=ax恰有一个根,即函数y=ln (x-1)+和y=ax的图象恰有一个交点,即当a>0时,y=ax是函数y=ln (x-1)+的切线.设g(x)=ln (x-1)+,切点为(m,n),则ln (m-1)+=n,因为g′(x)=-=>0,切线斜率k=g′(m)=-=a,则切线方程为y-n=(x-m),因为切线过原点,所以-m+ln (m-1)+ ‎=0,即ln (m-1)+-=0,所以m=2,此时a=-=-=1-=,故选A.‎ ‎3.已知函数f(x)=|x|+-(a>0)没有零点,则实数a的取值范围是________.‎ 答案 (0,1)∪(2,+∞)‎ 解析 函数f(x)=|x|+-(a>0)没有零点,即方程|x|+-=0没有实根,转化为函数y=与函数y=-|x|的图象没有交点,画出图象如图所示,找到两个临界位置,易得实数a的取值范围是(0,1)∪(2,+∞).‎ 真题押题 ‎『真题模拟』‎ ‎1.(2019·温州高三检测)函数f(x)=ex+x-2的零点所在的区间是(  )‎ A.(0,) B.(,1)‎ C.(1,2) D.(2,3)‎ 答案 B 解析 ∵f′(x)=ex+>0,∴f(x)在R上单调递增,又f=-<-<0,f(1)=e->0,∴函数f(x)的零点在区间(,1)上.‎ ‎2.(2019·新疆维吾尔族自治区第二次检测)已知函数f(x)=-,g(x)=2cosπx,当x∈(-3,2)时,方程f(x)=g(x)的所有实根之和为(  )‎ A.-2 B.-1‎ C.0 D.2‎ 答案 A 解析 作出函数f(x),g(x)的大致图象如图所示.‎ 由反比例函数及三角函数的性质可知,函数f(x),g(x)的图象都关于点P对称,所以它们图象的交点关于点P对称.由图可知,x1+x4=-1,x2+x3=-1,所有实根之和为x1+x2+x3+x4=-2.故选A.‎ ‎3.(2019·全国卷Ⅰ)函数f(x)=在[-π,π]的图象大致为(  )‎ 答案 D 解析 ∵f(-x)==-f(x),∴f(x)为奇函数,排除A.又f==>1,f(π)=>0,排除B,C.故选D.‎ ‎4.(2019·上海市交大附中高三一模)已知定义域为R的函数f(x)=‎ 则此函数图象上关于原点对称的点有(  )‎ A.7对 B.8对 C.9对 D.以上都不对 答案 B 解析 当x=0时,f(x)=-,此时关于原点对称的点为,此点不在函数f(x)上.当x<0时,函数y=x-关于原点对称的函数为-y=-x-,即y=x+(x>0),若函数图象上存在关于原点对称的点,则问题转化为求当x>0时,f(x)=3与y=x+(x>0)的交点个数.作出函数f(x)在x>0时的图象如图,由图象,知函数y=3,x∈[2k-2,2k],k∈N*的图象分别关于x=1,x=3,x=5,x=7,x=9对称,且函数的最大值为f(2k-1)=3,当y=x+=3时,得x=,即x=7,故当x>0时,f(x)=‎ ‎3与y=x+(x>0)的交点个数有8个,即函数图象上关于原点对称的点有8对,故选B.‎ ‎『金版押题』‎ ‎5.函数f(x)=x2+ln |x|的大致图象是(  )‎ 答案 A 解析 解法一:∵f(x)=x2+ln |x|,∴f(-x)=(-x)2+ln |-x|=f(x).∴f(x)是偶函数,其图象关于y轴对称,排除B,C.当x∈(0,+∞)时,函数f(x)=x2+ln x,则f′(x)=2x+>0,即函数f(x)在(0,+∞)上是增函数,故选A.‎ 解法二:∵f(x)=x2+ln |x|,∴f(-x)=(-x)2+ln |-x|=f(x).∴f(x)是偶函数,其图象关于y轴对称,排除B,C.又当x无限接近于0时,x2→0,ln |x|→-∞‎ ‎.因此排除D,故选A.‎ ‎6.设f(x)是定义在R上的偶函数,对任意的x∈R,都有f(2-x)=f(2+x),且当x∈[-2,0]时,f(x)=x-1,若关于x的方程f(x)-loga(x+2)=0(a>1)在区间(-2,6]内恰有三个不同实根,则实数a的取值范围是(  )‎ A.(,) B.(,2)‎ C.(,2] D.(,2]‎ 答案 B 解析 因为f(x)为偶函数,故f(2-x)=f(x-2),所以f(x+2)=f(x-2),故f(x)是周期函数且周期为4,因x∈[-2,0]时,f(x)=x-1,故f(x)在(-2,6]上的图象如图所示,因为f(x)-loga(x+2)=0在区间(-2,6]内恰有三个不同实根,所以f(x)的图象与y=loga(x+2)的图象有3个不同的交点,故即 解得431=3,2=log240,排除A,D,故选B.‎ ‎8.若a>b>1,0<c<1,则(  )‎ A.ac<bc B.abc<bac C.alogbc<blogac D.logac<logbc 答案 C 解析 考虑幂函数y=xc,因为c>0,所以y=xc为增函数,又a>b>1,所以ac>bc,A错误.abc<bac⇔()c<,又y=()x是减函数,所以B错误.由对数函数的性质可知D错误,选C.‎ ‎9.已知函数f(x)=x2+,则y=f(x)的图象大致为(  )‎ 答案 B 解析 函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),因为f(-x)=(-x)2+=x2+=f(x),所以该函数为偶函数,故可排除A,当x→+∞时,函数f(x)→+∞,故可排除C,D,故选B.‎ ‎10.(2019·江西省吉安一中、九江一中、新余一中等八所重点中学高三联考)已知定义在R上的奇函数f(x)满足x>0时,f(x)=x-ln x+ln ,则函数g(x)=f(x)-sinx(e为自然对数的底数)的零点个数是(  )‎ A.1 B.2‎ C.3 D.5‎ 答案 C 解析 当x>0时,f′(x)=-,故函数f(x)在上单调递减,在上单调递增,在x=处有最小值为f=1,此时g=f-sin=1-1=0.根据f(x)的单调性和|sinx|≤1可知,当x>0时,x=是g(x)的唯一零点.由于f(x)是定义在R上的奇函数,则f(0)=0,故g(0)=f(0)-sin0=0,所以x=0是函数g(x)的零点.由于f(x)和sinx都是奇函数,故f=-f=-1,sin=-1,且根据奇函数图象的对称性可知,f(x)在上单调递增,在上单调递减,当x=-时,f(x)在(-∞,0)上取得最大值,故x=-是g(x)在区间(-∞,0)上的唯一零点.综上所述,g(x)的零点个数是3,故选C.‎ ‎11.已知f(x)=则方程f[f(x)]=3的根的个数是(  )‎ A.6 B.5‎ C.4 D.3‎ 答案 B 解析 令f(x)=t,则方程f[f(x)]=3即为f(t)=3,解得t=e-3或e3,作出函数f(x)的图象,由图象可知方程f(x)=e-3有3个解,f(x)=e3有2个解,则方程f[f(x)]=3有5个实根,故选B.‎ ‎12.(2019·武邑中学高三上学期第二次调研)函数f(x)=若方程f(x)=-x+a有且只有两个不等的实数根,则实数a的取值范围为(  )‎ A.(-∞,0) B.[0,1)‎ C.(-∞,1) D.[0,+∞)‎ 答案 C 解析 函数f(x)=的图象如图所示,作出直线l:y=a-x,向左平移直线l观察可得函数y=f(x)的图象与函数y=-x+a的图象有两个交点,即方程f(x)=-x+a有且只有两个不相等的实数根,即有a<1,故选C.‎ 二、填空题 ‎13.已知定义在R上的偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递增,且f(1)=0,则不等式f(x-2)≥0的解集是________.‎ 答案 {x|x≥3或x≤1}‎ 解析 因为偶函数f(x)在[0,+∞)上为增函数,f(1)=0,所以不等式f(x-2)≥0等价为f(|x-2|)≥f(1),即|x-2|≥1,解得x≥3或x≤1,故不等式的解集为{x|x≥3或x≤1}.‎ ‎14.(2019·张家口模拟)已知f(x)= 且函数y=f(x)+ax恰有3个不同的零点,则实数a的取值范围是________.‎ 答案 -,-∪,+∞‎ 解析 当x<0时,f(x)=(x+1)2-,把函数f(x)在[-1,0)上的图象向右平移一个单位,即得函数y=f(x)在[0,1)上的图象,继续右移可得函数f(x)在[0,+∞)上的图象.如果函数y=f(x)+ax恰有3个不同的零点,即函数y=f(x),y=-ax的图象有三个不同的公共点,实数a应满足-a<-,即a>,或≤-a<,即-
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