高考数学专题复习：专题2三角函数与平面向量课件 第2讲

高考数学专题复习：专题2三角函数与平面向量课件 第2讲

专题二　第二讲 一、选择题 ‎1．若三角形ABC中，sin(A＋B)sin(A－B)＝sin‎2C，则此三角形的形状是(　　)‎ A．等腰三角形　　　　 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 ‎[答案]　B ‎[解析]　∵sin(A＋B)sin(A－B)＝sin‎2C，sin(A＋B)＝sinC≠0，∴sin(A－B)＝sin(A＋B)，∴cosAsinB＝0，‎ ‎∵sinB≠0，∴cosA＝0，∴A为直角．‎ ‎2．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若(a2＋c2－b2)tanB＝ac，则角B的值为(　　)‎ A. B. C.或 D.或 ‎[答案]　D ‎[解析]　由(a2＋c2－b2)tanB＝ac得，·tanB＝，再由余弦定理cosB＝得，2cosB·tanB＝，即sinB＝，∴角B的值为或，故应选D.‎ ‎3．(文)在△ABC中，已知b·cosC＋c·cosB＝‎3a·cosB，其中a、b、c分别为角A、B、C的对边，则cosB的值为(　　)‎ A. B．－ C. D．－ ‎[答案]　A ‎[解析]　由正弦定理得sinBcosC＋sinCcosB＝3sinAcosB，‎ ‎∴sin(B＋C)＝3sinAcosB，‎ ‎∴sinA＝3sinAcosB，‎ ‎∵sinA≠0，∴cosB＝.‎ ‎(理)(2013·东北三省四市联考)在△ABC中，若tanAtanB＝tanA＋tanB＋1，则cosC的值是(　　)‎ A．－ B. C. D．－ ‎[答案]　B ‎[解析]　由tanA·tanB＝tanA＋tanB＋1，可得＝－1，即tan(A＋B)＝－1，所以A＋B＝，则C＝，cosC＝，故选B.‎ ‎4．设tanα、tanβ是方程x2－3x＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为(　　)‎ A．－3 B．－1‎ C．1 D．3‎ ‎[答案]　A ‎[解析]　本题考查了根与系数的关系与两角和的正切公式．‎ 由已知tanα＋tanβ＝3，tanα·tanβ＝2，‎ 所以tan(α＋β)＝＝＝－3.故选A.‎ ‎[点评]　运用根与系数的关系，利用整体代换的思想使问题求解变得简单．‎ ‎5．(2014·哈三中二模)在△ABC中，内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，且a2－c2＝2b，＝3，则b等于(　　)‎ A．3　　　 B．‎4　‎　　　‎ C．6　　　 D．7‎ ‎[答案]　B ‎[解析]　∵＝3，∴sinAcosC＝3sinCcosA，‎ ‎∴sinB＝sin(A＋C)＝4sinCcosA，∴b＝‎4c·，‎ ‎∴b2＝2(a2－c2)＝4b，∵b>0，∴b＝4.‎ ‎6．(文)函数y＝cos(x＋)＋sin(－x)具有性质(　　)‎ A．最大值为1，图象关于点(，0)对称 B．最大值为，图象关于点(，0)对称 C．最大值为1，图象关于直线x＝对称 D．最大值为，图象关于直线x＝对称 ‎[答案]　B ‎[解析]　y＝－sinx＋cosx－sinx ‎＝－(sinx－cosx)＝－sin(x－)，‎ ‎∴最大值为，图象关于点(，0)对称．‎ ‎(理)给出下列四个命题：‎ ‎①f(x)＝sin(2x－)的对称轴为x＝＋，k∈Z；‎ ‎②函数f(x)＝sinx＋cosx最大值为2；‎ ‎③函数f(x)＝sinxcosx－1的周期为2π；‎ ‎④函数f(x)＝sin(x＋)在[－，]上是增函数．‎ 其中正确命题的个数是(　　)‎ A．1　　　 B．‎2　‎　　　‎ C．3　　　 D．4‎ ‎[答案]　B ‎[解析]　①由2x－＝kπ＋，k∈Z，‎ 得x＝＋(k∈Z)，‎ 即f(x)＝sin(2x－)的对称轴为x＝＋，k∈Z，正确；‎ ‎②由f(x)＝sinx＋cosx＝2sin(x＋)知，‎ 函数的最大值为2，正确；‎ ‎③f(x)＝sinxcosx－1＝sin2x－1，函数的周期为π，故③错误；‎ ‎④函数f(x)＝sin(x＋)的图象是由f(x)＝sinx的图象向左平移个单位得到的，故④错误．‎ 二、填空题 ‎7．已知△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC的面积为________．‎ ‎[答案]　15 ‎[解析]　设三角形的三边长分别为a－4，a，a＋4，最大角为θ，由余弦定理得(a＋4)2＝‎ a2＋(a－4)2－‎2a(a－4)·cos120°，则a＝10，所以三边长为6,10,14.△ABC的面积为S＝×6×10×sin120°＝15.‎ ‎8．(文)(2014·新课标Ⅱ理，14)函数f(x)＝sin(x＋2φ)－2sinφcos(x＋φ)的最大值为________．‎ ‎[答案]　1‎ ‎[解析]　∵f(x)＝sin(x＋2φ)－2sinφcos(x＋φ)‎ ‎＝sin(x＋φ)·cosφ＋cos(x＋φ)·sinφ－2sinφcos(x＋φ)‎ ‎＝sin(x＋φ)·cosφ－cos(x＋φ)·sinφ ‎＝sinx≤1.‎ ‎∴最大值为1.‎ ‎(理)(2014·天津理，12)在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，已知b－c＝a,2sinB＝3sinC，则cosA的值为________．‎ ‎[答案]　－ ‎[解析]　∵2sinB＝3sinC，∴2b＝‎3c，‎ 又∵b－c＝a，‎ ‎∴b＝a，c＝a，‎ ‎∴cosA＝＝＝－.‎ ‎9．在△ABC中，(－3)⊥，则角A的最大值为________．‎ ‎[答案]　 ‎[解析]　由已知可得(－3)·＝0，·＝3·，由数量积公式可得accosB＝3abcos(π－C)＝－3abcosC，可化为ccosB＝－3bcosC，‎ 由正弦定理可得sinCcosB＝－3sinBcosC，‎ 化简得sinA＝－2sinBcosC，可得cosC<0，角C为钝角，角A为锐角，又sinA＝sin(C－B)－sin(C＋B)，‎ 即有sinA＝sin(C－B)≤，‎ 综上，0y D．x≥y ‎[答案]　C ‎[解析]　y－x＝cosAcosB－sinAsinB＝cos(A＋B)‎ ‎＝cos(π－C)＝－cosC，‎ ‎∵△ABC为锐角三角形，∴cosC>0，‎ ‎∴y－x<0，∴yg(x2)．‎ 其中真命题的个数是(　　)‎ A．1　　　 B．‎2　‎　　　‎ C．3　　　 D．4‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　∵f(x)＝sinx＋cosx＝sin(x＋)，g(x)＝sinx－cosx＝sin(x－)，∴将f(x)的图象向右平移个单位，可以得到g(x)的图象，故①为真命题；又y＝f(x)·g(x)＝sin2x－cos2x＝－cos2x为偶函数，故②为真命题；y＝＝＝＝－tan(x＋)，故其最小正周期为π，∴③为真命题；取x1＝，则f(x1)＝sin(＋)＝－，∵∀x2∈R都有g(x2)≥－，∴不存在x2∈R，使f()>g(x2)，故选C.‎ 二、填空题 ‎16．(文)在△ABC中，sin‎2C＝sinAsinB＋sin2B，a＝2b，则角C＝________.‎ ‎[答案]　 ‎[解析]　由正弦定理知c2＝ab＋b2，‎ 所以cosC＝＝ ‎＝＝＝，‎ 又C∈(0，π)，所以C＝.‎ ‎(理)(2014·福建理，12)在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2，则△ABC的面积等于________．‎ ‎[答案]　2 ‎[解析]　本题考查正弦定理及三角形的面积公式，由正弦定理得，＝，‎ ‎∴sinB＝1，∴B＝90°，∴AB＝2，‎ S＝×2×2＝2.‎ 三、解答题 ‎17．(文)(2013·浙江文，18)在锐角△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且2asinB＝b.‎ ‎(1)求角A的大小；‎ ‎(2)若a＝6，b＋c＝8，求△ABC的面积．‎ ‎[解析]　(1)由2asinB＝b及正弦定理＝，得sinA＝.‎ 因为A是锐角，所以A＝.‎ ‎(2)由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得 b2＋c2－bc＝36，即(b＋c)2－3bc＝36.‎ 又b＋c＝8，所以 bc＝.‎ 由三角形面积公式S＝bcsinA，得 ‎△ABC的面积为.‎ ‎(理)(2013·北京理，15)在△ABC中，a＝3，b＝2，∠B＝2∠A.‎ ‎(1)求cos A的值；‎ ‎(2)求c的值．‎ ‎[解析]　(1)因为a＝3，b＝2，∠B＝2∠A，‎ 所以在△ABC中，由正弦定理得＝，‎ 所以＝，故cosA＝.‎ ‎(2)由(1)知cosA＝，‎ 所以sinA＝＝.‎ 又因为∠B＝2∠A，所以cosB＝2cos‎2A－1＝.‎ 所以sinB＝＝，‎ 在△ABC中，sinC＝sin(A＋B)‎ ‎＝sinAcosB＋cosAsinB＝.‎ 所以c＝＝5.‎ ‎18．(文)(2014·唐山市一模)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且4bsinA＝a.‎ ‎(1)求sinB的值；‎ ‎(2)若a，b，c成等差数列，且公差大于0，求cosA－cosC的值．‎ ‎[解析]　(1)由4bsinA＝a，根据正弦定理得4sinBsinA＝sinA，‎ 所以sinB＝.‎ ‎(2)由已知得2b＝a＋c，‎ 由正弦定理以及(1)得，‎ sinA＋sinC＝.①‎ 设cosA－cosC＝x，②‎ ‎①2＋②2，得2－2cos(A＋C)＝＋x2.③‎ 又由条件知a＜b＜c，∴A＜B＜C，所以0°＜B＜90°，cosA＞cosC，‎ 故cos(A＋C)＝－cosB＝－，且x>0.‎ 代入③式得x2＝.‎ 因此cosA－cosC＝.‎ ‎(理)已知△ABC中，a，b, c分别为角A，B，C的对边，a2＋b2

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