2013年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（广东卷）

2013年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（广东卷）

‎2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）‎ 数学（理科）逐题详解 参考公式:台体的体积公式,其中分别是台体的上、下底面积,表示台体的高.‎ 一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．设集合,,则( )‎ A . B． C． D．‎ ‎【解析】D；易得,,所以,故选D．‎ ‎2．定义域为的四个函数,,,中,奇函数的个数是( )‎ A . B． C． D．‎ ‎【解析】C；考查基本初等函数和奇函数的概念,是奇函数的为与,故选C．‎ ‎3．若复数满足,则在复平面内,对应的点的坐标是( )‎ A . B． C． D．‎ ‎【解析】C；对应的点的坐标是,故选C．‎ ‎4．已知离散型随机变量的分布列为 正视图 俯视图 侧视图 第5题图 ‎ 则的数学期望 ( )‎ A . B． C． D．‎ ‎【解析】A；,故选A．‎ ‎5．某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是 ( )‎ A . B． ‎ C． D．‎ ‎【解析】B；由三视图可知,该四棱台的上下底面边长分别为 和的正方形,高为,故,,故选B．‎ ‎6．设是两条不同的直线,是两个不同的平面,下列命题中正确的是( )‎ A . 若,,,则 B．若,,,则 C．若,,,则 D．若,,,则 ‎【解析】D；ABC是典型错误命题,选D．‎ ‎7．已知中心在原点的双曲线的右焦点为,离心率等于,在双曲线的方程是 ( )‎ A . B． C． D．‎ ‎【解析】B；依题意,,所以,从而,,故选B．‎ ‎8．设整数,集合.令集合 ‎ 若和都在中,则下列选项正确的是( )‎ A . , B．, ‎ C．, D．, ‎ ‎【解析】B；特殊值法,不妨令,,则,,故选B．‎ 如果利用直接法:因为，，所以…①，…②，…③三个式子中恰有一个成立；…④，…⑤，…⑥三个式子中恰有一个成立.配对后只有四种情况：第一种：①⑤成立，此时，于是，；第二种：①⑥成立，此时，于是，；第三种：②④成立，此时，于是，；第四种：③④成立，此时，于是，.综合上述四种情况，可得，.‎ 二、填空题：本题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，共30分 是 否 输入 输出 ‎ 结束 开始 第11题图 n ‎(一)必做题(9～13题)‎ ‎9．不等式的解集为___________．‎ ‎【解析】；易得不等式的解集为.‎ ‎10．若曲线在点处的切线平行于轴,则______.‎ ‎【解析】；求导得,依题意,所以.‎ ‎11．执行如图所示的程序框图,若输入的值为,则输出的值为______.‎ ‎【解析】；第一次循环后:；第二次循环后:；‎ ‎ 第三次循环后:；第四次循环后:；故输出.‎ ‎12. 在等差数列中,已知,则_____.‎ ‎【解析】；依题意,所以.‎ ‎ 或:‎ x y ‎4‎ ‎4‎ ‎1‎ O ‎13. 给定区域:,令点集 是在上取得最大值或最小值的点,则中的点共确定______‎ 条不同的直线.‎ ‎【解析】；画出可行域如图所示,其中取得最小值时的整点为,取得最大值时的整点为,,,及共个整点.故可确定条不同的直线.‎ ‎（二）选做题（14、15题,考生只能从中选做一题,两题全答的,只计前一题的得分）‎ ‎14.(坐标系与参数方程选讲选做题)已知曲线的参数方程为(为参数),在点处的切线为,以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则的极坐标方程为_____________.‎ ‎.‎ A E D C B O 第15题图 ‎【解析】；曲线的普通方程为,其在点处的切线的方程为,对应的极坐标方程为,即.‎ ‎15. (几何证明选讲选做题)如图,是圆的直径,点在圆上,‎ 延长到使,过作圆的切线交于.若 ‎,,则_________.‎ ‎【解析】；依题意易知,所以,又 ‎,所以,从而.‎ 三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎16．（本小题满分12分）‎ 已知函数,.‎ ‎(Ⅰ) 求的值； (Ⅱ) 若,,求．‎ ‎【解析】(Ⅰ)；‎ ‎(Ⅱ) ‎ 因为,,所以,‎ 所以,‎ 所以.‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 第17题图 某车间共有名工人,随机抽取名,他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示,其中茎为十位数,叶为个位数.‎ ‎(Ⅰ) 根据茎叶图计算样本均值；‎ ‎(Ⅱ) 日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人.‎ 根据茎叶图推断该车间名工人中有几名优秀工人；‎ ‎(Ⅲ) 从该车间名工人中,任取人,求恰有名优秀 工人的概率.‎ ‎【解析】(Ⅰ) 样本均值为；‎ ‎ (Ⅱ) 由(Ⅰ)知样本中优秀工人占的比例为,故推断该车间名工人中有名优秀工人.‎ ‎(Ⅲ) 设事件:从该车间名工人中,任取人,恰有名优秀工人,则.‎ ‎18．（本小题满分14分）‎ 如图1,在等腰直角三角形中,,,分别是上的点,,‎ ‎.‎ C O B D E A C D O B E 图1‎ 图2‎ 为的中点.将沿折起,得到如图2所示的四棱锥,其中.‎ C D O B E H ‎(Ⅰ) 证明:平面；‎ ‎(Ⅱ) 求二面角的平面角的余弦值.‎ ‎【解析】(Ⅰ) 在图1中,易得 连结,在中,由余弦定理可得 由翻折不变性可知,‎ 所以,所以,‎ 理可证, 又,所以平面.‎ ‎(Ⅱ) 传统法:过作交的延长线于,连结,‎ 因为平面,所以,‎ 所以为二面角的平面角.‎ 结合图1可知,为中点,故,从而 C D O x E 向量法图 y z B 所以,所以二面角的平面角的余弦值为.‎ 向量法:以点为原点,建立空间直角坐标系如图所示,‎ 则,,‎ 所以,‎ 设为平面的法向量,则 ‎,即,解得,令,得 由(Ⅰ) 知,为平面的一个法向量,‎ 所以,即二面角的平面角的余弦值为.‎ ‎19．（本小题满分14分）‎ 设数列的前项和为.已知,,.‎ ‎(Ⅰ) 求的值；‎ ‎(Ⅱ) 求数列的通项公式；‎ ‎(Ⅲ) 证明:对一切正整数,有.‎ ‎【解析】(Ⅰ) 依题意,,又,所以；‎ ‎ (Ⅱ) 当时,,‎ ‎ 两式相减得 ‎ 整理得,即,又 ‎ 故数列是首项为,公差为的等差数列,‎ 所以,所以.‎ ‎ (Ⅲ) 当时,；当时,；‎ ‎ 当时,,此时 ‎ ‎ 综上,对一切正整数,有.‎ ‎20．（本小题满分14分）‎ 已知抛物线的顶点为原点,其焦点到直线:的距离为.设为直线上的点,过点作抛物线的两条切线,其中为切点.‎ ‎(Ⅰ) 求抛物线的方程；‎ ‎(Ⅱ) 当点为直线上的定点时,求直线的方程；‎ ‎(Ⅲ) 当点在直线上移动时,求的最小值.‎ ‎【解析】(Ⅰ) 依题意,设抛物线的方程为,由结合,‎ 解得.‎ ‎ 所以抛物线的方程为.‎ ‎ (Ⅱ) 抛物线的方程为,即,求导得 设,(其中),则切线的斜率分别为,,‎ 所以切线的方程为,即,即 同理可得切线的方程为 因为切线均过点,所以,‎ 所以为方程的两组解.‎ 所以直线的方程为.‎ ‎(Ⅲ) 由抛物线定义可知,,‎ 所以 联立方程,消去整理得 由一元二次方程根与系数的关系可得,‎ 所以 又点在直线上,所以,‎ 所以 所以当时, 取得最小值,且最小值为.‎ ‎21．（本小题满分14分）‎ 设函数(其中).‎ ‎ (Ⅰ) 当时,求函数的单调区间；‎ ‎(Ⅱ) 当时,求函数在上的最大值.‎ ‎【解析】(Ⅰ) 当时, ‎ ‎,‎ ‎ 令,得,‎ ‎ 当变化时,的变化如下表:‎ 极大值 极小值 ‎ 右表可知,函数的递减区间为,递增区间为,.‎ ‎ (Ⅱ),‎ 令,得,,‎ 令,则,所以在上递增,‎ 所以,从而,所以 所以当时,；当时,；‎ 所以 令,则,‎ 令,则 所以在上递减,而 所以存在使得,且当时,,‎ 当时,,‎ 所以在上单调递增,在上单调递减.‎ 因为,,‎ 所以在上恒成立,当且仅当时取得“”.‎ 综上,函数在上的最大值.‎