2021届北师大版高考理科数一轮复习高效演练分层突破：第七章　第3讲　二元一次不等式（组）及简单的线性规划问题

2021届北师大版高考理科数一轮复习高效演练分层突破：第七章　第3讲　二元一次不等式（组）及简单的线性规划问题

‎ [基础题组练]‎ ‎1．(2020·南阳模拟)若x，y满足约束条件则z＝＋y的最小值为(　　)‎ A．－1 B．－2 ‎ C．1 D．2‎ 解析：选A.作出x，y满足约束条件的平面区域如图所示(阴影部分)：‎ 由图易得，目标函数z＝＋y在点A处取最小值，为－1.故选A.‎ ‎2．(2020·福建漳州一模)若实数x，y满足则x＋y(　　)‎ A．有最小值无最大值 ‎ B．有最大值无最小值 C．既有最小值也有最大值 ‎ D．既无最小值也无最大值 解析：选A.如图中阴影部分所示即为实数x，y满足的可行域，‎ 由得A.‎ 由图易得当x＝，y＝时，‎ x＋y有最小值，没有最大值．‎ 故选A.‎ ‎3．已知变量x，y满足则z＝的最小值为(　　)‎ A. B． ‎ C. D． 解析：选B.因为z＝＝2＋，所以求z的最小值，即求动点(x，y)与定点A(0，－1)连线斜率的最小值再加2，画出不等式组所表示的可行域(图略)，可得zmin＝2＋＝.故选B.‎ ‎4．不等式组表示的平面区域为Ω，直线y＝kx－1与区域Ω有公共点，则实数k的取值范围为(　　)‎ A．(0，3] B．[－1，1]‎ C．(－∞，3] D．[3，＋∞)‎ 解析：选D.直线y＝kx－1过定点M(0，－1)，‎ 由图可知，当直线y＝kx－1经过直线y＝x＋1与直线x＋y＝3的交点C(1，2)时，k最小，此时kCM＝＝3，因此k≥3，即k∈[3，＋∞)．故选D.‎ ‎5．实数x，y满足(a<1)，且z＝2x＋y的最大值是最小值的4倍，则a的值是(　　)‎ A. B． ‎ C. D． 解析：选B.在直角坐标系中作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分(包括边界)所示，当目标函数z＝2x＋y经过可行域中的点B(1，1)时有最大值3，当目标函数z＝2x＋y经过可行域中的点A(a，a)时有最小值3a，由3＝4×3a，得a＝.‎ ‎6．(一题多解)(2020·开封模拟)已知实数x，y满足约束条件则z＝的最大值是________．‎ 解析：法一：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，设u＝x－2y，由图知，当u＝x－2y经过点A(1，3)时取得最小值，即umin＝1－2×3＝－5，此时z＝取得最大值，即zmax＝＝32.‎ 法二：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，易知z＝的最大值在区域的顶点处取得，只需求出顶点A，B，C的坐标分别代入z＝，即可求得最大值．联立得解得A(1，3)，代入可得z＝32；联立得解得B，代入可得z＝；联立得解得C(－2，0)，代入可得z＝4.通过比较可知，在点A(1，3)处，z＝取得最大值32.‎ 答案：32‎ ‎7．若变量x，y满足约束条件则(x－2)2＋y2的最小值为________．‎ 解析：作出不等式组对应的平面区域，如图中阴影部分所示，‎ 设z＝(x－2)2＋y2，则z的几何意义为区域内的点到定点D(2，0)的距离的平方，‎ 由图知C，D间的距离最小，此时z最小．‎ 由得即C(0，1)，‎ 此时zmin＝(0－2)2＋12＝4＋1＝5.‎ 答案：5‎ ‎8．已知点A(2，1)，O是坐标原点，P(x，y)的坐标满足：，设z＝‎ eq o(OP,sup6(→))·，则z的最大值是________．‎ 解析：‎ 法一：由题意，作出可行域，如图中阴影部分所示．z＝·＝2x＋y，作出直线2x＋y＝0并平移，可知当直线过点C时，z取得最大值，由，得，即C(1，2)，则z的最大值是4.‎ 法二：由题意，作出可行域，如图中阴影部分所示，可知可行域是三角形封闭区域．z＝·＝2x＋y，易知目标函数z＝2x＋y的最大值在顶点处取得，求出三个顶点的坐标分别为(0，0)，(1，2)，(－3，0)，分别将(0，0)，(1，2)，(－3，0)代入z＝2x＋y，对应z的值为0，4，－6，故z的最大值是4.‎ 答案：4‎ ‎9.如图所示，已知D是以点A(4，1)，B(－1，－6)，C(－3，2)为顶点的三角形区域(包括边界与内部)．‎ ‎(1)写出表示区域D的不等式组；‎ ‎(2)设点B(－1，－6)，C(－3，2)在直线4x－3y－a＝0的异侧，求a的取值范围．‎ 解：(1)直线AB，AC，BC的方程分别为7x－5y－23＝0，x＋7y－11＝0，4x＋y＋10＝0.原点(0，0)在区域D内，故表示区域D的不等式组为 ‎(2)根据题意有[4×(－1)－3×(－6)－a]·[4×(－3)－3×2－a]<0，即(14－a)(－18－a)<0，‎ 解得－180 D．a≤－2‎ 解析：选A.画出不等式组表示的区域D，如图中阴影部分所示，其中A(2，2)，B(1，2)，C(1，3)，任意的(x，y)∈D，使x－y≥a成立，则a≤(x－y)min，平移直线x－y＝0，易知当直线经过点C(1，3)时，x－y取得最小值，(x－y)min＝－2，则a≤－2，故必要不充分条件可以是a<0，故选A.‎ ‎4．已知实数x，y满足则z＝y－ln x的取值范围为________．‎ 解析：作出可行域如图(阴影部分)，其中A(，0)，B(3，0)，C(，－)．　‎ 由图可知，当y＝ln x＋z过点A(，0)时z取得最大值，‎ zmax＝0－ln＝ln 6.设y＝ln x＋z的图象与直线y＝x－3‎ 相切于点M(x0，y0)，由y＝ln x＋z得y′＝，令＝1得x0＝1∈，‎ 故y＝ln x＋z与y＝x－3切于点M(1，－2)时，z取得最小值，zmin＝－2－ln 1＝－2.‎ 所以z＝y－ln x的取值范围为[－2，ln 6]．‎ 答案：[－2，ln 6]‎ ‎5．已知点A(5，5)，直线l：x＝my＋n(n＞0)过点A.若可行域 的外接圆的直径为20，求n的值．‎ 解：‎ 注意到直线l′：x－y＝0也经过点A，所以点A为直线l与l′的交点．‎ 画出不等式组 表示的可行域，如图中阴影部分所示．‎ 设直线l的倾斜角为α，则∠ABO＝π－α.‎ 在△OAB中，OA＝＝10.‎ 根据正弦定理，得＝20，解得α＝或.‎ 当α＝时，＝tan ，得m＝－.‎ 又直线l过点A(5，5)，所以5＝－×5＋n，‎ 解得n＝10.‎ 当α＝时，同理可得m＝，n＝0(舍去)．‎ 综上，n＝10.‎ ‎6．某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A，B，C三种主要原料．生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示：‎ 原料 肥料　　‎ A B C 甲 ‎4‎ ‎8‎ ‎3‎ 乙 ‎5‎ ‎5‎ ‎10‎ 现有A种原料200吨，B种原料360吨，C种原料300吨，在此基础上生产甲、乙两种肥料．已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元．分别用x，y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数．‎ ‎(1)用x，y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；‎ ‎(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润．‎ 解：(1)由已知得，x，y满足的数学关系式为 设二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分．‎ ‎(2)设利润为z万元，则目标函数为z＝2x＋3y.‎ 考虑z＝2x＋3y，将它变形为y＝－x＋， 这是斜率为－，随z变化的一族平行直线.为直线在y轴上的截距，当取最大值时，z的值最大．又因为x，y满足约束条件，所以由图2可知，当直线z＝2x＋3y经过可行域 上的点M时，截距最大，即z最大．‎ 解方程组 得点M的坐标为(20，24)．‎ 所以zmax＝2×20＋3×24＝112.‎ 即生产甲种肥料20车皮、乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润为112万元．‎