2021届浙江新高考数学一轮复习高效演练分层突破:第十章 2 第2讲 排列与组合

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2021届浙江新高考数学一轮复习高效演练分层突破:第十章 2 第2讲 排列与组合

‎[基础题组练]‎ ‎1.不等式A<6×A的解集为(  )‎ A.[2,8]          B.[2,6]‎ C.(7,12) D.{8}‎ 解析:选D.由题意得<6×,所以x2-19x+84<0,解得7<x<12.又x≤8,x-2≥0,所以7<x≤8,x∈N*,即x=8.‎ ‎2.(2020·金华等三市部分学校高三期中)如图,一环形花坛分成A,B,C,D四块,现有4种不同的花供选种,要求在每块里种1种花,且相邻的2块种不同的花,则不同的种法总数为(  )‎ A.96 B.84‎ C.60 D.48‎ 解析:选B.法一:分三类:种两种花有A种种法;种三种花有2A种种法;种四种花有A种种法.‎ 共有A+2A+A=84.‎ 法二:按A-B-C-D顺序种花,可分A,C同色与不同色有4×3×(1×3+2×2)=84.‎ ‎3.(2020·温州八校第二次联考)若无重复数字的三位数满足条件:①个位数字与十位数字之和为奇数,②所有数位上的数字和为偶数,则这样的三位数的个数是(  )‎ A.540 B.480‎ C.360 D.200‎ 解析:选D.由个位数字与十位数字之和为奇数知个位数字、十位数字1奇1偶,有CCA=50种排法;所有数位上的数字和为偶数,则百位数字是奇数,有C=4种满足题意的选法,故满足题意的三位数共有C×CCA=200(个).‎ ‎4.3本不同的数学书与3本不同的语文书放在书架同一层,则同类书不相邻的放法种数为(  )‎ A.36 B.72‎ C.108 D.144‎ 解析:选B.3本数学书的放法有A种,将3本语文书插入使得语文数学均不相邻的插法有2A种,故同类书不相邻的放法有2AA=2×6×6=72(种),故选B.‎ ‎5.(2020·金华十校期末调研)A、B、C、D、E五个人参加抽奖活动,现有5个红包,每人各摸一个,5个红包中有2个8元,1个18元,1个28元,1个0元,(红包中金额相同视为相同红包),则A、B两人都获奖(0元视为不获奖)的情况有(  )‎ A.18种 B.24种 C.36种 D.48种 解析:选C.A、B两人都获奖(0元视为不获奖)的情况有三类:‎ 即获奖的四人为:ABCD,ABCE,ABDE,‎ 在每类情况中,获奖的情况有C·A=12种,‎ 所以由分步乘法原理得:A、B两人都获奖(0元视为不获奖)的情况有3×12=36种.‎ ‎6.某中学高一学习雷锋志愿小组共有16人,其中一班、二班、三班、四班各4人,现从中任选3人,要求这三人不能全是同一个班的学生,且在三班至多选1人,则不同选法的种数为(  )‎ A.484 B.472‎ C.252 D.232‎ 解析:选B.若三班有1人入选,则另两人从三班以外的12人中选取,共有CC=264种选法.若三班没有人入选,则要从三班以外的12人中选3人,又这3人不能全来自同一个班,故有C-3C=208种选法.故总共有264+208=472种不同的选法.‎ ‎7.如图,∠MON的边OM上有四点A1,A2,A3,A4,ON上有三点B1,B2,B3,则以O,A1,A2,A3,A4,B1,B2,B3中三点为顶点的三角形的个数为(  )‎ A.30 B.42‎ C.54 D.56‎ 解析:选B.间接法:先从这8个点中任取3个点,有C种取法,再减去三点共线的情形即可,即C-C-C=42.‎ ‎8.(2019·宁波高考模拟)从1,2,3,4,5这五个数字中选出三个不相同数组成一个三位数,则奇数位上必须是奇数的三位数的个数为(  )‎ A.12 B.18‎ C.24 D.30‎ 解析:选B.根据题意,要求奇数位上必须是奇数的三位数,则这个三位数的百位、个位为奇数,分2步进行分析:‎ ‎①在1、3、5三个奇数中任选2个,安排在三位数的个位和百位,有CA=6种情况,‎ ‎②在剩余的3个数字中任选1个,将其安排在三位数的十位,有C=3种情况,‎ 则奇数位上必须是奇数的三位数有6×3=18个.‎ ‎9.(2020·温州中学高三模拟)身高从矮到高的甲、乙、丙、丁、戊5人排成高矮相间的一个队形,则甲丁不相邻的不同的排法共有(  )‎ A.12 B.14‎ C.16 D.18‎ 解析:选B.从矮到高的甲、乙、丙、丁、戊5人的身高可记为1,2,3,4,5.要求1,4不相邻.分四类:①先排4,5时,则1只有1种排法,2,3在剩余的两个位上,这样有AA=4种排法;②先排3,5时,则4只有1种排法,2,1在剩余的两个位上,这样有AA=4种排法;③先排1,2时,则4只有1种排法,3,5在剩余的两个位上,这样有AA=4种排法;④先排1,3时,则这样的数只有两个,即21534,43512,只有两种排法.综上共有4+4+4+2=14种排法,故选B.‎ ‎10.设集合A={(x1,x2,x3,x4,x5)|xi∈{-1,0,1},i=1,2,3,4,5},那么集合A中满足条件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3”的元素的个数为(  )‎ A.60 B.90‎ C.120 D.130‎ 解析:选D.设t=|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|,t=1说明x1,x2,x3,x4,x5中有一个为-1或1,其他为0,所以有2×C=10个元素满足t=1;t=2说明x1,x2,x3,x4,x5中有两个为-1或1,其他为0,所以有C×2×2=40个元素满足t=2;t=3说明x1,x2,x3,x4,x5中有三个为-1或1,其他为0,所以有C×2×2×2=80个元素满足t=3,从而,共有10+40+80=130个元素满足1≤t≤3.‎ ‎11.(2020·温州十五校联合体期末联考)用数字1、2、3、4、5构成数字不重复的五位数,要求数字1,3不相邻,数字2,5相邻,则这样的五位数的个数是________(用数字作答).‎ 解析:先把2,5捆挷有2种方法,再把它与4排列有2种排法,此时共有3个空隙供数字1、3插入有A=6种方法,故这样的五位数的个数是2×2×6=24个.‎ 答案:24‎ ‎12.(2020·嘉兴市一中高考适应性考试)电影院一排10个位置,甲、乙、丙三人去看电影,要求他们坐在同一排,那么他们每人左右两边都有空位且甲坐在中间的坐法有________种.‎ 解析:先排7个空座位,由于空座位是相同的,则只有1种情况,其中有6个空位符合条件,考虑三人的顺序,将3人插入6个空位中,则共有1×A=120种情况,由于甲必须坐在三人中间,则有符合要求的坐法有×120=40(种).‎ 答案:40‎ ‎13.从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对,其中所成的角为60°的共有________对.‎ 解析:如图.它们的棱是原正方体的12条面对角线.‎ 一个正四面体中两条棱成60°角的有(C-3)对,两个正四面体有(C-3)×2对.又正方体的面对角线中平行成对,所以共有(C-3)×2×2=48(对).‎ 答案:48‎ ‎14.如图A,B,C,D为海上4个小岛,要建立3座大桥,将4个小岛连接起来,则不同的建桥方案有________种.‎ 解析:法一:任2个岛之间建立1座桥,则共需C=6座桥,现只建其中3座,有C种建法,但如图(1)这样的建桥方式是不合题意的,类似这样的情况有C种,则共有C-C=16种建桥方案.‎ 法二:依题意,满足条件的建桥方案分两类.‎ 第一类,如图(2),此时有C种方法.‎ 第二类,如图(3),此时有A=12种方法.‎ 由分类加法计数原理得,共有4+12=16种建桥方案.‎ 答案:16‎ ‎15.现从男、女共8名学生干部中选出2名男同学和1名女同学分别参加全校“资源”“生态”“环保”三个夏令营活动,已知共有90种不同的方案,那么有男生________人、女生________人.‎ 解析:设男、女同学的人数分别为m和n,则有,‎ 即 由于m,n∈N+,则m=3,n=5.‎ 答案:3 5‎ ‎16.在航天员进行的一项太空实验中,要先后实施6个程序,其中程序A只能出现在第一或最后一步,程序B和C在实施时必须相邻,则实验顺序的编排方法共有________种.‎ 解析:程序A有A=2种结果,将程序B和C看作元素集团与除A外的元素排列有AA=48(种),所以由分步乘法计数原理得,实验顺序的编排共有2×48=96种方法.‎ 答案:96‎ ‎17.规定C=,其中x∈R,m是正整数,且C=1,这是组合数C(n,m是正整数,且m≤n)的一种推广,则C=________;若x>0,则x=________时,取到最小值,该最小值为________.‎ 解析:由规定:C==-680,由==.‎ 因为x>0,x+≥2,当且仅当x=时,等号成立,‎ 所以当x=时,得最小值.‎ 答案:-680   ‎[综合题组练]‎ ‎1.已知10件不同的产品中有4件是次品,现对它们进行测试,直至找出所有的次品为止.‎ ‎(1)若恰在第5次测试才测试到第1件次品,第10次才找到最后一件次品,则这样的不同测试方法数是多少?‎ ‎(2)若恰在第5次测试后就找出了所有次品,则这样的不同测试方法数是多少?‎ 解:(1)先排前4次测试,只能取正品,有A种不同的测试方法,再从4件次品中选2件排在第5次和第10次的位置上测试,有C·A=A种测试方法,再排余下4件的测试位置,有A种测试方法.所以共有A·A·A=103 680种不同的测试方法.‎ ‎(2)第5次测试的产品恰为最后一件次品,另3件在前4次中出现,从而前4次有一件正品出现,所以共有C·C·A=576种不同的测试方法.‎ ‎2.现有男运动员6名,女运动员4名,其中男女队长各1名,选派5人外出比赛,在下列情形中各有多少种选派方法?‎ ‎(1)男运动员3名,女运动员2名;‎ ‎(2)至少有1名女运动员;‎ ‎(3)既要有队长,又要有女运动员.‎ 解:(1)任选3名男运动员,方法数为C,再选2名女运动员,方法数为C,共有C·C=120种方法.‎ ‎(2)法一:至少有1名女运动员包括以下几种情况:‎ ‎1女4男,2女3男,3女2男,4女1男,‎ 由分类加法计数原理可得总选法数为 CC+CC+CC+CC=246(种).‎ 法二:“至少有1名女运动员”的反面是“全是男运动员”,因此用间接法求解,不同选法有C-C=246(种).‎ ‎(3)当有女队长时,其他人任意选,共有C种选法,不选女队长时,必选男队长,其他人任意选,共有C种选法,其中不含女运动员的选法有C种,所以不选女队长时共有(C-C)种选法.‎ 所以既有队长又有女运动员的选法共有C+C-C=191(种).‎ ‎3.证明下列各题:‎ ‎(1)A+kA=A(k≤n,n≥0);‎ ‎(2)CC=CC(k≤m≤n,n≥0).‎ 证明:(1)左边=+k· ‎== ‎=A=右边.‎ ‎(2)左边=· ‎=,‎ 右边=· ‎=,‎ 所以左边=右边.‎ ‎4.集合A={x∈Z|x≥10},集合B是集合A的子集,且B中的元素满足:①任意一个元素的各数位的数字互不相同;②任意一个元素的任意两个数位的数字之和不等于9.‎ ‎(1)集合B中两位数和三位数各有多少个?‎ ‎(2)集合B中是否有五位数?是否有六位数?‎ ‎(3)将集合B中的元素从小到大排列,求第1 081个元素.‎ 解:将0,1,…,9这10个数字按照和为9进行配对,(0,9),(1,8),(2,7),(3,6),(4,5),B中元素的每个数位只能从上面五对数中每对只取一个数构成.‎ ‎(1)两位数有C×22×A-C×2=72(个);‎ 三位数有C×23×A-C×22×A=432(个).‎ ‎(2)存在五位数,只需从上述五个数对中每对取一个数即可找出符合条件的五位数;不存在六位数,若存在,则至少要从一个数对中取出两个数,则该两个数字之和为9,与B中任意一个元素的任意两个数位的数字之和不等于9矛盾,因此不存在六位数.‎ ‎(3)四位数共有C×24×A-C×23×A=1 728(个),‎ 因此第1 081个元素是四位数,且是第577个四位数,‎ 我们考虑千位,千位为1,2,3的四位数有3×C×23×A=576(个),因此第1 081个元素是4 012.‎
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