2021届浙江新高考数学一轮复习高效演练分层突破：第十章　5 第5讲　古典概型

2021届浙江新高考数学一轮复习高效演练分层突破：第十章　5 第5讲　古典概型

[基础题组练] 1．从分别写有 1，2，3，4，5 的 5 张卡片中随机抽取 1 张，放回后再随机抽取 1 张， 则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为( ) A. 1 10 B.1 5 C. 3 10 D.2 5 解析：选 D.依题意，记两次取得卡片上的数字依次为 a，b，则一共有 25 个不同的数组 (a，b)，其中满足 a>b 的数组共有 10 个，分别为(2，1)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)， (4，3)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，因此所求的概率为10 25 ＝2 5 ，选 D. 2．高三毕业时，甲、乙、丙等五位同学站成一排合影留念，已知甲、乙相邻，则甲、 丙相邻的概率为( ) A. 1 10 B.1 4 C. 3 10 D.2 5 解析：选 B.五人排队，甲、乙相邻的排法有 A22A44＝48(种)，若甲、丙相邻，此时甲在 乙、丙中间，排法有 A33A22＝12(种)，故甲、丙相邻的概率为12 48 ＝1 4. 3．袋中共有 15 个除了颜色外完全相同的球，其中有 10 个白球，5 个红球，从袋中任 取 2 个球，所取的 2 个球中恰有 1 个白球，1 个红球的概率为( ) A．1 B.11 21 C.10 21 D. 5 21 解析：选 C.从袋中任取 2 个球共有 C215＝105 种，其中恰好 1 个白球，1 个红球共有 C110C15 ＝50 种，所以恰好 1 个白球，1 个红球的概率为 50 105 ＝10 21. 4．(2020·台州高三质检)已知集合 M＝{1，2，3，4}，N＝{(a，b)|a∈M，b∈M}，A 是 集合 N 中任意一点，O 为坐标原点，则直线 OA 与 y＝x2＋1 有交点的概率是( ) A.1 2 B.1 3 C.1 4 D.1 8 解析：选 C.易知过点(0，0)与 y＝x2＋1 相切的直线为 y＝2x(斜率小于 0 的无需考虑)， 集合 N 中共有 16 个元素，其中使 OA 斜率不小于 2 的有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，4)， 共 4 个，由古典概型知概率为 4 16 ＝1 4. 5．(2020·湖州模拟)已知函数 f(x)＝1 3x3＋ax2＋b2x＋1，若 a 是从 1，2，3 三个数中任取 的一个数，b 是从 0，1，2 三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为( ) A.7 9 B.1 3 C.5 9 D.2 3 解析：选 D.f′(x)＝x2＋2ax＋b2，要使函数 f(x)有两个极值点，则有Δ＝(2a)2－4b2＞0， 即 a2＞b2.由题意知所有的基本事件有 9 个，即(1，0)，(1，1)，(1，2)，(2，0)，(2，1)，(2， 2)，(3，0)，(3，1)，(3，2)，其中第一个数表示 a 的取值，第二个数表示 b 的取值．满足 a2＞b2 的有 6 个基本事件，即(1，0)，(2，0)，(2，1)，(3，0)，(3，1)，(3，2)，所以所求事 件的概率为6 9 ＝2 3. 6．一个三位自然数百位，十位，个位上的数字依次为 a，b，c，当且仅当 a＞b，b＜c 时称为“凹数”(如 213，312 等)，若 a，b，c∈{1，2，3，4}，且 a，b，c 互不相同，则这 个三位数为“凹数”的概率是( ) A.1 6 B. 5 24 C.1 3 D. 7 24 解析：选 C.由 1，2，3 组成的三位自然数为 123，132，213，231，312，321，共 6 个； 同理由 1，2，4 组成的三位自然数共 6 个； 由 1，3，4 组成的三位自然数也是 6 个； 由 2，3，4 组成的三位自然数也是 6 个． 所以共有 6＋6＋6＋6＝24 个． 当 b＝1 时，有 214，213，314，412，312，413，共 6 个“凹数”． 当 b＝2 时，有 324，423，共 2 个“凹数”． 所以这个三位数为“凹数”的概率 P＝6＋2 24 ＝1 3. 7．(2020·杭州学军中学高三质检)甲、乙两个箱子里各装有 2 个红球和 1 个白球，现从 两个箱子中随机各取一个球，则至少有一个红球的概率为________． 解析：两个箱子各取一个球全是白球的概率 P＝ 1 C13C13 ＝1 9 ，所以至少有一个红球的概率 为 1－P＝1－1 9 ＝8 9. 答案：8 9 8．在 3 张奖券中有一、二等奖各 1 张，另 1 张无奖．甲、乙两人各抽取 1 张，两人都 中奖的概率是________． 解析：记“两人都中奖”为事件 A，设中一、二等奖及不中奖分别记为 1，2，0，那么 甲、乙抽奖结果有(1，2)，(1，0)，(2，1)，(2，0)，(0，1)，(0，2)，共 6 种．其中甲、乙都 中奖有(1，2)，(2，1)，2 种，所以 P(A)＝2 6 ＝1 3. 答案：1 3 9．从 20 名男生、10 名女生中任选 3 名参加体能测试，则选到的 3 名学生中既有男生 又有女生的概率为________． 解析：选到的学生中有男生 1 名、女生 2 名的选法有 C120C210 种，选到的学生中有男生 2 名、女生 1 名的选法有 C220C110 种，则选到的 3 名学生中既有男生又有女生的概率为 P＝ C120C210＋C220C110 C330 ＝20 29. 答案：20 29 10．有 100 本书，既分为文科、理科 2 类，又分为精装、平装 2 种，其中文科书 40 本， 精装书 70 本，理科的平装书 20 本，则： (1)任取 1 本恰是文科精装书的概率是________； (2)先任取 1 本恰是文科书，放回后再取 1 本恰是精装书的概率是________． 解析：(1)基本事件总数为 100，其中文科书 40 本，理科书 60 本；精装书 70 本，理科 的平装书 20 本，精装书 40 本；文科的精装书 30 本，文科的平装书 10 本． 则任取 1 本恰是文科精装书的概率为 30 100 ＝0.3. (2)基本事件总数为 100×100，则所求概率 P＝ C140C170 100×100 ＝ 4 10 × 7 10 ＝0.28. 答案：(1)0.3 (2)0.28 11．某旅游爱好者计划从 3 个亚洲国家 A1，A2，A3 和 3 个欧洲国家 B1，B2，B3 中选择 2 个国家去旅游． (1)若从这 6 个国家中任选 2 个，求这 2 个国家都是亚洲国家的概率； (2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选 1 个，求这 2 个国家包括 A1 但不包括 B1 的概率． 解：(1)由题意知，从 6 个国家中任选 2 个国家，其一切可能的结果组成的基本事件有： {A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，B1}，{A2，B2}， {A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，共 15 个． 所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有：{A1，A2}，{A1，A3}，{A2， A3}，共 3 个． 则所求事件的概率为 P＝ 3 15 ＝1 5. (2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选 1 个，其一切可能的结果组成的基本事件有： {A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}， {A3，B3}，共 9 个． 包括 A1 但不包括 B1 的事件所包含的基本事件有：{A1，B2}，{A1，B3}，共 2 个， 则所求事件的概率为 P＝2 9. 12．在 100 件产品中，有 95 件合格品、5 件次品，从中任取 2 件，求： (1)2 件都是合格品的概率； (2)2 件都是次品的概率； (3)1 件是合格品、1 件是次品的概率． 解：从 100 件产品中任取 2 件可能出现的结果数就是从 100 个元素中任取 2 个元素的组 合数 C2100，由于任意抽取，这些结果出现的可能性相等，则 C2100＝4 950 为基本事件总数． (1)100 件产品中有 95 件合格品，取到 2 件合格品的结果数就是从 95 个元素中任取 2 个 的组合数 C295，记“任取 2 件都是合格品”为事件 A1，那么 P(A1)＝ C295 C2100 ＝893 990. (2)由于在 100 件产品中有 5 件次品，取到 2 件次品的结果数为 C25，记“任取 2 件都是 次品”为事件 A2，那么事件 A2 的概率 P(A2)＝ C25 C2100 ＝ 1 495. (3)记“任取 2 件，1 件是次品，1 件是合格品”为事件 A3，而取到 1 件合格品、1 件次 品的结果有 C195·C 15种，则事件 A3 的概率 P(A3)＝C195·C15 C2100 ＝ 19 198. [综合题组练] 1．从 1 到 10 这十个自然数中随机取三个数，则其中一个数是另两个数之和的概率是 ( ) A.1 6 B.1 4 C.1 3 D.1 2 解析：选 A.不妨设取出的三个数为 x，y，z(xf(2a)>0 的概 率为( ) A.1 3 B.3 7 C.1 2 D.4 7 解析：选 B.因为 a∈{1 5 ，1 4 ，2，4，5，8，9}， 所以 3a＋2>2a， 又 f(3a＋2)>f(2a)>0，所以函数 f(x)为单调递增函数． 因为 f(x)＝logax－3loga2＝loga x 8 ， 所以 a>1， 又 f(2a)>0，所以 loga 2a 8 >0， 所以2a 8 >1，即 a>4，则 f(3a＋2)>f(2a)>0 的概率 P＝3 7.故选 B. 3．某同学同时掷两颗骰子，得到的点数分别为 a，b，则双曲线x2 a2 －y2 b2 ＝1 的离心率 e> 5 的概率是________． 解析：由 e＝ 1＋b2 a2> 5，得 b>2a. 当 a＝1 时，b＝3，4，5，6 四种情况； 当 a＝2 时，b＝5，6 两种情况，总共有 6 种情况． 又同时掷两颗骰子，得到的点数(a，b)共有 36 种结果． 所以所求事件的概率 P＝ 6 36 ＝1 6. 答案：1 6 4．连续抛掷同一颗均匀的骰子，记第 i 次得到的向上一面的点数为 ai，若存在正整数 k， 使 a1＋a2＋…＋ak＝6，则称 k 为幸运数字，则幸运数字为 3 的概率是________． 解析：连续抛掷同一颗均匀的骰子 3 次，所含基本事件总数 n＝6×6×6， 要使 a1＋a2＋a3＝6，则 a1，a2，a3 可取 1，2，3 或 1，1，4 或 2，2，2 三种情况， 其所含的基本事件个数 m＝A33＋C13＋1＝10. 故幸运数字为 3 的概率为 P＝ 10 6×6×6 ＝ 5 108. 答案： 5 108 5．已知 8 支球队中有 3 支弱队，以抽签方式将这 8 支球队分为 A，B 两组，每组 4 支， 求： (1)A，B 两组中有一组恰好有 2 支弱队的概率； (2)A 组中至少有 2 支弱队的概率． 解：(1)法一：3 支弱队在同一组中的概率为C15 C48 ×2＝1 7 ， 故有一组恰好有 2 支弱队的概率为 1－1 7 ＝6 7. 法二：A 组恰有 2 支弱队的概率为C23C25 C48 ，B 组恰好有 2 支弱队的概率为C23C25 C48 ， 所以有一组恰好有 2 支弱队的概率为C23C25 C48 ＋C23C25 C48 ＝6 7. (2)法一：A 组中至少有 2 支弱队的概率为C23C25 C48 ＋C33C15 C48 ＝1 2. 法二：A，B 两组有一组中至少有 2 支弱队的概率为 1(因为此事件为必然事件)．由于对 A 组和 B 组而言，至少有 2 支弱队的概率是相同的，所以 A 组中至少有 2 支弱队的概率为1 2. 6．在某大型活动中，甲、乙等五名志愿者被随机地分到 A，B，C，D 四个不同的岗位 服务，每个岗位至少有一名志愿者． (1)求甲、乙两人同时参加 A 岗位服务的概率； (2)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率； (3)求五名志愿者中仅有一人参加 A 岗位服务的概率． 解：(1)记“甲、乙两人同时参加 A 岗位服务”为事件 EA，那么 P(EA)＝ A33 C25A44 ＝ 1 40 ，即 甲、乙两人同时参加 A 岗位服务的概率是 1 40. (2)记“甲、乙两人同时参加同一岗位服务”为事件 E，那么 P(E)＝ A44 C25A44 ＝ 1 10 ，所以甲、 乙两人不在同一岗位服务的概率是 P( E－)＝1－P(E)＝ 9 10. (3)有两人同时参加 A 岗位服务的概率 P2＝C25A33 C25A44 ＝1 4 ，所以仅有一人参加 A 岗位服务的 概率 P1＝1－P2＝3 4.