高考数学复习 17-18版 第9章 第40课 直线、平面平行的判定及其性质

高考数学复习 17-18版 第9章 第40课 直线、平面平行的判定及其性质

第40课 直线、平面平行的判定及其性质 ‎[最新考纲]‎ 内容 要求 A B C 直线与平面平行的判定及性质 ‎√‎ 两平面平行的判定及性质 ‎√‎ ‎1．直线与平面平行的判定与性质 判定 性质 定义 定理 图形 条件 a∩α＝∅‎ a⊂α，b⊄α，‎ a∥b a∥α a∥α，a⊂β，‎ α∩β＝b 结论 a∥α b∥α a∩α＝∅‎ a∥b ‎2.面面平行的判定与性质 判定 性质 定义 定理 图形 条件 α∩β＝∅‎ a⊂β，b⊂β，‎ a∩b＝P，‎ a∥α，b∥α α∥β，‎ α∩γ＝a，‎ β∩γ＝b α∥β，a⊂β，‎ 结论 α∥β α∥β a∥b a∥α ‎3.与垂直相关的平行的判定 ‎(1)a⊥α，b⊥α⇒a∥b.‎ ‎(2)a⊥α，a⊥β⇒α∥β.‎ ‎1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)若一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．(　　)‎ ‎(2)若直线a∥平面α，P∈α，则过点P且平行于直线a的直线有无数条．(　　)‎ ‎(3)若一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行．(　　)‎ ‎(4)若两个平面平行，则一个平面内的直线与另一个平面平行．(　　)‎ ‎[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√‎ ‎2．(教材改编)下列命题中，正确的是____________．‎ ‎①若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面；‎ ‎②若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行；‎ ‎③若直线a，b和平面α满足a∥α，b∥α，那么a∥b；‎ ‎④若直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，则b∥α.‎ ‎④　[根据线面平行的判定与性质定理知，④正确．]‎ ‎3．(2015·北京高考改编)设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，“m∥β ”是“α∥β ”的____________条件．‎ 必要不充分　[当m∥β时，过m的平面α与β可能平行也可能相交，因而m∥βD⇒/α∥β；当α∥β时，α内任一直线与β平行，因为m⊂α，所以m∥β.综上知，“m∥β ”是“α∥β ”的必要而不充分条件．]‎ ‎4．在正方体ABCDA1B‎1C1D1中，E是DD1的中点，则BD1与平面ACE的位置关系是________．‎ 平行　[‎ 如图所示，连结BD交AC于F，连结EF，则EF是△BDD1的中位线，‎ ‎∴EF∥BD1，‎ 又EF⊂平面ACE，‎ BD1⊄平面ACE，‎ ‎∴BD1∥平面ACE.]‎ ‎5．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：‎ ‎①若m⊂α，n∥α，则m∥n；‎ ‎②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；‎ ‎③若α∩β＝n，m∥n，m∥α，则m∥β；‎ ‎④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β.‎ 其中是真命题的是________．(填序号)‎ ‎②　[①，m∥n或m，n异面，故①错误；易知②正确；③，m∥β或m⊂β，故③错误；④，α∥β或α与β相交，故④错误．]‎ 与线、面平行相关命题真假的判断 ‎　已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是____________．(填序号)‎ ‎①若α，β垂直于同一平面，则α与β平行；‎ ‎②若m，n平行于同一平面，则m与n平行；‎ ‎③若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线；‎ ‎④若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面．‎ ‎④　[可以结合图形逐项判断．①中，α，β可能相交，故错误；‎ ‎②中，直线m，n的位置关系不确定，可能相交、平行或异面，故错误；‎ ‎③中，若m⊂α，α∩β＝n，m∥n，则m∥β，故错误；‎ ‎④中，假设m，n垂直于同一平面，则必有m∥n，所以原命题正确，故④正确．]‎ ‎[规律方法]　1.判断与平行关系相关命题的真假，必须熟悉线、面平行关系的各个定义、定理．‎ ‎2．(1)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断．‎ ‎(2)特别注意定理所要求的条件是否完备，图形是否有特殊情形，通过举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确．‎ ‎[变式训练1]　若m，n表示不同的直线，α，β表示不同的平面，则下列结论中正确的是____________．‎ ‎①若m∥α，m∥n，则n∥α；‎ ‎②若m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则α∥β；‎ ‎③若α⊥β，m∥α，n∥β，则m∥n；‎ ‎④若α∥β，m∥α，n∥m，n⊄β，则n∥β.‎ ‎④　[在①中，若m∥α，m∥n，则n∥α或n⊂α，故①错误．在②中，若m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则α与β相交或平行，故②错误．在③中，若α⊥β，m∥α，n∥β，则m与n相交、平行或异面，故③错误．在④中，若α∥β，m∥α，n∥m，n⊄β，则由线面平行的判定定理得n∥β，故④正确．]‎ 直线与平面平行的判定与性质 ‎　 (2017·南通模拟)如图401所示，斜三棱柱ABCA1B‎1C1中，点D，D1分别为AC，A‎1C1上的中点．‎ 图401‎ ‎(1)证明：AD1∥平面BDC1.‎ ‎(2)证明：BD∥平面AB1D1. 【导学号：62172219】‎ 证明：　(1)∵D1，D分别为A1C1与AC的中点，四边形ACC1A1为平行四边形，‎ ‎∴C1D1綊DA，‎ ‎∴四边形ADC1D1为平行四边形，‎ ‎∴AD1∥C1D，‎ 又AD1⊄平面BDC1，C1D⊂平面BDC1，‎ ‎∴AD1∥平面BDC1.‎ ‎(2)连结D1D，‎ ‎∵BB1∥平面ACC1A1，‎ BB1⊂平面BB1D1D，‎ 平面ACC1A1∩平面BB1D1D＝D1D，‎ ‎∴BB1∥D1D，‎ 又D1，D分别为A1C1与AC的中点，‎ ‎∴BB1＝DD1，‎ 故四边形BDD1B1为平行四边形，‎ ‎∴BD∥B1D1，‎ 又BD⊄平面AB1D1，B1D1⊂平面AB1D1，‎ ‎∴BD∥平面AB1D1.‎ ‎[规律方法]　1.判断或证明线面平行的常用方法有：‎ ‎(1)利用反证法(线面平行的定义)；‎ ‎(2)利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)；‎ ‎(3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a⊂α⇒a∥β)；‎ ‎(4)利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．‎ ‎2．利用判定定理判定线面平行，关键是找平面内与已知直线平行的直线．常利用三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线．‎ ‎[变式训练2]　在多面体ABCDEF中，点O是矩形ABCD的对角线的交点，三角形CDE是等边三角形，棱EF∥BC且EF＝BC.求证：FO∥平面CDE.‎ 图402‎ ‎[证明]　取CD中点M，连结OM，EM，‎ 在矩形ABCD中，OM∥BC且OM＝BC，‎ 又EF∥BC且EF＝BC，‎ 则EF∥OM且EF＝OM.‎ 所以四边形EFOM为平行四边形，所以FO∥EM.‎ 又因为FO⊄平面CDE，且EM⊂平面CDE，‎ 所以FO∥平面CDE.‎ 平面与平面平行的判定与 性质 ‎(典例迁移)‎ ‎　如图403所示，在三棱柱ABCA1B‎1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A‎1C1的中点，求证：‎ 图403‎ ‎(1)B，C，H，G四点共面；‎ ‎(2)平面EFA1∥平面BCHG.‎ ‎[证明]　(1)∵G，H分别是A1B1，A‎1C1的中点，‎ ‎∴GH是△A1B1C1的中位线，GH∥B1C1.‎ 又∵B1C1∥BC，‎ ‎∴GH∥BC，‎ ‎∴B，C，H，G四点共面．‎ ‎(2)在△ABC中，E，F分别为AB，AC的中点，‎ ‎∴EF∥BC.‎ ‎∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，‎ ‎∴EF∥平面BCHG.‎ ‎∵A1G綊EB，‎ ‎∴四边形A1EBG是平行四边形，则A1E∥GB.‎ ‎∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，‎ ‎∴A1E∥平面BCHG.‎ ‎∵A1E∩EF＝E，‎ ‎∴平面EFA1∥平面BCHG.‎ ‎[迁移探究]　在本例条件下，若点D为BC1的中点，求证：HD∥平面A1B1BA.‎ ‎[证明]　如图所示，连结HD，A1B，‎ ‎∵D为BC1的中点，H为A1C1的中点，‎ ‎∴HD∥A1B.‎ 又HD⊄平面A1B1BA，‎ A1B⊂平面A1B1BA，‎ ‎∴HD∥平面A1B1BA.‎ ‎[规律方法]　1.判定面面平行的主要方法：‎ ‎(1)面面平行的判定定理．‎ ‎(2)线面垂直的性质(垂直于同一直线的两平面平行)．‎ ‎2．面面平行的性质定理的作用：‎ ‎(1)判定线面平行；(2)判断线线平行，线线、线面、面面平行的相互转化是解决与平行有关的问题的指导思想．解题时要看清题目的具体条件，选择正确的转化方向．‎ 易错警示：利用面面平行的判定定理证明两平面平行时，需要说明是一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行．‎ ‎[变式训练3]　如图404，四棱锥PABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E为PB的中点．‎ 图404‎ ‎(1)求证：CE∥平面PAD.‎ ‎(2)在线段AB上是否存在一点F，使得平面PAD∥平面CEF？若存在，证明你的结论，若不存在，请说明理由. 【导学号：62172220】‎ ‎[解]　 (1)如图所示，取PA的中点H，连结EH，DH，因为E为PB的中点，‎ 所以EH∥AB，EH＝AB，‎ 又AB∥CD，CD＝AB，‎ 所以EH∥CD，‎ EH＝CD，‎ 因此四边形DCEH是平行四边形，‎ 所以CE∥DH，‎ 又DH⊂平面PAD，CE⊄平面PAD，‎ 因此CE∥平面PAD.‎ ‎(2)如图所示，取AB的中点F，连结CF，EF，‎ 所以AF＝AB.‎ 又CD＝AB，所以AF＝CD，‎ 又AF∥CD，所以四边形AFCD为平行四边形，‎ 因此CF∥AD.‎ 又CF⊄平面PAD，所以CF∥平面PAD，‎ 由(1)可知CE∥平面PAD，‎ 又CE∩CF＝C，故平面CEF∥平面PAD，‎ 故存在AB的中点F满足要求．‎ ‎[思想与方法]‎ ‎1．线线、线面、面面平行的相互转化 线线平行面面判定定理性质定理平行 其中线面平行是核心，线线平行是基础，要注意它们之间的灵活转化．‎ ‎2．直线与平面平行的主要判定方法 ‎(1)定义法；(2)判定定理；(3)面与面平行的性质．‎ ‎3．平面与平面平行的主要判定方法 ‎(1)定义法；(2)判定定理；(3)推论；(4)a⊥α，a⊥β⇒α∥β.‎ ‎[易错与防范]‎ ‎1．在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则会出现错误．‎ ‎2．(1)在面面平行的判定中易忽视“面内两条相交直线”这一条件．‎ ‎(2)如要一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，易误认为这两个平面平行，实质上也可以相交．‎ ‎3．在应用性质定理时，要遵从由“高维”到“低维”，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，决不可过于“模式化”，另外要注意符号语言的规范应用．‎ 课时分层训练(四十)‎ A组　基础达标 ‎(建议用时：30分钟)‎ 一、填空题 ‎1．若直线a⊥b，且直线a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是________．‎ b∥α，若b⊂α或b与α相交　[当b与α相交或b⊂α或b∥α时，均有满足a∥平面α，a⊥b的情形．]‎ ‎2．已知l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．下列命题：‎ ‎①若l⊂α，m⊂α，l∥β，m∥β，则α∥β；‎ ‎②若l⊂α，l∥β，α∩β＝m，则l∥m；‎ ‎③若α∥β，l∥α，则l∥β；‎ ‎④若l⊥α，m∥l，α∥β，则m⊥β.‎ 其中真命题是____________．(写出所有真命题的序号)‎ ‎②④　[对于①中，只要当l与m相交时，才可证明α∥β；对于③中，l可能在平面β内，②④正确．]‎ ‎3．设α，β，γ为三个不同的平面，a，b为直线，给出下列条件：‎ ‎①a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α；②α∥γ，β∥γ；③α⊥γ，β⊥γ；④a⊥α，b⊥β，a∥b.‎ 其中能推出α∥β的条件是________．(填上所有正确的序号) ‎ ‎【导学号：62172221】‎ ‎②④　[在条件①或条件③中，α∥β或α与β相交．‎ 由α∥γ，β∥γ⇒α∥β，条件②满足．‎ 在④中，a⊥α，a∥b⇒b⊥α，从而α∥β，④满足．]‎ ‎4．已知平面α外不共线的三点A，B，C到α的距离都相等，则正确的结论是____________(填序号)．‎ ‎①平面ABC必平行于α；‎ ‎②平面ABC必与α相交；‎ ‎③平面ABC必不垂直于α；‎ ‎④存在△ABC的一条中位线平行于α或在α内．‎ ‎④　[若A，B，C三点在α同侧，则平面ABC∥α.若A，B，C三点在α异侧，不妨设B，C在α的同侧，则BC∥α，由平行线的性质可知存在一条中位线DE∥BC，且DE⊂α.]‎ ‎5．如图405所示的三棱柱ABCA1B‎1C1中，过A1B1的平面与平面ABC交于DE，则DE与AB的位置关系是________．‎ 图405‎ 平行　[在三棱柱ABCA1B1C1中，AB∥A1B1.‎ ‎∵AB⊂平面ABC，A1B1⊄平面ABC，‎ ‎∴A1B1∥平面ABC.‎ ‎∵过A1B1的平面与平面ABC交于DE，‎ ‎∴DE∥A1B1，∴DE∥AB.]‎ ‎6.在四面体A－BCD中，M，N分别是△ACD，△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是____________．‎ 平面ABD与平面ABC　[如图，取CD的中点E.‎ 则EM∶MA＝1∶2，‎ EN∶BN＝1∶2，‎ 所以MN∥AB，‎ 所以MN∥平面ABD，MN∥平面ABC.]‎ ‎7．平面α∥平面β，点A，C∈α，B，D∈β，则直线AC∥直线BD的充要条件是____________．‎ ‎①AB∥CD；　　　　　　 ②AD∥CB；‎ ‎③AB与CD相交； ④A，B，C，D四点共面．‎ ‎④　[由面面平行的性质可知，AC∥BD的充要条件是A，B，C，D四点共面．]‎ ‎8.如图406所示，ABCD－A1B‎1C1D1是棱长为a的正方体，M，N分别是下底面的棱A1B1，B‎1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP＝，过P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ＝____________. 【导学号：62172222】‎ 图406‎ α　[∵面ABCD∥面A1B‎1C1D1，则PQ∥MN，‎ 连结AC(图略)，由MN∥AC可知PQ∥AC.‎ 又AP＝，∴PD＝a，‎ ‎∴PD∶DA＝2∶3.‎ ‎∴PQ＝AC.‎ 又AC＝a，‎ 故PQ＝a.]‎ ‎9．下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是____________．‎ 图407‎ ‎①④　[对于图形①，平面MNP与AB所在的对角面平行，即可得到AB∥平面MNP；对于图形④，AB∥PN，即可得到AB∥平面MNP；图形②③无论用定义还是判定定理都无法证明线面平行．]‎ ‎10．如图408，在正四棱柱ABCD－A1B‎1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，CD的中点，N是BC的中点，动点M在四边形EFGH上及其内部运动，则M满足条件____________时，有MN∥平面B1BDD1.‎ 图408‎ M∈FH　[∵HN∥BD，FH∥DD1，‎ ‎∴平面FHN∥平面BB1D1D.‎ ‎∵M在四边形EFGH上及其内部运动，‎ 故M∈FH.]‎ 二、解答题 ‎11．一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图409所示．‎ ‎(1)请将字母F，G，H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)；‎ ‎(2)判断平面BEG与平面ACH的位置关系，并证明你的结论. ‎ ‎【导学号：62172223】‎ 图409‎ ‎[解]　(1)点F，G，H的位置如图所示．‎ ‎(2)平面BEG∥平面ACH，证明如下：‎ 因为ABCDEFGH为正方体，‎ 所以BC∥FG，BC＝FG.‎ 又FG∥EH，FG＝EH，所以BC∥EH，BC＝EH，‎ 于是四边形BCHE为平行四边形，所以BE∥CH.‎ 又CH⊂平面ACH，BE⊄平面ACH，‎ 所以BE∥平面ACH.‎ 同理BG∥平面ACH.‎ 又BE∩BG＝B，所以平面BEG∥平面ACH.‎ ‎12.如图4010，在直三棱柱ABCA1B‎1C1中，已知AC⊥BC，BC＝CC1，设AB1的中点为D，B‎1C∩BC1＝E.‎ 图4010‎ 求证：(1)DE∥平面AA1C1C；‎ ‎(2)BC1⊥AB1.‎ ‎[证明]　(1)由题意知，E为B‎1C的中点，‎ 又D为AB1的中点，因此DE∥AC.‎ 又因为DE⊄平面AA1C1C，AC⊂平面AA1C1C，‎ 所以DE∥平面AA1C1C.‎ ‎(2)因为棱柱ABCA1B‎1C1是直三棱柱，‎ 所以CC1⊥平面ABC.‎ 因为AC⊂平面ABC，所以AC⊥CC1.‎ 因为AC⊥BC，CC1⊂平面BCC1B1，BC⊂平面BCC1B1，BC∩CC1＝C，‎ 所以AC⊥平面BCC1B1.‎ 又因为BC1⊂平面BCC1B1，所以BC1⊥AC.‎ 因为BC＝CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，‎ 因此BC1⊥B1C.‎ 因为AC，B1C⊂平面B1AC，AC∩B1C＝C，‎ 所以BC1⊥平面B1AC.‎ 又因为AB1⊂平面B1AC，所以BC1⊥AB1.‎ B组　能力提升 ‎(建议用时：15分钟)‎ ‎1.如图4011所示，正方体ABCDA1B‎1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上．若EF∥平面AB‎1C，则线段EF的长度等于________．‎ 图4011‎ 　[在正方体ABCDA1B‎1C1D1中，AB＝2，‎ ‎∴AC＝2.‎ 又E为AD中点，EF∥平面AB1C，EF⊂平面ADC，‎ 平面ADC∩平面AB1C＝AC，‎ ‎∴EF∥AC，∴F为DC中点，‎ ‎∴EF＝AC＝.]‎ ‎2．如图4012所示，棱柱ABCA1B‎1C1的侧面BCC1B1是菱形，设D是A‎1C1‎ 上的点且A1B∥平面B1CD，则A1D∶DC1的值为________．‎ 图4012‎ ‎1　[设BC1∩B‎1C＝O，连结OD.‎ ‎∵A1B∥平面B1CD且平面A1BC1∩平面B1CD＝OD，‎ ‎∴A1B∥OD.‎ ‎∵四边形BCC1B1是菱形，‎ ‎∴O为BC1的中点，‎ ‎∴D为A1C1的中点，‎ 则A1D∶DC1＝1.]‎ ‎3．如图4013，在正方体ABCDA1B‎1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是BC，DC，SC的中点，求证：‎ 图4013‎ ‎(1)直线EG∥平面BDD1B1；‎ ‎(2)平面EFG∥平面BDD1B1.‎ ‎[证明]　(1)如图，连结SB，因为E，G分别是BC，SC的中点，所以EG∥SB.又因为SB⊂平面BDD1B1，EG⊄平面BDD1B1，所以直线EG∥平面BDD1B1.‎ ‎(2)连结SD，因为F，G分别是DC，SC的中点，所以FG∥SD.‎ 又因为SD⊂平面BDD1B1，FG⊄平面BDD1B1，‎ 所以FG∥平面BDD1B1，且EG⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，EG∩FG＝G，所以平面EFG∥平面BDD1B1.‎ ‎4．如图4014所示，在三棱锥PABC中，平面PAC⊥平面ABC，PA⊥AC，AB⊥BC，设D，E分别为PA，AC的中点．‎ 图4014‎ ‎(1)求证：DE∥平面PBC.‎ ‎(2)在线段AB上是否存在点F，使得过三点D，E，F的平面内的任一条直线都与平面PBC平行？若存在，指出点F的位置并证明；若不存在，请说明理由．‎ ‎[解]　(1)证明：∵点E是AC中点，点D是PA的中点，∴DE∥PC.‎ 又∵DE⊄平面PBC，PC⊂平面PBC，∴DE∥平面PBC.‎ ‎(2)当点F是线段AB中点时，过点D，E，F的平面内的任一条直线都与平面PBC平行．‎ 证明如下：‎ 取AB的中点F，连结EF，DF.‎ 由(1)可知DE∥平面PBC.‎ ‎∵点E是AC中点，点F是AB的中点，‎ ‎∴EF∥BC.‎ 又∵EF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，‎ ‎∴EF∥平面PBC.‎ 又∵DE∩EF＝E，‎ ‎∴平面DEF∥平面PBC，‎ ‎∴平面DEF内的任一条直线都与平面PBC平行．‎ 故当点F是线段AB中点时，过点D，E，F所在平面内的任一条直线都与平面PBC平行．‎