2020高考数学二轮复习练习：第一部分 小题专题练 小题专题练（一） 集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式含解析
第一部分|小题限时专练
小题专题练
小题专题练(一) 集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式
一、选择题
1．(2019·兰州模拟)设全集 U＝R，集合 M＝{x|x≥0}，集合 N＝{x|x2<1}，则 M∩(∁UN)＝
( )
A．(0，1) B．[0，1]
C．[1，＋∞) D．(1，＋∞)
2．(2019·唐山模拟)命题“∀x>0，ln x≥1－1
x”的否定是( )
A．∃x0≤0，ln x0≥1－1
x0
B．∃x0≤0，ln x0<1－1
x0
C．∃x0>0，ln x0≥1－1
x0
D．∃x0>0，ln x0<1－1
x0
3．(2019·重庆模拟)设集合 M＝{x|x<3}，集合 N＝{x|0
2 019，则 p 是 q 的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．(2019·长春模拟)设偶函数 f(x)对任意 x∈R，都有 f(x＋3)＝－ 1
f（x），且当 x∈[－3，－
2]时，f(x)＝4x，则 f(107.5)＝( )
A．10 B. 1
10
C．－10 D．－ 1
10
6．(2019·汉中模拟)函数 f(x)＝
ln x2
x 的图象的大致形状是( )
7．已知 x＞0，y＞0，a＝(x，1)，b＝(1，y－1)，若 a⊥b，则1
x＋4
y的最小值为( )
A．4 B．9
C．8 D．10
8．已知定义域为 R 的偶函数 f(x)在(－∞，0]上是减函数，且 f(1)＝2，则不等式 f(log2x)＞
2 的解集为( )
A．(2，＋∞) B.(0，
1
2 )∪(2，＋∞)
C.(0， 2
2 )∪( 2，＋∞) D．( 2，＋∞)
9．已知函数 f(x)＝{|x＋1|，－7 ≤ x ≤ 0，
ln x，e－2 ≤ x ≤ e，g(x)＝x2－2x，设 a 为实数，若存在实数 m，
使 f(m)－2g(a)＝0，则实数 a 的取值范围是( )
A．[－1，＋∞) B．(－∞，－1]∪[3，＋∞)
C．[－1，3] D．(－∞，3]
10．(2019·四省八校双教研联考)设 f(x)＝
ex－（2a－1）x－1
x ，若存在唯一的整数 x 使得
f(x)<1，则实数 a 的取值范围是( )
A.(e－1
2 ，＋∞) B.(e－1
2 ，
e2－1
4 ]
C.(e－1
2 ，
e2－1
4 ) D.(－∞，
e2－1
4 )
11．(多选)下列命题正确的是( )
A．“a＞1”是“1
a＜1”的充分不必要条件
B．命题“∃x0∈(0，＋∞)，ln x0＝x0－1”的否定是“∀x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1”
C．设 x，y∈R，则“x≥2 且 y≥2”是“x2＋y2≥4”的必要不充分条件
D．设 a，b∈R，则“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件
12．(多选)已知 3a＝5b＝15，则 a，b 不可能满足的关系是( )
A．a＋b＞4 B．ab＞4
C．(a－1)2＋(b－1)2＞2 D．a2＋b2＜8
13．(多选)如果定义在 R 上的奇函数 y＝f(x)，对于任意两个不相等的实数 x1，x2，都有 x1f(x1)＋
x2f(x2)＞x1f(x2)＋x2f(x1)，则称函数 y＝f(x)为“H 函数”．下列函数为“H 函数”的是( )
A．f(x)＝sin x B．f(x)＝3x－(1
3 )x
C．f(x)＝x3－3x D．f(x)＝x|x|
二、填空题
14．(2019·广州市综合检测(一))已知函数 f(x)＝x 3＋alog3x，若 f(2)＝6，则 f (1
2 )＝
________．
15．(2019·哈尔滨模拟)已知函数 f(x)＝{x2，x > 0，
x＋1，x ≤ 0，g(x)＝log2x，若 f(a)＋f(g(2))＝0，
则实数 a 的值为________．
16．若函数 f(x)＝2x2－ln x 在其定义域内的一个子区间(k－2，k＋1)上不是单调函数，则
实数 k 的取值范围是________．
17．(2019·安庆模拟)已知函数 y＝f(x)对任意的 x∈R 都有 f(1－x)－2f(x)＝x 2－1，则 f(－1)
＝________，曲线 y＝f(x)在点(－1，f(－1))处的切线方程为________．
参考答案与解析
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小题专题练(一) 集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式
1．解析：选 C.N＝{x|x2<1}＝{x|－10，ln
x≥1－1
x”的否定是∃x0>0，ln x0<1－1
x0，故选 D.
3．解析：选 B.因为集合 M＝{x|x<3}，集合 N＝{x|00，得 x<0 或 x>1，故 p：x<0 或 x>1；由 2 019x>2
019 得，x>1，故 q：x>1，所以 p 是 q 的必要不充分条件．
5．解析：选 B.因为 f(x＋3)＝－ 1
f（x），故有 f(x＋6)＝－ 1
f（x＋3）＝－ 1
－ 1
f（x）
＝f(x)．所
以函数 f(x)是以 6 为周期的函数．f(107.5)＝f(6×17＋5.5)＝f(5.5)＝－ 1
f（2.5）＝－ 1
f（－2.5）＝
－ 1
4 × （－2.5）＝ 1
10.故选 B.
6．解析：选 A.函数的定义域为 {x|x>0}，由 f(x)＝0，解得 x＝1，即函数只有一个零点，
排除 B，D.
f′(x)＝(2ln x
x )′＝2－ln x
x x ，
由 f′(x)>0 得 2－ln x>0，即 0e2，此时函数为减函数，排除 C，故选 A.
7．解析：选 B.法一：因为 a⊥b，所以 x＋y＝1，所以1
x＋4
y＝x＋y
x ＋4（x＋y）
y ＝5＋y
x＋4x
y
≥9，当且仅当 x＝1
3，y＝2
3时取等号．故选 B.
法 二 ： 由 题 意 ， 知 x ＋ y ＝ 1 ， 设 f(x) ＝ 1
x＋ 4
y＝ 1
x＋ 4
1－x(0 ＜ x ＜ 1) ， f ′ (x) ＝
（3x－1）（x＋1）
（x－x2）2 ，当1
3＜x＜1 时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；当 0＜x＜1
3时，f′(x)＜0，f(x)
单调递减，所以 f(x)min＝f(1
3 )＝9.故选 B.
8．解析：选 B.因为 f(x)是 R 上的偶函数，且在(－∞，0]上是减函数，所以 f(x)在[0，＋∞)
上是增函数，所以 f(log2x)＞2＝f(1)⇔f(|log2x|)＞f(1)⇔|log2x|＞1⇔log2x＞1 或 log2x＜－1⇔x＞2
或 0＜x＜1
2.故选 B.
9．解析：选 C.当－7≤x≤0 时，f(x)＝|x＋1|∈[0，6]，当 e－2≤x≤e 时，f(x)＝ln x 单调递
增，得 f(x)∈[－2，1]，综上，f(x)∈[－2，6]．若存在实数 m，使 f(m)－2g(a)＝0，则有－2≤2g(a)≤6，
即－1≤a2－2a≤3⇒－1≤a≤3.故选 C.
10．解析：选 B.由题意知，存在唯一的整数 x 使
ex－（2a－1）x－1
x <1 成立，当 x<0 时，
ex>2ax＋1，不合题意；当 x>0 时，得 ex<2ax＋1，令 h(x)＝ex，m(x)＝2ax＋1，则 m(x)的图象
过定点(0，1)，显然只有 x＝1 符合题意，所以{h（1） < m（1）
h（2） ≥ m（2），所以{e < 2a＋1
e2 ≥ 4a＋1，解得
e－1
2
0，
x＋1，x ≤ 0，g(x)＝log2x，所以 g(2)＝log22＝1，f(g(2))＝f(1)
＝1，由 f(a)＋f(g(2))＝0，得 f(a)＝－1.当 a>0 时，因为 f(a)＝a2≠－1，所以此时不符合题意；
当 a≤0 时，f(a)＝a＋1＝－1，解得 a＝－2.
答案：－2
16．解析：由题意得，f′(x)＝4x－1
x＝4x2－1
x .令 f′(x)＝0，解得 x＝±1
2.又因为 x>0，所以 x
＝1
2.因为 y＝f(x)在(k－2，k＋1)上不是单调函数，所以 0≤k－2<1
2
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