2020届艺术生高考数学二轮复习课时训练：第二章 函数、导数及其应用 第12节
第二章 第12节
1．(2020·沈阳市一模)设函数f(x)＝xex＋1，则( )
A．x＝1为f(x)的极大值点
B．x＝1为f(x)的极小值点
C．x＝－1为f(x)的极大值点
D．x＝－1为f(x)的极小值点
解析：D [由于f(x)＝xex＋1，可得f′(x)＝(x＋1)ex，
令f′(x)＝(x＋1)ex＝0可得x＝－1，
令f′(x)＝(x＋1)ex＞0可得x＞－1，即函数在(－1，＋∞)上是增函数
令f′(x)＝(x＋1)ex＜0可得x＜－1，即函数在(－∞，－1)上是减函数
所以x＝－1为f(x)的极小值点．]
2．函数f(x)＝x2－ln x的最小值为( )
A. B．1
C．0 D．不存在
解析：A [f′(x)＝x－＝，且x>0.令f′(x)>0，得x>1; 令f′(x)<0，得0
0恒成立．
令f′(x)＝0，解得x＝1，故当x∈[－2,1)时，g′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，g′(x)＞0，故f(x)在[－2,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数．
所以fmin(x)＝g(1)＝1－3＋3－＝1－，故选A.]
5．已知函数y＝f(x)＝x3＋3ax2＋3bx＋c在x＝2处有极值，其图象在x＝1处的切线平行于直线6x＋2y＋5＝0，则f(x)的极大值与极小值之差为 ________ .
解析：因为y′＝3x2＋6ax＋3b，
⇒
所以y′＝3x2－6x，令3x2－6x＝0，
则x＝0或x＝2.
所以f(x)极大值－f(x)极小值＝f(0)－f(2)＝4.
答案：4
6．直线y＝a与函数f(x)＝x3－3x的图象有相异的三个公共点，则a的取值范围是 ________ .
解析：令f′(x)＝3x2－3＝0，得x＝±1，可得极大值为f(－1)＝2，极小值为f(1)＝－2，如图，观察得－20，f(x)单调递增；当x>1时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
所以x＝1是f(x)的极大值点．
②若a<0，由f′(x)＝0，得x＝1或x＝－.
因为x＝1是f(x)的极大值点，所以－>1，解得－1－1.
答案：a>－1
9．已知函数f(x)＝x－1＋(a∈R，e为自然对数的底数)．
(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求a的值；
(2)求函数f(x)的极值．
解：(1)由f(x)＝x－1＋，得f′(x)＝1－.
又曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，
得f′(1)＝0，即1－＝0，解得a＝e.
(2)f′(x)＝1－，
①当a≤0时，f′(x)>0，f(x)为(－∞，＋∞)上的增函数，所以函数f(x)无极值．
②当a>0时，令f′(x)＝0，得ex＝a，即x＝ln a.
x∈(－∞，ln a)时，f′(x)<0；
x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)>0，
所以f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增，故f(x)在x＝ln a处取得极小值，
且极小值为f(ln a)＝ln a，无极大值．
综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；
当a>0时，f(x)在x＝ln a处取得极小值ln a，
无极大值．
10．已知函数f(x)＝ln x＋.
(1)求f(x)的最小值；
(2)若函数F(x)＝f(x)＋ax在区间[2，＋∞)上是单调函数，求实数a的取值范围．
解： (1)由题意可知x＞0，且f′(x)＝，
当0＜x＜1时，f′(x)＜0，当x＞1时，f′(x)＞0，
故f(x)min＝f(1)＝1.
(2)由F′(x)＝－＋a＝，
当a＝0时，F′(x)＝＞0，
F(x)在区间[2，＋∞)上单调递增，符合题意，
当a＜0时，令g(x)＝ax2＋x－1，此时F(x)在[2，＋∞)上只能是单调递减，
故F′(x)≤0，即ax2＋x－1≤0，a≤－，∴a≤min，解得a≤－.
当a＞0时，F(x)在[2，＋∞)上只能是单调递增，
故F′(x)≥0，即ax2＋x－1≥0，a≥－，
得a≥－，故a＞0.
综上a∈∪[0，＋∞)．
