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文档介绍
浙江专用2020高考数学二轮复习专题二三角函数平面向量与复数第1讲三角函数的图象与性质教案
第1讲 三角函数的图象与性质 三角函数的定义、诱导公式及基本关系 [核心提炼] 1.三角函数:设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),则sin α=y,cos α=x,tan α=.各象限角的三角函数值的符号:一全正,二正弦,三正切,四余弦. 2.同角关系:sin2α+cos2α=1,=tan α. 3.诱导公式:在+α,k∈Z的诱导公式中“奇变偶不变,符号看象限”. [典型例题] (1)(2019·湖州市高三期末)点P从点A(1,0)出发,沿单位圆x2+y2=1逆时针方向运动弧长到达点Q,则点Q的坐标是( ) A. B. C. D. (2)(2019·长春一模)已知α为锐角,且2tan(π-α)-3cos+5=0,tan(π+α)+6sin(π+β)=1,则sin β的值为________. (3)(2018·高考浙江卷)已知角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,它的终边过点P. ①求sin的值; ②若角β满足sin(α+β)=,求cos β的值. 【解】 (1)选A.点P从(1,0)出发,沿单位圆逆时针方向运动弧长到达Q点,所以∠QOx=, 所以Q, 即Q点的坐标为.故选A. (2)2tan(π-α)-3cos+5=0化简为-2tan α+3sin β+5=0,tan(π+α)+ - 20 - 6sin(π+β)=1化简为tan α-6sin β=1,因而sin β=.故填. (3)①由角α的终边过点P得sin α=-, 所以sin(α+π)=-sin α=. ②由角α的终边过点P得cos α=-, 由sin(α+β)=得cos(α+β)=±. 由β=(α+β)-α得cos β=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α, 所以cos β=-或cos β=. 应用三角函数的概念和诱导公式的注意事项 (1)当角的终边所在的位置不是唯一确定的时候要注意分情况解决,机械地使用三角函数的定义就会出现错误. (2)应用诱导公式与同角关系开方运算时,一定注意三角函数的符号;利用同角三角函数的关系化简要遵循一定的原则,如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等. [对点训练] 1.已知角α的顶点与原点重合,始边与x轴的正半轴重合,终边上一点P(-4,3),则的值为________. 解析:原式==tan α. 根据三角函数的定义,得tan α==-, 所以原式=-. 答案:- 2.已知θ是第四象限角,且sin=,则tan =________. 解析:法一:因为sin =,所以cos=sin=sin=,因为θ - 20 - 为第四象限角, 所以-+2kπ<θ<2kπ,k∈Z,所以-+2kπ<θ-<2kπ-,k∈Z,所以sin=-=-, 所以tan==-. 法二:因为θ是第四象限角,且sin=,所以θ+为第一象限角,所以cos=,所以tan===-=-. 答案:- 三角函数的图象及应用 [核心提炼] 函数y=Asin(ωx+φ)的图象 (1)“五点法”作图 设z=ωx+φ,令z=0,,π,,2π,求出x的值与相应的y的值,描点、连线可得. (2)图象变换 y=sin xy=sin(x+φ) y=sin(ωx+φ) y=Asin(ωx+φ). [典型例题] (1)函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则( ) - 20 - A.y=2sin B.y=2sin C.y=2sin D.y=2sin (2)(2019·温州瑞安七中高考模拟)函数y=sin(2x+φ)的图象沿x轴向左平移个单位后,得到一个偶函数的图象,则φ的一个可能的值为( ) A. B. C.0 D.- (3)(2019·浙江五校联考数学模拟)设函数f(x)=,若函数g(x)=f(x)-m在[0,2π]内恰有4个不同的零点,则实数m的取值范围是( ) A.(0,1) B.[1,2] C.(0,1] D.(1,2) 【解析】 (1)由题图易知A=2,因为周期T满足=-,所以T=π,ω==2.由x=时,y=2可知2×+φ=+2kπ(k∈Z),所以φ=-+2kπ(k∈Z),结合选项可知函数解析式为y=2sin. (2)令y=f(x)=sin(2x+φ), 则f=sin=sin, 因为f为偶函数, 所以+φ=kπ+, 所以φ=kπ+,k∈Z, 所以当k=0时,φ=. 故φ的一个可能的值为. - 20 - 故选B. (3)画出函数f(x)在[0,2π]的图象,如图所示: 若函数g(x)=f(x)-m在[0,2π]内恰有4个不同的零点, 即y=f(x)和y=m在[0,2π]内恰有4个不同的交点, 结合图象,知0<m<1. 【答案】 (1)A (2)B (3)A 解决三角函数图象问题的方法及注意事项 (1)已知函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象求解析式时,常采用待定系数法,由图中的最高点、最低点或特殊点求A;由函数的周期确定ω;确定φ常根据“五点法”中的五个点求解,其中一般把第一个零点作为突破口,可以从图象的升降找准第一个零点的位置. (2)在图象变换过程中务必分清是先相位变换,还是先周期变换,变换只是相对于其中的自变量x而言的,如果x的系数不是1,就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向. [对点训练] 1.(2019·兰州市诊断考试)函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<)的部分图象如图所示,若x1,x2∈,且f(x1)=f(x2),则f(x1+x2)=( ) A. B. C. D.1 解析:选C.由图知,=,即T=π,则ω=2, 所以f(x)=sin(2x+φ), 因为点在函数f(x)的图象上, - 20 - 所以sin=0, 即+φ=kπ,k∈Z,又|φ|<,所以φ=, 所以f(x)=sin, 因为x1,x2∈,且f(x1)=f(x2), 所以=, 所以x1+x2=, 所以f(x1+x2)=sin=. 2.已知曲线C1:y=cos x,C2:y=sin,则下面结论正确的是( ) A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2 B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2 C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2 D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2 解析:选D.易知C1:y=cos x=sin,把曲线C1上的各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,得到函数y=sin的图象,再把所得函数的图象向左平移个单位长度,可得函数y=sin=sin的图象,即曲线C2,故选D. 三角函数的性质 [核心提炼] 1.三角函数的单调区间 - 20 - y=sin x的单调递增区间是(k∈Z), 单调递减区间是(k∈Z); y=cos x的单调递增区间是[2kπ-π,2kπ](k∈Z),单调递减区间是[2kπ,2kπ+π](k∈Z); y=tan x的递增区间是(k∈Z). 2.y=Asin(ωx+φ),当φ=kπ(k∈Z)时为奇函数; 当φ=kπ+(k∈Z)时为偶函数; 对称轴方程可由ωx+φ=kπ+(k∈Z)求得. y=Acos(ωx+φ),当φ=kπ+(k∈Z)时为奇函数; 当φ=kπ(k∈Z)时为偶函数; 对称轴方程可由ωx+φ=kπ(k∈Z)求得. y=Atan(ωx+φ),当φ=(k∈Z)时为奇函数. [典型例题] 已知函数f(x)=sin2x-cos2x-2sin xcos x(x∈R). (1)求f的值; (2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间. 【解】 (1)由sin =,cos =-,f=--2××,得f=2. (2)由cos 2x=cos2x-sin2x与sin 2x=2sin x·cos x得 f(x)=-cos 2x-sin 2x=-2sin. 所以f(x)的最小正周期是π. 由正弦函数的性质得 +2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z, 解得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z, 所以,f(x)的单调递增区间是 - 20 - (k∈Z). 三角函数的单调性、周期性及最值的求法 (1)三角函数单调性的求法 求形如y=Asin(ωx+φ)(或y=Acos(ωx+φ))(A、ω、φ为常数,A≠0,ω>0)的单调区间的一般思路是令ωx+φ=z,则y=Asin z(或y=Acos z),然后由复合函数的单调性求解. (2)三角函数周期性的求法 函数y=Asin(ωx+φ)(或y=Acos(ωx+φ))的最小正周期T=.应特别注意y=|Asin(ωx+φ)|的最小正周期为T=. (3)三角函数最值(或值域)的求法 在求最值(或值域)时,一般要先确定函数的定义域,然后结合三角函数性质可得函数f(x)的最值. [对点训练] 1.(2019·杭州市高三期末检测)设A,B是函数f(x)=sin|ωx|与y=-1的图象的相邻两个交点,若|AB|min=2π,则正实数ω=( ) A. B.1 C. D.2 解析:选B.函数f(x)=sin|ωx|=,ω为正数,所以f(x)的最小值是-1,如图所示: 设A,B是函数f(x)=sin|ωx|与y=-1的图象的相邻两个交点, 且|AB|min=T==2π, 解得ω=1.故选B. 2.(2019·台州调研)设函数f(x)=cos(ω>0).若f(x)≤f对任意的实数x都成立,则ω的最小值为________. 解析:由于对任意的实数x都有f(x)≤f成立,故当x=时,函数f(x)有最大值, - 20 - 故f=1,-=2kπ(k∈Z),所以ω=8k+(k∈Z),又ω>0,所以ωmin=. 答案: 3.(2019·高考浙江卷)设函数f(x)=sin x,x∈R. (1)已知θ∈[0,2π),函数f(x+θ)是偶函数,求θ的值; (2)求函数y=+的值域. 解:(1)因为f(x+θ)=sin(x+θ)是偶函数,所以对任意实数x都有 sin(x+θ)=sin(-x+θ), 即sin xcos θ+cos xsin θ=-sin xcos θ+cos xsin θ, 故2sin xcos θ=0, 所以cos θ=0. 又θ∈[0,2π),因此θ=或. (2)y=+ =sin2+sin2 =+ =1- =1-cos. 因此,函数的值域是. 三角函数与其他知识的交汇 [核心提炼] 三角函数的图象与性质是高考考查的重点,近年来,三角函数与其他知识交汇命题成为高考的热点,由原来三角函数与平面向量的交汇渗透到三角函数与函数的零点、数列、不等式、复数、方程等知识的交汇. [典型例题] - 20 - (1)(2019·台州市高考一模)已知θ∈[0,π),若对任意的x∈[-1,0],不等式x2cos θ+(x+1)2sin θ+x2+x>0恒成立,则实数θ的取值范围是( ) A. B. C. D. (2)(2019·浙江“七彩阳光”联盟高三联考)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的图象过点,若f(x)≤f对x∈R恒成立,则ω的值为________;当ω最小时,函数g(x)=f-在区间[0,22]的零点个数为________. 【解析】 (1)设f(x)=x2cos θ+(x+1)2sin θ+x2+x=(1+sin θ+cos θ)x2+(2sin θ+1)x+sin θ, 因为θ∈[0,π), 所以1+cos θ+sin θ≠0,且其对称轴为x=-. 因为f(x)在[-1,0]的最小值为f(0)或f(1)或f, 所以,即, 所以.所以<θ<. (2)由题意得φ=,且当x=时,函数f(x)取到最大值,故ω+=+2kπ,k∈Z,解得ω=1+12k,k∈N,又因为ω>0,所以ω的最小值为1,因此,g(x)=f-=sin x-的零点个数是8个. 【答案】 (1)A (2)1+12k(k∈N) 8 解决三角函数与其他知识的交汇问题,可利用数形结合思想.利用“数形结合”思想还可以解决以下问题: (1)讨论含有参数的方程的解的个数问题. (2)求三角函数解析式中含有参数的最值问题. (3)求一些特殊函数的周期. - 20 - (4)利用三角函数图象对实际问题作出分析等. [对点训练] 1.(2019·湖州市高三期末考试)若α,β∈,且αsin α-βsin β>0,则必有( ) A.α2<β2 B.α2>β2 C.α<β D.α>β 解析:选B.α,β∈,且αsin α-βsin β>0,即αsin α>βsin β,再根据y=xsin x为偶函数,且在上单调递增,可得|α|>|β|,即α2>β2,故选B. 2.(2019·合肥市第二次教学质量检测)已知关于x的方程(t+1)cos x-tsin x=t+2在(0,π)上有实根,则实数t的最大值是________. 解析:由题意可得,-==1-, 令P(cos x,sin x),A(2,1), 则kPA=,因为x∈(0,π),所以-1查看更多
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