高考数学二轮复习教案：第二编 专题六 第3讲 概率、随机变量及其分布列
第3讲 概率、随机变量及其分布列
「考情研析」 1.以选择题、填空题的形式考查古典概型、几何概型的基本应用． 2.考查条件概率、相互独立事件的概率及独立重复试验的概率． 3.以实际问题为背景，多与统计结合考查离散型随机变量的分布列、均值、方差．近两年解答题难度加大，2019年全国卷Ⅰ作为压轴题出现.
核心知识回顾
1.概率的计算公式
(1)古典概型的概率公式
P(A)＝.
(2)互斥事件的概率计算公式
如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
(3)对立事件的概率
若事件A与事件B互为对立事件，则P(A)＝1－P(B)．
(4)几何概型的概率公式
P(A)＝.
2．离散型随机变量
(1)离散型随机变量的分布列性质
①pi≥0，i＝1,2，…，n.
②p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn＝1.
(2)数学期望公式
E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn.
(3)方差公式
D(X)＝[x1－E(X)]2p1＋[x2－E(X)]2p2＋…＋[xn－E(X)]2pn，标准差为.
(4)数学期望与方差的性质
①E(aX＋b)＝aE(X)＋b(a，b为常数)．
②D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数)．
③若X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．
④若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．
(5)独立事件同时发生的概率计算公式P(AB)＝P(A)P(B)，独立重复试验的概率计算公式Pn(k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，
条件概率公式P(B|A)＝.
(6)正态分布的定义及表示
如果随机变量X服从正态分布，记作X～N(μ，σ2)．
满足正态分布的三个常用数据：
①P(μ－σ
乙，∴乙车间工人生产效率更高．
(3)由题意得，第一组生产时间少于75 min的工人有6人，从中抽取3人，其中生产时间少于65 min的有2人．
所以X可取值为0,1,2.
P(X＝0)＝＝＝.
P(X＝1)＝＝＝，
P(X＝2)＝＝＝，
故X的分布列为
X
0
1
2
P
所以数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＝1.
随机变量分布列问题的两个关键点
(1)求离散型随机变量分布列的关键是正确理解随机变量取每一个值所表示的具体事件，然后综合应用各类概率公式求概率．
(2)求随机变量均值与方差的关键是正确求出随机变量的分布列．若随机变量服从特殊分布，则可直接使用公式求解．
(2019·广元市高三统考)随着共享单车的成功运营，更多的共享产品逐步走入大家的世界，共享汽车、共享篮球、共享充电宝等各种共享产品层出不穷．某景点设有共享电动车租车点，共享电动车的收费标准是每小时2元(不足1小时的部分按1小时计算)．甲、乙两人各租一辆电动车，若甲、乙不超过1小时还车的概率分别为，；1小时以上且不超过2小时还车的概率分别为，；两人租车时间都不会超过三小时．
(1)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；
(2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与数学期望E(ξ)．
解 (1)甲、乙两人所付费用相同，即为2,4,6元，
都付2元的概率为P1＝×＝，
都付4元的概率为P2＝×＝，
都付6元的概率为P3＝×＝，
∴甲、乙两人所付租车费用相同的概率：
P＝P1＋P2＋P3＝＋＋＝.
(2)依题意，ξ的可能取值为4,6,8,10,12，
P(ξ＝4)＝×＝，
P(ξ＝6)＝×＋×＝，
P(ξ＝8)＝×＋×＋×＝，
P(ξ＝10)＝×＋×＝，
P(ξ＝12)＝×＝，
∴ξ的分布列为
ξ
4
6
8
10
12
P
∴数学期望E(ξ)＝4×＋6×＋8×＋10×＋12×＝.
考向4 与正态分布相关的概率统计
例4 某食品公司研发生产一种新的零售食品，从产品中抽取100件作为样本，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得到如图频率分布直方图．
(1)求直方图中a的值；
(2)由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(200,12.22)，试计算数据落在(187.8,212.2)上的频率；
参考数据：
若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜Z＜μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ＜Z＜μ＋2σ)＝0.9544.
(3)设生产成本为y，质量指标为x，生产成本与质量指标之间满足函数关系y＝假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，试计算生产该食品的平均成本．
解 (1)a＝0.1－(0.002＋0.009＋0.022＋0.024＋0.008＋0.002)＝0.033.
(2)由(1)知，Z～N(200,12.22)，从而P(187.84)＝P(ξ≤2)＝0.4，所以P(ξ≤4)＝0.6，所以r是正确的；随机变量η～B(n，p)，且E(η)＝np＝200，D(η)＝np(1－p)＝100，所以200(1－p)＝100，解得p＝0.5，所以q是正确的，故选D.
5．(2019·益阳市高三模拟)如图，在区域：x2＋y2≤4内取一点，则该点恰好取自阴影部分(阴影部分为“x2＋y2≤4”与“(x－1)2＋(y－1)2≤2”的公共部分)的概率是( )
A.－ B．1－
C．1－ D.＋
答案 A
解析 阴影部分的面积为圆(x－1)2＋(y－1)2＝2的半圆和圆x2＋y2＝4的弓形面积之和，即×π×()2＋×π×22－2＝2π－2，故所求概率为＝－.故选A.
6．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c(a，b，c∈(0,1))，已知他投篮一次得分的均值为2(不计其他得分情况)，则ab的最大值为( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 设投篮得分为随机变量X，则X的分布列为
X
3
2
0
P
a
b
c
依题意，E(X)＝3a＋2b＝2.
∵a，b∈(0,1)，∴2＝3a＋2b≥2，即ab≤，
当且仅当3a＝2b，即a＝，b＝时上式取等号．
7．五个人负责一个社团的周一至周五的值班工作，每人一天，则甲同学不值周一，乙同学不值周五，且甲、乙不相邻的概率是( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 由题意，总的基本事件数为五个人的全排列数A.设“甲不值周一，乙不值周五，且甲、乙不相邻”为事件A，则事件A包含的基本事件数可按甲值班日期分类计算，当甲值周二时，有A种；当甲值周三时，有A种；当甲值周四时，有2A种，当甲值周五时，有3A种．所以事件A包含的基本事件数n(A)＝A＋A＋2A＋3A＝7A，所以事件A发生的概率为P(A)＝＝，故选B.
二、填空题
8．(2019·四川省绵阳市高三第二次质量检测)一个盒中有形状、大小、质地完全相同的5张扑克牌，其中3张红桃，1张黑桃，1张梅花．现从盒中一次性随机抽出2张扑克牌，则这2张扑克牌花色不同的概率为________．
答案
解析 所有可能出现的情况有：(红1，黑1)，(红1，梅1)，(红2，黑1)，(红2，梅1)，(红3，黑1)，(红3，梅1)，(红1，红2)，(红1，红3)，(红2，红3)，(黑1，梅1)，共10种．其中符合花色不同的情况有：(红1，黑1)，(红1，梅1)，(红2，黑1)，(红2，梅1)，(红3，黑1)，(红3，梅1)，(黑1，梅1)，共7种．根据古典概型的概率公式得P＝.
9．已知1000名考生的某次成绩X近似服从正态分布N(530,502)，则成绩在630分以上的考生人数约为________．[注：P(μ－σ
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