【数学】2018届一轮复习北师大版第二章函数导数及其应用第三节函数的奇偶性与周期性教案
第三节 函数的奇偶性与周期性
☆☆☆2017考纲考题考情☆☆☆
考纲要求
真题举例
命题角度
1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义；
2.会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性；
3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性。
2016，山东卷，9,5分(函数的奇偶性、周期性)
2016，四川卷，14,5分(函数的奇偶性、周期性)
2015，全国卷Ⅰ，13,5分(函数的奇偶性)
2014，全国卷Ⅱ，15,5分(函数的奇偶性、单调性)
2014，全国卷Ⅰ，3,5分(函数的奇偶性)
1.函数的奇偶性与周期性是高考重要考点，常将奇偶性、周期性与单调性综合在一起交汇命题；
2.题型多以选择题、填空题形式出现，一般为容易题，但有时难度也会很大。
微知识 小题练
自|主|排|查
1．函数的奇偶性
奇偶性
条件
图象特点
偶函数
对于函数f(x)的定义域D内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)
关于y轴对称
奇函数
对于函数f(x)的定义域D内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)
关于原点对称
2.周期性
(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期。
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小
的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期。
微点提醒
1．函数奇偶性常用结论
(1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)。
(2)奇函数在两个关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个关于原点对称的区间上具有相反的单调性。
(3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇。
2．函数周期性常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)。
(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0)。
(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0)。
小|题|快|练
一 、走进教材
1．(必修1P39A组T6改编)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2＋，则f(－1)等于( )
A．－2 B．0
C．1 D．2
【解析】 f(－1)＝－f(1)＝－(1＋1)＝－2。故选A。
【答案】 A
2．(必修1P39A组T6改编)已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－4x，那么，不等式f(x＋2)<5的解集是________。
【解析】 方法一：当x≤0时，－x≥0，f(－x)＝(－x)2－4(－x)＝x2＋4x，又f(x)为偶函数，所以f(x)＝f(－x)＝x2＋4x，当x∈[－2，＋∞)时，x＋2≥0，f(x＋2)＝(x＋2)2－4(x＋2)<5，解得：－3
0的x的取值范围是________。
【解析】 由f(x)是奇函数知，f(x)的图象如图所示，
∴f(x)>0的x的取值范围为(－1,0)∪(1，＋∞)。
【答案】 (－1,0)∪(1，＋∞)
微考点 大课堂
考点一
函数奇偶性的判断
【典例1】 判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝＋；
(2)f(x)＝3x－3－x；
(3)f(x)＝；
(4)f(x)＝(x－1) ，x∈(－1,1)。
【解析】 (1)因为由得x＝±1，
所以f(x)的定义域为{－1,1}。
又f(1)＋f(－1)＝0，f(1)－f(－1)＝0，
即f(x)＝±f(－x)。
所以f(x)既是奇函数又是偶函数；
(2)因为f(x)的定义域为R，
所以f(－x)＝3－x－3x＝－(3x－3－x)＝－f(x)，
所以f(x)为奇函数；
(3)因为由得－2≤x≤2且x≠0。
所以f(x)的定义域为[－2,0)∪(0,2]，
所以f(x)＝＝＝，
所以f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数；
(4)已知f(x)的定义域为(－1,1)，
其定义域关于原点对称。
因为f(x)＝(x－1) ＝－，
所以f(－x)＝－＝f(x)。
即f(－x)＝f(x)，所以f(x)是偶函数。
【答案】 (1)既是奇函数又是偶函数 (2)奇函数
(3)奇函数 (4)偶函数
反思归纳 判断函数的奇偶性要注意两点：
1．定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的前提。
2．判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立。
【变式训练】 (2015·广东高考)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )
A．y＝x＋ex B．y＝x＋
C．y＝2x＋ D．y＝
【解析】 函数y＝x＋ex的定义域为R，关于原点对称，因为f(1)＝1＋e，f(－1)＝－1＋，所以函数y＝x＋ex既不是奇函数，也不是偶函数；函数y＝x＋的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，因为f(－x)＝－x－＝－＝－f(x)，所以函数y＝x＋是奇函数；
函数f(x)＝2x＋的定义域为R，关于原点对称，因为f(－x)＝2－x＋＝＋2x＝f(x)，所以函数f(x)＝2x＋是偶函数；函数y＝的定义域为R，关于原点对称，因为f(－x)＝＝＝f(x)，所以函数y＝是偶函数。故选A。
【答案】 A
考点二
函数周期性的应用…………母题发散
【典例2】 设定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,2)时，f(x)＝2x－x2，则f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 016)＝________。
【解析】 ∵f(x＋2)＝f(x)，
∴函数f(x)的周期T＝2。
又当x∈[0,2)时，f(x)＝2x－x2，所以f(0)＝0，f(1)＝1，
所以f(0)＝f(2)＝f(4)＝…＝f(2 016)＝0，
f(1)＝f(3)＝f(5)＝…＝f(2 015)＝1。
故f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 016)＝1 008。
【答案】 1 008
【母题变式】 1.若将“f(x＋2)＝f(x)”改为“f(x＋1)＝－f(x)”，则结论如何？
【解析】 ∵f(x＋1)＝－f(x)，
∴f(x＋2)＝f[(x＋1)＋1]＝－f(x＋1)＝f(x)。
故函数f(x)的周期为2。
由本典例可知，f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 016)＝1 008。
【答案】 1 008
2．若将“f(x＋2)＝f(x)”改为“f(x＋1)＝”，则结论如何？
【解析】 ∵f(x＋1)＝，
∴f(x＋2)＝f[(x＋1)＋1]＝＝f(x)。
故函数f(x)的周期为2。
由本典例可知，f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 016)＝1 008。
【答案】 1 008
反思归纳
1．判断函数的周期只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题。
2．根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期。
【拓展变式】 (2016·四川高考)已知函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0，即logx>或logx<－，解得02，所以满足不等式f(logx)<0的x的集合为∪(2，＋∞)。故选C。
【答案】 C
角度二：函数奇偶性与周期性的结合
【典例4】 (2016·山东高考)已知函数f(x)的定义域为R。当x<0时，f(x)＝x3－1；当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)；当x>时，f＝f。则f(6)＝( )
A．－2 B．－1
C．0 D．2
【解析】 由题意可知，当－1≤x≤1时，f(x)为奇函数，且当x>时，f(x＋1)＝f(x)，所以f(6)＝f(5×1＋1)＝f(1)。而f(1)＝－f(－1)＝－[(－1)3－1]＝2，所以f(6)＝2。故选D。
【答案】 D
角度三：已知函数奇偶性求参数值
【典例5】 (2015·全国卷Ⅰ)若函数f(x)＝xln(x＋)为偶函数，则a＝________。
【解析】 解法一：因为y＝x是奇函数，要使f(x)为偶函数，只需g(x)＝ln(x＋)为奇函数，则有g(0)＝ln＝0，解得a＝1。
解法二：由题意知y＝ln(x＋)是奇函数，所以ln(x＋)＋ln(－x＋)＝ln(a＋x2－x2)＝lna＝0，解得a＝1。
【答案】 1
反思归纳 函数奇偶性的问题类型及解题思路
1．函数单调性与奇偶性结合。注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性。
2．周期性与奇偶性结合。此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解。
3．已知函数的奇偶性，求函数解析式中参数的值：常常利用待定系数法，利用f(x)±f(－x)＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程求解。
【变式训练】 (1)若f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足f(1)＝1，f(2)＝2，则f(3)－f(4)等于( )
A．－1 B．1
C．－2 D．2
(2)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)·f(x)＝1对于x∈R恒成立，且f(x)＞0，则f(119)＝________。
(3)若f(x)是奇函数，且在(0，＋∞)内是增函数，又有f(－3)＝0，则xf(x)＜0的解集是________。
【解析】 (1)由f(x)是R上周期为5的奇函数知f(3)＝f(－2)＝－f(2)＝－2，
f(4)＝f(－1)＝－f(1)＝－1，
所以f(3)－f(4)＝－1。故选A。
(2)因为f(x＋2)＝，
所以f(x＋4)＝f(x＋2＋2)＝＝f(x)，
所以f(x)为周期函数，且周期为4，
又因为f(x)为偶函数，所以f(－x)＝f(x)，
所以f(119)＝f(29×4＋3)＝f(3)＝f(3－4)＝f(－1)＝f(1)，
又因为f(－1＋2)＝，
所以f(1)·f(－1)＝1
即f2(1)＝1，因为f(x)＞0，
所以f(1)＝1，所以f(119)＝1。
(3)由题意可得，函数f(x)在(－∞，0)上是增函数，且f(－3)＝－f(3)＝0，函数的单调性示意图如图所示，由不等式xf(x)＜0可得，x与f(x)的符号相反，结合函数f(x)的图象可得，不等式的解集为(－3,0)∪(0,3)。
【答案】 (1)A (2)1 (3)(－3,0)∪(0,3)
微考场 新提升
1．设函数f(x)为偶函数，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝log2x，则f(－)＝( )
A．－ B.
C．2 D．－2
解析 因为函数f(x)是偶函数，所以f(－)＝f()＝log2＝。故选B。
答案 B
2．函数f(x)＝lg|sinx|是( )
A．最小正周期为π的奇函数
B．最小正周期为2π的奇函数
C．最小正周期为π的偶函数
D．最小正周期为2π的偶函数
解析 ∵f(－x)＝lg|sin(－x)|＝lg|sinx|，
∴函数f(x)为偶函数。
∵f(x＋π)＝lg|sin(x＋π)|＝lg|sinx|，
∴函数f(x)的周期为π。故选C。
答案 C
3．(2016·深圳一调)已知函数f(x)是R上的偶函数，g(x)是R上的奇函数，且g(x)＝f(x－1)，若f(3)＝2，则f(2 015)的值为( )
A．2 B．0
C．－2 D．±2
解析 ∵f(x)是R上的偶函数，g(x)是R上的奇函数，
且g(x)＝f(x－1)，
∴g(－x)＝f(－x－1)＝f(x＋1)＝－g(x)＝－f(x－1)。
即f(x＋1)＝－f(x－1)。
∴f(x＋2)＝－f(x)。
∴f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)。
∴函数f(x)是周期函数，且周期为4。
∴f(2 015)＝f(3)＝2。故选A。
答案 A
4．函数f(x)在R上为奇函数，且x>0时，f(x)＝＋1，则当x<0时，f(x)＝________。
解析 ∵f(x)为奇函数，x>0时，f(x)＝＋1，
∴当x<0时，－x>0，
f(x)＝－f(－x)＝－(＋1)，
即x<0时，f(x)＝－(＋1)＝－－1。
答案 －－1
5．设定义在R上的函数f(x)同时满足以下条件：①f(x)＋f(－x)＝0；②f(x)＝f(x＋2)；③当0≤x≤1时，f(x)＝2x－1，则f＋f(1)＋f＋f(2)＋f＝________。
解析 依题意知：函数f(x)为奇函数且周期为2，
∴f＋f(1)＋f＋f(2)＋f
＝f＋f(1)＋f＋f(0)＋f
＝f＋f(1)－f＋f(0)＋f
＝f＋f(1)＋f(0)
＝2－1＋21－1＋20－1
＝。
答案
