【数学】2020一轮复习北师大版（理）21　两角和与差的正弦、余弦与正切公式作业

【数学】2020一轮复习北师大版（理）21　两角和与差的正弦、余弦与正切公式作业

课时规范练21　两角和与差的正弦、余弦与正切公式 ‎　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ 基础巩固组 ‎1.若cosπ‎4‎‎-α‎=‎‎3‎‎5‎,则sin 2α=(　　)‎ A.‎7‎‎25‎ B.‎1‎‎5‎ C.-‎1‎‎5‎ D.-‎‎7‎‎25‎ ‎2.(2018河北衡水中学三调)若α∈π‎2‎‎,π,且3cos 2α=sinπ‎4‎‎-α,则sin 2α的值为(　　)‎ A.-‎1‎‎18‎ B.‎1‎‎18‎ C.-‎17‎‎18‎ D.‎‎17‎‎18‎ ‎3.对于锐角α,若sinα-‎π‎12‎‎=‎‎3‎‎5‎,则cos‎2α+‎π‎3‎=(　　)‎ A.‎24‎‎25‎ B.‎3‎‎8‎ C.‎2‎‎8‎ D.-‎‎24‎‎25‎ ‎4.设sinπ‎4‎‎+θ‎=‎‎1‎‎3‎,则sin 2θ=(　　)‎ A.-‎7‎‎9‎ B.-‎1‎‎9‎ C.‎1‎‎9‎ D.‎‎7‎‎9‎ ‎5.若tan α=2tanπ‎5‎,则cosα-‎‎3π‎10‎sinα-‎π‎5‎=(　　)‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎6.(2018河北衡水中学16模,5)已知α满足sin α=‎1‎‎3‎,则cosπ‎4‎‎+αcos π‎4‎‎-α=(　　)‎ A.‎7‎‎18‎ B.‎25‎‎18‎ C.-‎7‎‎18‎ D.-‎‎25‎‎18‎ ‎7.(2018河北衡水中学17模,6)已知sin α=‎10‎‎10‎,α∈‎0,‎π‎2‎,则cos‎2α+‎π‎6‎的值为(　　)‎ A.‎4‎3‎-3‎‎10‎ B.‎‎4‎3‎+3‎‎10‎ C.‎4-3‎‎3‎‎10‎ D.‎‎3‎3‎-4‎‎10‎ ‎8.设sin 2α=-sin α,α∈π‎2‎‎,π,则tan 2α的值是　　　　　. ‎ ‎9.已知α∈‎0,‎π‎2‎,tan α=2,则cosα-‎π‎4‎=　　　　　. ‎ ‎10.若sin 2α=‎5‎‎5‎,sin(β-α)=‎10‎‎10‎,且α∈π‎4‎‎,π,β∈π,‎‎3π‎2‎,则α+β=　　　　　. ‎ 综合提升组 ‎11.(2018宁夏石嘴山一模)若tanα+‎π‎4‎=-3,则cos 2α+2sin 2α=(　　)‎ A.‎9‎‎5‎ B.1 C.-‎3‎‎5‎ D.-‎‎7‎‎5‎ ‎12.(2018福建百校临考冲刺)若α∈(0,π),且‎3‎sin α+2cos α=2,则tanα‎2‎=(　　)‎ A.‎3‎‎2‎ B.‎3‎‎4‎ C.‎2‎‎3‎‎3‎ D.‎‎4‎‎3‎‎3‎ ‎13.(2018北京怀柔区模拟)已知函数f(x)=(sin x+cos x)2+cos 2x-1.‎ ‎(1)求函数f(x)的最小正周期;‎ ‎(2)求函数f(x)在区间‎-π‎4‎,‎π‎4‎上的最大值和最小值.‎ 创新应用组 ‎14.(2018重庆巴蜀中学月考)已知sinα+‎π‎12‎‎=‎‎2‎‎4‎,则sinπ‎3‎‎-2α=(　　)‎ A.‎2‎‎4‎ B.‎3‎‎4‎ C.‎7‎‎4‎ D.-‎‎3‎‎4‎ ‎15.(2018河北衡水中学押题二,10)已知函数f(x)=3sin ωxcos ωx-4cos2ωx(ω>0)的最小正周期为π,且f(θ)=‎1‎‎2‎,则fθ+‎π‎2‎=(　　)‎ A.-‎5‎‎2‎ B.-‎9‎‎2‎ C.-‎11‎‎2‎ D.-‎‎13‎‎2‎ ‎16.已知sinθ+‎π‎4‎‎=‎‎1‎‎4‎,θ∈‎-‎3π‎2‎,-π,则cosθ+‎7π‎12‎的值为　　　　. ‎ 参考答案 课时规范练21　两角和与差的正弦、‎ 余弦与正切公式 ‎1.D　(法一)cos‎2‎π‎4‎‎-α=2cos2π‎4‎‎-α-1=2×‎3‎‎5‎‎2‎-1=-‎7‎‎25‎,‎ 且cos‎2‎π‎4‎‎-α=cosπ‎2‎‎-2α=sin 2α,故选D.‎ ‎(法二)由cosπ‎4‎‎-α=‎3‎‎5‎,得‎2‎‎2‎cos α+‎2‎‎2‎sin α=‎3‎‎5‎,‎ 即‎2‎‎2‎(cos α+sin α)=‎3‎‎5‎,两边平方得‎1‎‎2‎(cos2α+sin2α+2cos αsin α)=‎9‎‎25‎,‎ 整理得2sin αcos α=-‎7‎‎25‎,即sin 2α=-‎7‎‎25‎,故选D.‎ ‎2.C　由3cos 2α=sinπ‎4‎‎-α,‎ 得3(cos2α-sin2α)=‎2‎‎2‎(cos α-sin α).‎ ‎∵α∈π‎2‎‎,π,‎ ‎∴cos α-sin α≠0,‎ ‎∴cos α+sin α=‎2‎‎6‎.‎ 两边平方,得1+2sin αcos α=‎1‎‎18‎,‎ ‎∴sin 2α=-‎17‎‎18‎.故选C.‎ ‎3.D　由α为锐角,且sinα-‎π‎12‎=‎3‎‎5‎,可得cosα-‎π‎12‎=‎4‎‎5‎,∴sin‎2α-‎π‎6‎=2×‎3‎‎5‎×‎4‎‎5‎=‎24‎‎25‎,‎ cos‎2α+‎π‎3‎=cosπ‎2‎‎+‎‎2α-‎π‎6‎=-sin‎2α-‎π‎6‎=-‎24‎‎25‎,故选D.‎ ‎4.A　sin 2θ=-cosπ‎2‎‎+2θ ‎=2sin2π‎4‎‎+θ-1‎ ‎=2×‎1‎‎3‎‎2‎-1=-‎7‎‎9‎.‎ ‎5.C　因为tan α=2tanπ‎5‎,‎ 所以cosα-‎‎3π‎10‎sinα-‎π‎5‎ ‎=‎sinα-‎3π‎10‎+‎π‎2‎sinα-‎π‎5‎ ‎=‎sinα+‎π‎5‎sinα-‎π‎5‎ ‎=‎sinαcosπ‎5‎+cosαsinπ‎5‎sinαcosπ‎5‎-cosαsinπ‎5‎ ‎=tanα+tanπ‎5‎tanα-tanπ‎5‎=‎3tanπ‎5‎tanπ‎5‎=3.‎ ‎6.A　cosπ‎4‎‎+αcosπ‎4‎‎-α=cos π‎2‎-π‎4‎-αcosπ‎4‎-α=sinπ‎4‎-αcosπ‎4‎-α=‎1‎‎2‎sinπ‎2‎-2α=‎1‎‎2‎cos 2α=‎1‎‎2‎(1-2sin2α)=‎1‎‎2‎‎1-2×‎‎1‎‎9‎=‎7‎‎18‎,故选A.‎ ‎7.A　∵sin α=‎10‎‎10‎,α∈‎0,‎π‎2‎,‎ ‎∴cos α=‎1-sin‎2‎α=‎3‎‎10‎‎10‎,‎ ‎∴sin 2α=2sin αcos α=2×‎10‎‎10‎×‎3‎‎10‎‎10‎=‎3‎‎5‎,cos 2α=1-2sin2α=1-2×‎10‎‎10‎‎2‎=‎4‎‎5‎.‎ ‎∴cos‎2α+‎π‎6‎=‎3‎‎2‎cos 2α-‎1‎‎2‎sin 2α=‎3‎‎2‎×‎4‎‎5‎-‎1‎‎2‎×‎3‎‎5‎=‎4‎3‎-3‎‎10‎.故选A.‎ ‎8.‎3‎　∵sin 2α=2sin αcos α=-sin α,‎ ‎∴cos α=-‎1‎‎2‎,‎ 又α∈π‎2‎‎,π,‎ ‎∴sin α=‎3‎‎2‎,tan α=-‎3‎,‎ ‎∴tan 2α=‎2tanα‎1-tan‎2‎α=‎-2‎‎3‎‎1-(-‎‎3‎‎)‎‎2‎=‎3‎.‎ ‎9.‎3‎‎10‎‎10‎　由tan α=2,得sin α=2cos α.‎ 又sin2α+cos2α=1,‎ 所以cos2α=‎1‎‎5‎.‎ 因为α∈‎0,‎π‎2‎,‎ 所以cos α=‎5‎‎5‎,sin α=‎2‎‎5‎‎5‎.‎ 因为cosα-‎π‎4‎=cos αcosπ‎4‎+sin αsinπ‎4‎,‎ 所以cosα-‎π‎4‎=‎5‎‎5‎×‎2‎‎2‎+‎2‎‎5‎‎5‎×‎2‎‎2‎=‎3‎‎10‎‎10‎.‎ ‎10.‎7π‎4‎　因为α∈π‎4‎‎,π,‎ 所以2α∈π‎2‎‎,2π.‎ 又sin 2α=‎5‎‎5‎,‎ 故2α∈π‎2‎‎,π,α∈π‎4‎‎,‎π‎2‎,‎ 所以cos 2α=-‎2‎‎5‎‎5‎.‎ 又β∈π,‎‎3π‎2‎,‎ 故β-α∈π‎2‎‎,‎‎5π‎4‎,‎ 于是cos(β-α)=-‎3‎‎10‎‎10‎,‎ 所以cos(α+β)=cos[2α+(β-α)]=cos 2αcos(β-α)-sin 2αsin(β-α)=-‎2‎‎5‎‎5‎×‎-‎‎3‎‎10‎‎10‎-‎5‎‎5‎×‎10‎‎10‎=‎2‎‎2‎,且α+β∈‎5π‎4‎‎,2π,故α+β=‎7π‎4‎.‎ ‎11.B　∵tanα+‎π‎4‎=tanα+1‎‎1-tanα=-3,‎ ‎∴tan α=2,‎ ‎∴cos 2α+2sin 2α=cos‎2‎α-sin‎2‎αcos‎2‎α+sin‎2‎α+‎4sinαcosαcos‎2‎α+sin‎2‎α=‎1-tan‎2‎α‎1+tan‎2‎α+‎4tanα‎1+tan‎2‎α=-‎3‎‎5‎+‎8‎‎5‎=1.‎ ‎12.A　由二倍角公式,得‎3‎sin α+2cos α=2‎3‎sinα‎2‎cosα‎2‎+21-2sin2α‎2‎=2,‎ 化简可得2‎3‎sinα‎2‎cosα‎2‎=4sin2α‎2‎.‎ ‎∵α∈(0,π),∴α‎2‎∈‎0,‎π‎2‎,‎ ‎∴sinα‎2‎≠0,‎ ‎∴‎3‎cosα‎2‎=2sinα‎2‎,‎ ‎∴tanα‎2‎=‎3‎‎2‎.‎ ‎13.解 (1)∵f(x)=(sin x+cos x)2+cos 2x-1‎ ‎=2sin xcos x+cos 2x=sin 2x+cos 2x ‎=‎2‎sin‎2x+‎π‎4‎,‎ ‎∴函数f(x)的最小正周期T=‎2π‎2‎=π.‎ ‎(2)由(1)可知,f(x)=‎2‎sin‎2x+‎π‎4‎.‎ ‎∵x∈‎-π‎4‎,‎π‎4‎,‎ ‎∴2x+π‎4‎∈‎-π‎4‎,‎‎3π‎4‎,‎ ‎∴sin‎2x+‎π‎4‎∈‎-‎2‎‎2‎,1‎.‎ 故函数f(x)在区间‎-π‎4‎,‎π‎4‎上的最大值和最小值分别为‎2‎,-1.‎ ‎14.B　sinπ‎3‎‎-2α=sinπ‎2‎-π‎6‎-2α=cosπ‎6‎+2α=1-2sin2α+‎π‎12‎=1-2×‎2‎‎4‎‎2‎=1-‎1‎‎4‎=‎3‎‎4‎.‎ ‎15.B　函数f(x)=3sin ωxcos ωx-4cos2ωx=‎3‎‎2‎sin 2ωx-2(1+cos 2ωx)=‎5‎‎2‎sin(2ωx-φ)-2,其中tan φ=‎4‎‎3‎,‎ 所以f(x)的最小正周期为T=‎2π‎2ω=π,解得ω=1,所以f(x)=‎5‎‎2‎sin(2x-φ)-2,‎ 又由f(θ)=‎1‎‎2‎,即f(θ)=‎5‎‎2‎sin(2θ-φ)-2=‎1‎‎2‎,即sin(2θ-φ)=1,‎ 所以fθ+‎π‎2‎=‎5‎‎2‎sin‎2θ+‎π‎2‎-φ-2=-‎5‎‎2‎sin(2θ-φ)-2=-‎5‎‎2‎×1-2=-‎9‎‎2‎,故选B.‎ ‎16.-‎15‎‎+‎‎3‎‎8‎　由θ∈‎-‎3π‎2‎,-π,得θ+π‎4‎∈‎-‎5π‎4‎,-‎‎3π‎4‎,‎ 又sinθ+‎π‎4‎=‎1‎‎4‎,‎ 所以cosθ+‎π‎4‎=-‎15‎‎4‎.‎ cosθ+‎‎7π‎12‎=cosθ+π‎4‎+‎π‎3‎ ‎=cosθ+‎π‎4‎cosπ‎3‎-sinθ+‎π‎4‎sinπ‎3‎ ‎=-‎15‎‎4‎×‎1‎‎2‎-‎1‎‎4‎×‎‎3‎‎2‎ ‎=-‎15‎‎+‎‎3‎‎8‎.‎