【数学】2019届理科一轮复习北师大版2-8函数与方程教案

申明敬告: 本站不保证该用户上传的文档完整性,不预览、不比对内容而直接下载产生的反悔问题本站不予受理。

文档介绍

【数学】2019届理科一轮复习北师大版2-8函数与方程教案

第八节 函数与方程 ‎[考纲传真] (教师用书独具)结合二次函数的图像,了解函数的零点与方程根的联系,判断一元二次方程根的存在性与根的个数.‎ ‎(对应学生用书第27页)‎ ‎[基础知识填充]‎ ‎1.函数的零点 ‎(1)定义:函数y=f(x)的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点.‎ ‎(2)函数零点与方程根的关系:方程f(x)=0有实根⇔函数y=f(x)的图像与x轴有交点⇔函数y=f(x)有零点.‎ ‎(3)零点存在性定理 若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图像是连续曲线,并且在区间端点的函数值符号相反,即f(a)·f(b)<0,则在区间(a,b)内,函数y=f(x)至少有一个零点,即相应方程f(x)=0在区间(a,b)内至少有一个实数解.‎ ‎(4)二分法:对于在区间[a,b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点所似值的方法叫作二分法.‎ ‎2.二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图像与零点的关系 Δ=b2-4ac Δ>0‎ Δ=0‎ Δ<0‎ 二次函数y=ax2+bx+c (a>0)的图像 与x轴的交点 ‎(x1,0),(x2,0)‎ ‎(x1,0)‎ 无交点 零点个数 ‎2‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎[知识拓展] 有关函数零点的结论 ‎(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数,则f(x)至多有一个零点.‎ ‎(2)连续不断的函数,其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.‎ ‎(3)连续不断的函数图像通过零点时,函数值可能变号,也可能不变号.‎ ‎[基本能力自测]‎ ‎1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)‎ ‎(1)函数的零点就是函数的图像与x轴的交点.(  )‎ ‎(2)函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点(函数图像连续不断),则f(a)·f(b)<0.(  )‎ ‎(3)若函数f(x)在(a,b)上单调且f(a)·f(b)<0,则函数f(x)在[a,b]上有且只有一个零点.(  )‎ ‎(4)只要函数有零点,我们就可以用二分法求出零点的近似值.(  )‎ ‎(5)二次函数y=ax2+bx+c在b2-4ac<0时没有零点.(  )‎ ‎[答案] (1)× (2)× (3)× (4)× (5)√‎ ‎2.函数f(x)=ln x-的零点所在的区间是(  )‎ A.(1,2)     B.(2,3)‎ C.和(3,4) D.(4,+∞)‎ B [易知f(x)为增函数,由f(2)=ln 2-1<0,f(3)=ln 3->0,得f(2)·f(3)<0.故选B.]‎ ‎3.下列函数中,既是偶函数又存在零点的是(  )‎ A.y=cos x B.y=sin x C.y=ln x D.y=x2+1‎ A [由于y=sin x是奇函数;y=ln x是非奇非偶函数,y=x2+1是偶函数但没有零点,只有y=cos x是偶函数又有零点.]‎ ‎4.(教材改编)函数f(x)=ex+3x的零点个数是(  )‎ A.0   B.1    C.2    D.3‎ B [∵f(-1)=-3<0,f(0)=1>0,‎ ‎∴f(x)在(-1,0)内有零点,‎ 又f(x)为增函数,∴函数f(x)有且只有一个零点.]‎ ‎5.函数f(x)=ax+1-2a在区间(-1,1)上存在一个零点,则实数a 的取值范围是________.‎  [∵函数f(x)的图像为直线,‎ 由题意可得f(-1)·f(1)<0,‎ ‎∴(-3a+1)·(1-a)<0,解得<a<1,‎ ‎∴实数a的取值范围是.]‎ ‎(对应学生用书第28页)‎ 判断函数零点所在区间 ‎ (1)已知函数f(x)=ln x-的零点为x0,则x0所在的区间是(  )‎ A.(0,1)       B.(1,2)‎ C.(2,3) D.(3,4)‎ ‎(2)(2018·北京东城区综合练习(二))已知函数f(x)=ln x+2x-6的零点在(k∈Z)内,那么k=________.‎ ‎(1)C (2)5 [(1)∵f(x)=ln x-在(0,+∞)上是增函数,‎ 又f(1)=ln 1-=ln 1-2<0,‎ f(2)=ln 2-<0,‎ f(3)=ln 3->0,‎ ‎∴x0∈(2,3),故选C.‎ ‎(2)∵f′(x)=+2>0,x∈(0,+∞),∴f(x)在x∈(0,+∞)上单调递增,且f=ln -1<0,f(3)=ln 3>0,∴f(x)的零点在内,则整数k=5.]‎ ‎[规律方法] 判断函数零点所在区间的方法 (1)解方程,当对应方程易解时,可通过解方程,看方程是否有根落在给定区间上来判断.‎ (2)利用零点存在性定理进行判断.‎ (3)数形结合画出函数图像,通过观察图像与x轴在给定区间内是否有交点来判断.‎ ‎[跟踪训练] (1)设f(x)=ln x+x-2,则函数f(x)的零点所在的区间为(  )‎ A.(0,1) B.(1,2)‎ C.(2,3) D.(3,4)‎ ‎(2)函数f(x)=x2-3x-18在区间[1,8]上________(填“存在”或“不存在”)零点.‎ ‎(1)B (2)存在 [(1)函数f(x)的零点所在的区间可转化为函数g(x)=ln x,h(x)=-x+2图像交点的横坐标所在的取值范围.作图如下:‎ 可知f(x)的零点所在的区间为(1,2).‎ ‎(2)法一:∵f(1)=12-3×1-18=-20<0,‎ f(8)=82-3×8-18=22>0,‎ ‎∴f(1)·f(8)<0,‎ 又f(x)=x2-3x-18,x∈[1,8]的图像是连续的,‎ 故f(x)=x2-3x-18在x∈[1,8]上存在零点.‎ 法二:令f(x)=0,得x2-3x-18=0,‎ ‎∴(x-6)(x+3)=0.‎ ‎∵x=6∈[1,8],x=-3∉[1,8],‎ ‎∴f(x)=x2-3x-18在x∈[1,8]上存在零点.]‎ 判断函数零点的个数 ‎ (1)函数f(x)=|x-2|-ln x在定义域内的零点的个数为(  )‎ A.0 B.1‎ C.2 D.3‎ ‎(2)(2017·秦皇岛模拟)函数f(x)=的零点个数是________. ‎ ‎【导学号:79140061】‎ ‎(1)C (2)3 [(1)由题意可知f(x)的定义域为(0,+∞).在同一直角坐标系中画出函数y=|x-2|(x>0),y=ln x(x>0)的图像,如图所示:‎ 由图可知函数f(x)在定义域内的零点个数为2.‎ ‎(2)当x>0时,作函数y=ln x和y=x2-2x的图像,‎ 由图知,当x>0时,f(x)有2个零点;‎ 当x≤0时,由f(x)=0得x=-,‎ 综上,f(x)有3个零点.]‎ ‎[规律方法] 判断函数零点个数的三种方法 (1)解方程法:所对应方程f(x)=0有几个不同的实数解就有几个零点.‎ (2)零点存在性定理法:利用零点存在性定理并结合函数的性质进行判断.‎ (3)数形结合法:转化为两个函数的图像的交点个数问题.先画出两个函数的图像,看其交点的个数,其中交点的个数,就是函数零点的个数.‎ ‎[跟踪训练] (1)函数f(x)=0.9x-x的零点个数是(  )‎ A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 ‎(2)函数f(x)=2x|log0.5x|-1的零点个数为(  )‎ A.1 B.2‎ C.3 D.4‎ ‎(1)B (2)B [(1)因为f(x)=0.9x-x,则函数f(x)为减函数,值域为R,所以函数f(x)的图像必与x轴有一个交点,即方程0.9x-x=0有一解.‎ ‎(2)令f(x)=2x|log0.5x|-1=0,‎ 可得|log0.5x|=.‎ 设g(x)=|log0.5x|,h(x)=,在同一坐标系下分别画出函数g(x),h(x)的图像,可以发现两个函数图像一定有2个交点,因此函数f(x)有2个零点.]‎ 函数零点的应用 ‎ (1)设函数f(x)=ex+x-2,g(x)=ln x+x2-3.若实数a,b满足f(a)=0,g(b)=0,则(  )‎ A.g(a)<0<f(b) B.f(b)<0<g(a)‎ C.0<g(a)<f(b) D.f(b)<g(a)<0‎ ‎(2)(2016·山东高考)已知函数f(x)=其中m>0.若存在实数b,使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根,则m的取值范围是________.‎ ‎(1)A (2)(3,+∞) [(1)∵f(x)=ex+x-2,‎ ‎∴f′(x)=ex+1>0,‎ 则f(x)在R上为增函数,‎ 又f(0)=e0-2<0,f(1)=e-1>0,‎ 且f(a)=0,∴0<a<1.‎ ‎∵g(x)=ln x+x2-3,‎ ‎∴g′(x)=+2x.‎ 当x∈(0,+∞)时,g′(x)>0,‎ ‎∴g(x)在(0,+∞)上为增函数,‎ 又g(1)=ln 1-2=-2<0,g(2)=ln 2+1>0,且g(b)=0,∴1<b<2,∴a<b,‎ ‎∴故选A.‎ ‎(2)作出f(x)的图像如图所示.‎ 当x>m时,x2-2mx+4m=(x-m)2+4m-m2,∴要使方程f(x)=b有三个不同的根,则有4m-m20.又m>0,解得m>3.]‎ ‎[规律方法] 已知函数有零点求参数取值范围常用的方法 (1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围.‎ (2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决.‎ (3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图像,然后数形结合求解.‎ ‎[跟踪训练] (1)已知函数f(x)=ex+x,g(x)=ln x+x,h(x)=ln x-1的零点依次为a,b,c,则(  )‎ A.a<b<c B.c<b<a C.c<a<b D.b<a<c ‎(2)函数f(x)=2x--a的一个零点在区间(1,2)内,则实数a的取值范围是(  ) ‎ ‎【导学号:79140062】‎ A.(1,3) B.(1,2)‎ C.(0,3) D.(0,2)‎ ‎(1)A (2)C [(1)∵ea=-a,∴a<0,∵ln b=-b,且b>0,∴0<b<1,∵ln c=1,∴c=e>1,故选A.‎ ‎(2)∵函数f(x)=2x--a在区间(1,2)上单调递增,又函数f(x)=2x--a 的一个零点在区间(1,2)内,则有f(1)·f(2)<0,∴(-a)(4-1-a)<0,即a(a-3)<0,∴0<a<3.]‎
查看更多

相关文章

您可能关注的文档