2021届北师大版高考理科数一轮复习教师用书：选修4－5　第1讲　绝对值不等式

2021届北师大版高考理科数一轮复习教师用书：选修4－5　第1讲　绝对值不等式

第1讲　绝对值不等式 一、知识梳理 ‎1．绝对值三角不等式 定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．‎ 定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．‎ ‎2．绝对值不等式的解法 ‎(1)含绝对值的不等式|x|a的解集 不等式 a>0‎ a＝0‎ a<0‎ ‎|x|a ‎{x|x>a或x<－a}‎ ‎{x|x∈R且x≠0}‎ R ‎(2)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法 ‎①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；‎ ‎②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c．‎ ‎3．|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法 法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想．‎ 法二：利用“零点分区间法”求解，体现了分类讨论的思想．‎ 法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．‎ 常用结论 ‎1．两个等价关系 ‎(1)|x|0)．‎ ‎(2)|x|>a⇔x<－a或x>a(a>0)．‎ ‎2．掌握一组主要关系 ‎|a＋b|与|a|－|b|，|a－b|与|a|－|b|，|a|＋|b|之间的关系：‎ ‎(1)|a＋b|≥|a|－|b|，当且仅当a>－b>0时，等号成立．‎ ‎(2)|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|，当且仅当|a|≥|b|且ab≥0时，左边等号成立，当且仅当ab≤0时，右边等号成立．‎ 二、教材衍化 ‎1．不等式3≤|5－2x|<9的解集为________．‎ 解析：由题意得 即 解得 所以不等式的解集为(－2，1]∪[4，7)．‎ 答案：(－2，1]∪[4，7)‎ ‎2．不等式|x－1|－|x－5|<2的解集是________．‎ 解析：①当x≤1时，原不等式可化为1－x－(5－x)<2，所以－4<2，不等式恒成立，所以x≤1；‎ ‎②当1c的解集为R，则c≤0.(　　)‎ ‎(2)不等式|x－1|＋|x＋2|<2的解集为∅.(　　)‎ ‎(3)对|a＋b|≥|a|－|b|当且仅当a>b>0时等号成立．(　　)‎ ‎(4)对|a|－|b|≤|a－b|当且仅当|a|≥|b|时等号成立．(　　)‎ ‎(5)对|a－b|≤|a|＋|b|当且仅当ab≤0时等号成立．(　　)‎ 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　(5)√‎ 二、易错纠偏 (1)含参数的绝对值不等式讨论不清；‎ ‎(2)存在性问题不能转化为最值问题求解．‎ ‎1．若不等式|kx－4|≤2的解集为{x|1≤x≤3}，则实数k＝________．‎ 解析：因为|kx－4|≤2，所以－2≤kx－4≤2，所以2≤kx≤6.因为不等式的解集为{x|1≤x≤3}，所以k＝2.‎ 答案：2‎ ‎2．若关于x的不等式|a|≥|x＋1|＋|x－2|存在实数解，则实数a的取值范围是________．‎ 解析：由于|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，‎ 所以|x＋1|＋|x－2|的最小值为3.要使原不等式有解，只需|a|≥3，则a≥3或a≤－3.‎ 答案：(－∞，－3]∪[3，＋∞)‎ ‎　　　　　　含绝对值不等式的解法(师生共研)‎ ‎ (2019·高考全国卷Ⅱ)已知f(x)＝|x－a|x＋|x－2|·(x－a)．‎ ‎(1)当a＝1时，求不等式f(x)<0的解集；‎ ‎(2)若x∈(－∞，1)时，f(x)<0，求a的取值范围．‎ ‎【解】　(1)当a＝1时，f(x)＝|x－1|x＋|x－2|(x－1)．‎ 当x<1时，f(x)＝－2(x－1)2<0；‎ 当x≥1时，f(x)≥0.‎ 所以，不等式f(x)<0的解集为(－∞，1)．‎ ‎(2)因为f(a)＝0，所以a≥1.‎ 当a≥1，x∈(－∞，1)时，f(x)＝(a－x)x＋(2－x)(x－a)＝2(a－x)(x－1)<0.‎ 所以，a的取值范围是[1，＋∞)．‎ 绝对值不等式常见的3种解法 ‎(1)零点分段讨论法 含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分段讨论法脱去绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)，一般步骤如下：‎ ‎①令每个绝对值符号里的代数式为零，并求出相应的根；‎ ‎②将这些根按从小到大排序，它们把实数集分为若干个区间；‎ ‎③在所分的各区间上，根据绝对值的定义去掉绝对值符号，求所得的各不等式在相应区间上的解集；‎ ‎④这些解集的并集就是原不等式的解集．‎ ‎(2)利用绝对值的几何意义 由于|x－a|＋|x－b|与|x－a|－|x－b|分别表示数轴上与x对应的点到与a，b对应的点的距离之和与距离之差，因此对形如|x－a|＋|x－b|0)或|x－a|－|x－b|>c(c>0)的不等式，利用绝对值的几何意义求解更直观．‎ ‎(3)数形结合法 在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图象求解．‎ ‎[提醒]　用零点分段法和几何意义求解绝对值不等式时，去绝对值符号的关键点是找零点，将数轴分成若干段，然后从左到右逐段讨论．‎ ‎1．设函数f(x)＝|x＋4|.‎ ‎(1)若y＝f(2x＋a)＋f(2x－a)的最小值为4，求a的值；‎ ‎(2)求不等式f(x)>1－x的解集．‎ 解：(1)因为f(x)＝|x＋4|，‎ 所以y＝f(2x＋a)＋f(2x－a)＝|2x＋a＋4|＋|2x－a＋4|≥|2x＋a＋4－(2x－a＋4)|＝|2a|，‎ 又y＝f(2x＋a)＋f(2x－a)的最小值为4.‎ 所以|2a|＝4，所以a＝±2.‎ ‎(2)f(x)＝|x＋4|＝ 所以不等式f(x)>1－x等价于 解得x>－2或x<－10，故不等式f(x)>1－x的解集为{x|x>－2或x<－10}．‎ ‎2．已知函数f(x)＝|x－4|＋|x－1|－3.‎ ‎(1)求不等式f(x)≤2的解集；‎ ‎(2)若直线y＝kx－2与函数f(x)的图象有公共点，求k的取值范围．‎ 解：(1)由f(x)≤2，得或或解得0≤x≤5，‎ 故不等式f(x)≤2的解集为{x|0≤x≤5}．‎ ‎(2)f(x)＝|x－4|＋|x－1|－3＝ 作出函数f(x)的图象，如图所示，‎ 易知直线y＝kx－2过定点C(0，－2)，‎ 当此直线经过点B(4，0)时，k＝；‎ 当此直线与直线AD平行时，k＝－2.‎ 故由图可知，k∈(－∞，－2)∪.‎ ‎　　　　　　绝对值不等式性质的应用(师生共研)‎ ‎ 设不等式|x－2|5；‎ ‎(2)求证：|f(x)－f(a)|<2(|a|＋1)．‎ 解：(1)因为|x2－x－15|>5，‎ 所以x2－x－15<－5或x2－x－15>5，‎ 即x2－x－10<0或x2－x－20>0，‎ 解得5，‎ 所以不等式|f(x)|>5的解集为 .‎ ‎(2)证明：因为|x－a|<1，‎ 所以|f(x)－f(a)|＝|(x2－x－15)－(a2－a－15)|‎ ‎＝|(x－a)(x＋a－1)|‎ ‎＝|x－a|·|x＋a－1|<1·|x＋a－1|‎ ‎＝|x－a＋2a－1|‎ ‎≤|x－a|＋|2a－1|<1＋|2a－1|≤1＋|2a|＋1＝2(|a|＋1)，‎ 即|f(x)－f(a)|<2(|a|＋1)．‎ ‎　　　　　　恒成立与存在性问题(师生共研)‎ ‎ (2020·玉溪模拟)已知函数f(x)＝|x＋1|＋|2x－1|.‎ ‎(1)解不等式f(x)≤x＋3；‎ ‎(2)若g(x)＝|3x－2m|＋|3x－2|，对任意的x1∈R，存在x2∈R，使得f(x1)＝g(x2)成立，求实数m的取值范围．‎ ‎【解】　(1)原不等式等价于或 或得－≤x≤，‎ 故原不等式的解集为.‎ ‎(2)由f(x)＝|x＋1|＋|2x－1|＝可知当x＝时，f(x)最小，无最大值，且f(x)min＝f＝.‎ 设A＝{y|y＝f(x)}，B＝{y|y＝g(x)}，‎ 则A＝{y|y≥}，‎ 因为g(x)＝|3x－2m|＋|3x－2|≥|(3x－2m)－(3x－2)|＝|2m－2|，‎ 所以B＝{y|y≥|2m－2|}．‎ 由题意知A⊆B，所以|2m－2|≤，所以m∈.‎ 故实数m的取值范围为.‎ ‎(1)研究含有绝对值的函数问题时，根据绝对值的定义，分类讨论去掉绝对值符号，转化为分段函数，然后数形结合是常用的思维方法．‎ ‎(2)对于求y＝|x－a|＋|x－b|或y＝|x－a|－|x－b|型的最值问题，利用绝对值三角不等式更方便．形如y＝|x－a|＋|x－b|的函数只有最小值，形如y＝|x－a|－|x－b|的函数既有最大值又有最小值．　 ‎ ‎1．(2020·陕西彬州质监)已知函数f(x)＝|x－3|－|x＋2|.‎ ‎(1)求函数f(x)的值域；‎ ‎(2)若存在x∈[－2，1]，使f(x)≥x2＋a成立，求a的取值范围．‎ 解：(1)依题意可得f(x)＝ 当－2－4，‎ 所以－4＜a≤1；‎ 当1－2，所以－24，即实数a的取值范围是(4，＋∞)．‎ ‎2．(2020·贵州质量测评)已知函数f(x)＝|x＋3|＋|x－1|.‎ ‎(1)若对任意的x∈R，f(x)≥5a－a2恒成立，求实数a的取值范围；‎ ‎(2)求函数y＝f(x)的图象与直线y＝6围成的封闭图形的面积．‎ 解：(1)f(x)＝|x＋3|＋|x－1|≥|(x＋3)－(x－1)|＝4，‎ 所以f(x)min＝4.‎ 对任意的x∈R，f(x)≥5a－a2恒成立，所以f(x)min≥5a－a2，‎ 所以4≥5a－a2⇒a2－5a＋4≥0，解得a≤1或a≥4，‎ 所以实数a的取值范围是(－∞，1]∪[4，＋∞)．‎ ‎(2)f(x)＝|x＋3|＋|x－1|＝ 当f(x)＝6时，x＝－4或x＝2.‎ 画出图象可得(图略)，围成的封闭图形为等腰梯形，且一条底边长为6，一条底边长为4，高为2，‎ 所以封闭图形的面积S＝×(6＋4)×2＝10.‎ ‎3．(2020·四川绵阳一诊)已知函数f(x)＝|2x＋1|－|x－m|(m∈R)．‎ ‎(1)当m＝1时，解不等式f(x)≥2；‎ ‎(2)若关于x的不等式f(x)≥|x－3|的解集包含[3，4]，求m的取值范围．‎ 解：(1)当m＝1时，f(x)＝|2x＋1|－|x－1|，当x≤－时，f(x)＝－2x－1＋(x－1)＝－x－2，‎ 由f(x)≥2得x≤－4，综合得x≤－4；‎ 当－9；‎ ‎(2)对任意的x1∈R，存在x2∈R，使得f(x1)＝g(x2)，求实数a的取值范围．‎ 解：(1)f(x)＝ f(x)>9等价于或或 综上，原不等式的解集为{x|x>3或x<－3}．‎ ‎(2)因为|x－a|＋|x＋a|≥2|a|.‎ 由(1)知f(x)≥f＝，‎ 所以2|a|≤，即|a|≤，所以－≤a≤，‎ 所以实数a的取值范围是.‎ ‎[综合题组练]‎ ‎1．已知函数f(x)＝|x＋1|－|x|＋a.‎ ‎(1)若a＝0，求不等式f(x)≥0的解集；‎ ‎(2)若方程f(x)＝x有三个不同的实数解，求实数a的取值范围．‎ 解：(1)当a＝0时，f(x)＝|x＋1|－|x|‎ ‎＝ 所以当x<－1时，f(x)＝－1<0，不合题意；‎ 当－1≤x<0时，f(x)＝2x＋1≥0，解得－≤x<0；‎ 当x≥0时，f(x)＝1>0，符合题意．‎ 综上可得f(x)≥0的解集为.‎ ‎(2)设u(x)＝|x＋1|－|x|，y＝u(x)的图象和y＝x的图象如图所示．‎ 易知y＝u(x)的图象向下平移1个单位以内(不包括1个单位)，与y＝x 的图象始终有3个交点，从而－15－|x＋2|的解集；‎ ‎(2)若g(x)＝f(x＋m)＋f(x－m)的最小值为4，求实数m的值．‎ 解：(1)因为f(x)>5－|x＋2|可化为|2x－3|＋|x＋2|>5，‎ 所以当x≥时，原不等式化为(2x－3)＋(x＋2)>5，解得x>2，所以x>2；‎ 当－25，解得x<0，所以－25，解得x<－，所以x≤－2.‎ 综上，不等式f(x)>5－|x＋2|的解集为(－∞，0)∪(2，＋∞)．‎ ‎(2)因为f(x)＝|2x－3|，‎ 所以g(x)＝f(x＋m)＋f(x－m)＝|2x＋2m－3|＋|2x－2m－3|≥|(2x＋2m－3)－(2x－2m－3)|＝|4m|.‎ 所以依题意有4|m|＝4，解得m＝±1.‎ ‎3．设函数f(x)＝|2x＋3|＋|x－1|.‎ ‎(1)解不等式f(x)>4；‎ ‎(2)若存在x∈使不等式a＋1>f(x)成立，求实数a的取值范围．‎ 解：(1)由已知，得f(x)＝ 所以f(x)>4⇔或或⇔x<－2或01.‎ 综上，不等式f(x)>4的解集为(－∞，－2)∪(0，＋∞)．‎ ‎(2)若存在x∈使不等式a＋1>f(x)成立⇔a＋1>f(x)min，‎ 由(1)得，x∈时，f(x)＝x＋4，f(x)min＝，‎ 所以a＋1>，所以a>，‎ 所以实数a的取值范围为.‎ ‎4．已知函数f(x)＝|x－2|＋k|x＋1|，k∈R.‎ ‎(1)当k＝1时，若不等式f(x)<4的解集为{x|x12时，原不等式可化为2x<5，‎ 所以2

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