江西省南昌市新建区第一中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学（文）试题 Word版含解析

江西省南昌市新建区第一中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学（文）试题 Word版含解析

www.ks5u.com 数学（文）试卷 一、选择题（共12小题；每小题5分，共60分，每小题只有一个正确选项）‎ ‎1.以下四个命题既是特称命题又是真命题的是 A. 锐角三角形的内角是锐角或钝角 B. 至少有一个实数x，使 C. 两个无理数的和必是无理数 D. 存在一个负数，使 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先确定命题中是否含有特称量词，然后利用判断特称命题的真假．‎ ‎【详解】对于A，锐角三角形中的内角都是锐角，所以A为假命题； 对于B，为特称命题，当时，成立，所以B正确； 对于C，因为，所以C为假命题； 对于D，对于任何一个负数，都有，所以D错误． 故选B．‎ ‎【点睛】本题以命题真假判断与应用为载体，考查了全称命题和特称命题的定义，难度不大，属于基础题．‎ ‎2.复数z1=a+4i,z2=-3+bi,若它们的和为实数,差为纯虚数,则实数a,b的值为　(　　)‎ A. a=-3,b=-4 B. a=-3,b=4‎ C. a=3,b=-4 D. a=3,b=4‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由题意可知是实数,是纯虚数,‎ 所以，解得，故选A．‎ ‎3.若命题为假，且为假，则（ ）‎ A. 为假 B. 为假 C. 为真 D. 不能判断 ‎【答案】B - 17 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据为假可判断为真，再根据复合命题为假，即可得命题为假，判断各选项即可.‎ ‎【详解】命题为假，则命题为真，‎ 命题为假，与中至少有一个为假，‎ 由为真，则为假，‎ 对于A，此时，为真，所以错误.‎ 因而B选项正确，‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查了命题真假的判断，复合命题真假性质应用，属于基础题.‎ ‎4.若曲线表示椭圆，则的取值范围是(　　)‎ A. B. C. D. 或 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据椭圆标准方程可得，解不等式组可得结果.‎ ‎【详解】曲线表示椭圆，‎ ‎，‎ 解得，且，‎ 的取值范围是或，故选D．‎ ‎【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程以及不等式的解法，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于简单题.‎ - 17 -‎ ‎5.经过三点的圆的标准方程是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设出圆的一般方程，将三个点的坐标代入后求得圆的方程，再化为圆的标准方程即可.‎ ‎【详解】因为圆经过，‎ 设圆的方程为，‎ 代入三个坐标可得，‎ 解得 所以圆的方程为，‎ 化为圆的标准方程可得，‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查了经过三个点求圆的一般方程，圆的一般方程与标准方程的转化，属于基础题.‎ ‎6.在中，角、、所对应的变分别为、、，则是的（ ）‎ A. 充分必要条件 B. 充分非必要条件 C. 必要非充分条件 D. 非充分非必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用三角形中大角对大边、正弦定理边角互化，结合充分条件与不要条件的定义可得结果.‎ - 17 -‎ ‎【详解】由正弦定理得（其中为外接圆的半径），‎ 则，，‎ ‎，‎ 因此是的充分必要必要条件，故选A.‎ ‎【点睛】本题主要考查正弦定理的应用、充分必要条件的判定，属于中等题. 判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.‎ ‎7.已知双曲线的实轴长、虚轴长、焦距长成等差数列，则双曲线的离心率e为 ( )‎ A. 2 B. 3 C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：由题设条件知：2×2b=2a+2c，‎ ‎∴2b=a+c，‎ ‎∴c2=+a2，‎ 整理，得3c2-5a2-2ac=0，‎ ‎∴3e2-2e-5=0．‎ 解得e=或e=-1（舍）．‎ 故选D．‎ 考点：本题主要考查双曲线的几何性质；等差数列的性质．‎ 点评：注意双曲线和椭圆的区别与联系．‎ ‎8.函数的一个单调递增区间为 （ ）‎ A. B. ‎ - 17 -‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题首先可通过函数的解析式得出函数的导函数，然后令解出函数的增区间，最后将四个选项与函数的增区间进行对比即可得出结果．‎ ‎【详解】因为函数，所以，‎ 当，，，为增函数 所以当时，函数单调递增，故选A．‎ ‎【点睛】本题考查了三角函数的相关性质以及导函数的应用，考查了如何利用导函数求函数的单调区间，考查推理能力，是简单题．‎ ‎9.函数在区间上的最小值是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：由已知，令得（舍去），当时，，当时，，因此在上函数只有一个极小值点，也是最小值点，所以．故选A．‎ 考点：导数与函数的最值．‎ ‎【名师点睛】(1)函数的最大值与最小值:在闭区间[a,b]上连续的函数f(x),在[a,b]上 必 有最大值与最小值;但在开区间(a,b)内连续的函数f(x) 不一定 有最大值与最小值. ‎ ‎(2)求最大值与最小值的步骤:设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,求f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下:‎ - 17 -‎ ‎①求f(x)在(a,b)内的 极 值; ‎ ‎②将f(x)的各 极 值与 f(a),f(b) 比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.‎ ‎10.函数在的图象大致为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：函数|在[–2,2]上偶函数，其图象关于轴对称，‎ 因为，‎ 所以排除选项；‎ 当时，有一零点，设为，当时，为减函数，‎ 当时，为增函数．‎ 故选：D.‎ ‎11.已知双曲线的一个顶点到它的一条渐近线的距离为，则（ ）‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 由已知，取顶点，渐近线，则顶点到渐近线的距离为 - 17 -‎ ‎，解得.‎ ‎12.海轮每小时使用的燃料费与它的航行速度的立方成正比，已知某海轮的最大航速为海里/小时， 当速度为海里/小时时，它的燃料费是每小时元，其余费用(无论速度如何)都是每小时元.如果甲乙两地相距海里，则要使该海轮从甲地航行到乙地的总费用最低，它的航速应为（ ）‎ A. 海里/小时 B. 海里/小时 C. 海里/小时 D. 海里/小时 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据燃料费用与速度关系，设出解析式，再代入速度为10海里/小时的费用25元，即可求得燃料费用与速度关系的解析式.根据速度与甲乙两地的路程，表示出航行所需时间，即可表示出总的费用.利用导数，求得极值点，结合导数符号判断单调性，即可求得极小值点，即为航速值.‎ ‎【详解】因为海轮每小时使用的燃料费与它的航行速度的立方成正比，设船速为，燃料费用为元，比例系数为，‎ 则满足 ，‎ 当速度为海里/小时时，它的燃料费是每小时元，代入上式可得 ‎，解得 其余费用(无论速度如何)都是每小时元，如果甲乙两地相距海里，则所需时间为小时.‎ 则总费用为 ‎ 所以，‎ - 17 -‎ 令，解得，‎ 当时，，所以在内单调递减，‎ 当时，，所以在内单调递增，‎ 所以当时，海轮从甲地航行到乙地的总费用最低， ‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查了导数在实际问题中的应用，根据题意得函数关系式，由导数的单调性和极值点，属于中档题.‎ 二、填空题（共4小题；每小题5分，共20分）‎ ‎13.实数满足，则的值是_______.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将式子展开化简，结合复数运算及复数相等求得的值，即可求得的值.‎ ‎【详解】实数满足，‎ 化简可得，‎ 所以，解得，‎ 所以，‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了复数相等的意义和简单应用，属于基础题.‎ ‎14.设曲线y=ax2在点（1，a）处的切线与直线2x﹣y﹣6=0平行，则a的值是_____．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 切线的斜率就是函数在处的导数，据此可求．‎ ‎【详解】，当，‎ 又切线的斜率为，故，填．‎ - 17 -‎ ‎【点睛】曲线在点处的切线方程是：，另外注意曲线在某点处的切线与过某点处的切线的区别．‎ ‎15.动点到点的距离比它到直线的距离大1，则动点的轨迹方程为_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将直线方程向左平移1个单位，可知动点到点的距离与它到直线的距离相等，结合抛物线定义即可求得抛物线的标准方程.‎ ‎【详解】将化为，‎ 动点到点的距离比它到直线的距离大1，‎ 则动点到点的距离与它到直线的距离相等，‎ 由抛物线定义可知动点的轨迹为抛物线，‎ 该抛物线以为焦点，以为准线，开口向右，‎ 设，‎ 所以，解得，‎ 所以抛物线方程为，‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查了抛物线的定义及简单应用，抛物线标准方程的求法，属于基础题.‎ ‎16.已知函数，现给出下列结论：‎ ‎①有极小值，但无最小值 ‎②有极大值，但无最大值 ‎③若方程恰有一个实数根，则 ‎④若方程恰有三个不同实数根，则 其中所有正确结论的序号为_________‎ - 17 -‎ ‎【答案】②④‎ ‎【解析】‎ ‎ ‎ 所以当 时， ；当 时， ；当 时， ；‎ 因此有极小值，也有最小值，有极大值，但无最大值；若方程恰有一个实数根，则或; 若方程恰有三个不同实数根，则,即正确结论的序号为②④‎ 点睛：‎ 对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．‎ 三、解答题（共6小题；共65分）‎ ‎17.求下列函数的导数 ‎（1）；‎ ‎（2）‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将函数式展开，由幂函数求导公式即可求解.‎ ‎（2）根据导数除法运算法则，结合指数与三角函数求导公式即可求解.‎ 详解】（1）函数，‎ 展开化简可得，‎ 由幂函数求导公式可得.‎ - 17 -‎ ‎（2）‎ 由导数除法运算法则，结合指数函数与三角函数求导公式可得 ‎.‎ ‎【点睛】本题考查了常见函数的求导公式简单应用，导数的除法运算，属于基础题.‎ ‎18.设命题:，命题:关于的方程有实根.‎ ‎（1）若为真命题，求的取值范围.‎ ‎（2）若“”为假命题，且“”为真命题，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据二次函数的性质及二次根式意义，可求得当为真命题时的取值范围.‎ ‎（2）若“”为假命题，且“”为真命题，则命题与命题一真一假.分类讨论即可求得的取值范围.‎ ‎【详解】（1）命题:，‎ 则，‎ 由二次函数性质可得，‎ 而，‎ 当为真命题，的取值范围为.‎ ‎（2）命题:关于的方程有实根，‎ 则，解得，‎ - 17 -‎ ‎“”假命题，且“”为真命题，则命题与命题一真一假，‎ 当命题为真，命题为假时，满足，此时无解；‎ 当命题为真，命题为假时，满足，解得或 综上所述，的取值范围为.‎ ‎【点睛】本题考查了由命题真假求参数的取值范围，复合命题真假判断及分类讨论思想的应用，属于基础题.‎ ‎19.在直角坐标系中，圆的方程为．‎ ‎（Ⅰ）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）直线的参数方程是（为参数）,与交于两点，，求的斜率．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）利用，化简即可求解；（Ⅱ）先将直线化成极坐标方程，将的极坐标方程代入的极坐标方程得，再利用根与系数的关系和弦长公式进行求解.‎ 试题解析：（Ⅰ）化圆的一般方程可化为.由，可得圆的极坐标方程.‎ ‎（Ⅱ）在（Ⅰ）中建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为.‎ 设，所对应的极径分别为，，将的极坐标方程代入的极坐标方程得.‎ - 17 -‎ 于是，.‎ ‎.‎ 由得，.‎ 所以的斜率为或.‎ ‎20.设函数，其中在，曲线在点处的切线垂直于轴 ‎（Ⅰ）求a的值；‎ ‎（Ⅱ）求函数极值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）‎ ‎（Ⅱ）极小值 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）因，故由于曲线在点处的切线垂直于轴，故该切线斜率为0，即，从而，解得 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，‎ 令，解得（因不在定义域内，舍去）当时，故在上为减函数；当时，故在上为增函数，故在处取得极小值 本小题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程、函数的最值及其几何意义、两条直线平行的判定等基础知识，考查运算求解能力 ‎【详解】‎ - 17 -‎ ‎21.如图，若是双曲线的两个焦点. ‎ ‎（1）若双曲线上一点到它的一个焦点的距离等于，求点到另一个焦点的距离；‎ ‎（2）若是双曲线左支上的点，且，试求的面积.‎ ‎【答案】（1）或（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设点到另一个焦点的距离为，由双曲线定义即可求得的值.‎ ‎（2）由双曲线定义及，可证明，即为直角三角形，即可求得的面积.‎ ‎【详解】（1）是双曲线的两个焦点，‎ 则 ‎ 设点到另一个焦点的距离为，‎ 由抛物线定义可知，‎ 解得或，‎ 即点到另一个焦点的距离为或.‎ ‎（2）是双曲线左支上的点，‎ ‎， ‎ 则，‎ - 17 -‎ 代入，‎ 可得，‎ 即，‎ 所以为直角三角形，‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题考查了双曲线定义及性质的的简单应用，交点三角形面积求法，属于基础题.‎ ‎22.已知：函数，其中．‎ ‎（1）当时，讨论函数的单调性；‎ ‎（2）若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）在，内是增函数，在，内是减函数．‎ ‎（2）满足条件的的取值范围是．‎ ‎【解析】‎ ‎（1）解：．‎ 当时，‎ ‎．‎ 令，解得，，．‎ 当变化时，，的变化情况如下表：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ - 17 -‎ ‎ ‎ ‎↘ ‎ 极小值 ‎ ‎↗ ‎ 极大值 ‎ ‎↘ ‎ 极小值 ‎ ‎↗ ‎ 所以在，内是增函数，在，内是减函数．‎ ‎（2）解：由条件可知，从而恒成立．‎ 当时，；当时，．‎ 因此函数在上的最大值是与两者中的较大者．‎ 为使对任意的，不等式在上恒成立，当且仅当 即 在上恒成立．‎ 所以，因此满足条件的的取值范围是．‎ - 17 -‎ ‎ ‎ - 17 -‎